基本概念：
- 域扩张：设F和K是两个域，如果F是K的子集，则称K是F的一个扩张域，简称域扩张，记作K/F。
- 代数扩张：如果K中的每一个元素都是F上的代数元，则称K/F是代数扩张。
- Galois扩张：如果K是F的分裂域，即K是使F上一些给定的多项式完全分裂的最小的域，则称K/F是Galois扩张。
Galois群：
- 定义：域扩张K/F的自同构群，即K上的自同构σ中满足对于任意x∈F都有σ(x)=x的全体，记为Aut(K/F)。若K/F是一个有限代数扩张，则它也被称为域扩张K/F的Galois群，记为Gal(K/F)。
- 性质：Galois群是一个有限群，且其元素个数与域扩张的次数相等（在Galois扩张的情况下）。
Galois基本定理：
- 定理内容：令F是一个域，而K是域F上的一个Galois扩张，那么域扩张K/F的中间域与其Galois群的所有子群有一一对应关系。对应关系由H↦KH和L↦Gal(K/L)给出。
- 定理意义：Galois基本定理建立了域扩张的中间域与Galois群的子群之间的对应关系，为理解和研究域扩张提供了有力的工具。
应用：Galois理论在代数方程求解、代数几何、代数数论等领域有着广泛的应用。例如，它可以用来证明五次及五次以上的代数方程没有一般的求根公式；在代数几何中，Galois理论可以用来研究代数曲线的性质和分类；在代数数论中，Galois理论可以用来研究代数数的性质和结构等。
越是高级的东西越简单
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