高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

y22px(p0)抛 物 线 l y y22px (p0)y x22py (p0)y F O x l x22py (p0)y O F l O x l x O F x F 定义 平面内及一个定点F和一条定直线l的间隔 相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 {MMF =点M到直线l的间隔 } x0,yR xR,y0 xR,y0 范围 对称性 焦点 顶点 离心率 准线 方程 顶点到准线的间隔 焦点到准线的间隔 焦半径 A(x1,y1) x0,yR 关于x轴对称 (p,0) 2关于y轴对称 pp,0) (0,) 22焦点在对称轴上 O(0,0) ((0,p) 2e=1 xp 2xp 2p 2yp 2yp 2准线及焦点位于顶点两侧且到顶点的间隔 相等。 p AFx1p 2AFx1p 2AFy1p 2AFy1p 2焦 点弦 长 (x1x2)p (x1x2)p (y1y2)p (y1y2)p AB 焦点弦 AB的几 y o Ax1,y1x Bx2,y2F 条性质A(x1,y1)B(x2,y2) 以AB为直径的圆必及准线l相切 假设AB的倾斜角为，那么2p ABsin2假设AB的倾斜角为，那么2p ABcos2p2x1x2 y1y2p2 411AFBFAB2 AFBFAF•BFAF•BFp切线 y0yp(xx0) y0yp(xx0) 方程 一． 直线及抛物线的位置关系 直线

，抛物线

，

x0xp(yy0) x0xp(yy0) ，消y得：

〔1〕当0时，直线l及抛物线的对称轴平行，有一个交点； 〔2〕当k≠0时，

Δ＞0，直线l及抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l及抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l及抛物线相离，无公共点。

（3）假设直线及抛物线只有一个公共点,那么直线及抛物线必相切吗〔不肯定〕 二． 关于直线及抛物线的位置关系问题常用途理方法 直线l：ykxb 抛物线

① 联立方程法：

，(p0)

ykxbk2x22(kbp)xb20 2y2px设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，那么有0,以及x1x2,x1x2，还可进一步求出

y1y2kx1bkx2bk(x1x2)2by1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2

，

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方 1. 相交弦的弦长

AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x21k2 a或 AB11122yy1(yy)4yy1k 12121222kkab. 中点M(x0,y0), x0② 点差法：

x1x2yy2， y01

22设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得

22y12px1 y22px2

将两式相减，可得

(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)

y1y22px1x2y1y2

2p y1y2a. 在涉及斜率问题时，kABb. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，

y1y22p2pp， x1x2y1y22y0y0 即kABp， y0同理，对于抛物线x22py(p0)，假设直线l及抛物线相交于A、B两点，点M(x0,y0)是弦AB的中点，那么有kABx1x22x0x0 2p2pp〔留意能用这个公式的条件：1〕直线及抛物线有两个不同的交点，2〕直线的斜率存

在，且不等于零〕

抛物线练习及答案

1、点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q〔2，－1〕的间隔 及点P到抛物线焦点间隔 之和

获得最小值时，点P的坐标为 。〔

21,－1〕 42、点P是抛物线y2x上的一个动点，那么点P到点〔0，2〕的间隔 及P到该抛物线准线的

间隔 之和的最小值为 。

217 23、直线yx3及抛物线y4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，那么梯形APQB的面积为 。48

4、设O是坐标原点，F是抛物线y2px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA及x轴正

2向的夹角为60，那么OA为 。

25、抛物线y4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线及抛物线在x轴上方的部

分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，那么△AKF的面积是 。43 6、抛物线C:y8x的焦点为F，准线及x轴的交点为K，点A在C上且AK么AFK的面积为 。8

22AF，那

x2y21，那么以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程7、双曲线45为 。

8、在平面直角坐标系xoy中，有肯定点A(2,1),假设线段OA的垂直平分线过抛物线

y22px(p0)那么该抛物线的方程是 。

9、在平面直角坐标系xoy中，抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2，4)，那么该抛物线的方程是 。y8x

10、抛物线yx上的点到直线4x3y80间隔 的最小值是 。

224 311、抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线及抛物线相交于A(x11)(x22)两点，那么y1222的最小值是 。32

12、假设曲线y＝x＋1及直线y＝kx＋b没有公共点，那么k、b分别应满意的条件是 。k=0113、抛物线2+3上存在关于直线0对称的相异两点A、B，那么等于〔 〕C A.3 B.4 C.32222

，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，14、抛物线y2px(p0)的焦点为F，点P1(x1且2x2x1x3， 那么有〔 〕Ｃ

Ａ．FP1FP2FP3

Ｂ．FP1FP2Ｄ．FP2222FP32

Ｃ．2FP2FP1FP3FP·FP13

215、点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x20)是抛物线y2px(p0)上的两个动点,O是坐标原点,向22量OA,OB满意OAOBOAOB.设圆C的方程为xy(x1x2)x(y1y2)y0。

(1) 证明线段AB是圆C的直径;

(2)当圆C的圆心到直线20的间隔 的最小值为

25时，求p的值。 5解： (1)证明1:

2OAOBOAOB,(OAOB)2(OAOB)2，

222OA2OAOBOBOA2OAOBOB，整理得: OAOB0，x1x2y1y20，

设M()是以线段为直径的圆上的随意一点,那么MAMB0，

22即(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0，整理得:xy(x1x2)x(y1y2)y0，

故线段AB是圆C的直径。 证明2:

2OAOBOAOB,(OAOB)2(OAOB)2，

222OA2OAOBOBOA2OAOBOB，整理得: OAOB0，

x1x2y1y20……..(1)

设()是以线段为直径的圆上那么即

yy2yy11(xx1,xx2)， xx2xx1去分母得: (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0，

点(x1,y1),(x1,y2),(x2,y1)(x2,y2)满意上方程,绽开并将(1)代入得:

x2y2(x1x2)x(y1y2)y0，

故线段AB是圆C的直径。 证明3:

2OAOBOAOB,(OAOB)2(OAOB)2，

222OA2OAOBOBOA2OAOBOB，

整理得: OAOB0，x1x2y1y20……(1) 以线段为直径的圆的方程为

(xx1x22yy1)(y12)2[(x1x2)2(y1y2)2]， 22422绽开并将(1)代入得:xy(x1x2)x(y1y2)y0，

故线段AB是圆C的直径

(2)解法1:设圆C的圆心为C(),那么

x1x2x2 yy2y12y12y22y2px1,y22px2(p0)，x1x2，又因x1x2y1y20，

4p2212y12y222x1x2y1y2，y1y2，x1x20,y1y20，y1y24p， 24pxx1x2yy111(y12y22)(y12y222y1y2)12(y22p2)， 24p4p4pp22所以圆心的轨迹方程为ypx2p， 设圆心C到直线20的间隔 为d,那么

12(y2p2)2y||x2y||y22py2p2||(yp)2p2|pd， 555p5p|当时有最小值pp25,由题设得，p2. 555解法2: 设圆C的圆心为C(),那么

x1x2x2 yy2y12y12y22y2px1,y22px2(p0)，x1x2x1x2y1y2，，又因x1x2y1y20，

4p2212y12y22y1y2，24px1x20,y1y20，y1y24p2，

xx1x2yy111(y12y22)(y12y222y1y2)12(y22p2)， 24p4p4pp22所以圆心的轨迹方程为ypx2p，

设直线20到直线20的间隔 为2522,那么m2，因为22=0及ypx2p无公共点, 525 5所以当22=0及ypx2p仅有一个公共点时,该点到直线20的间隔 最小值为

22x2y20(2) 22(3)ypx2pp02222y2py2p2p04p4(2p2p)0将(2)代入(3)得，，

p2.解法3: 设圆C的圆心为C(),那么

x1x2x2 yy2y12圆心C到直线20的间隔 为d,那么

x1x2(y1y2)|2 d5|y12y22y2px1,y22px2(p0)，x1x2x1x2y1y2，，又因x1x2y1y20， 24p212y12y22y1y2，

4p2x1x20,y1y20，y1y24p2，

1(y12y22)(y1y2)||y12y222y1y24p(y1y2)8p2|4pd5p|(y1y22p)24p2， 45p当y1y22p时有最小值pp25,由题设得，p2. 555x2y21,抛物线C2:(ym)22px(p0),且C1、16、椭圆C1:C2的公共弦过椭圆C1的右焦点.

43(1)当⊥x轴时,求m、p的值，并推断抛物线C2的焦点是否在直线上；

(2)是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线上？假设存在，求出符合条件的m、p的值；假设不存在，请说明理由. 解：〔1〕当⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线的方程为1，从而点A的坐标为〔1，〔

3399〕或〔1，－〕. 因为点A在抛物线上，所以2p，即p. 此时C2的焦点坐标为224，0〕，该焦点不在直线上. 16〔2〕解法一 当C2的焦点在时，由〔Ⅰ〕知直线的斜率存在，设直线的方程为yk(x1).

yk(x1)由x2y2消去y得(34k2)x28k2x4k2120. ……①

134y A 设A、B的坐标分别为〔x11〕, 〔x22〕, 那么x12是方程①的两根，x1＋x2＝

8k234k2.

O B x 因为既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，

所以AB(2111x1)(2x2)4(x1x2)，且 222ppAB(x1)(x2)x1x2p.

221从而x1x2p4(x1x2).

28k246p46p所以x1x2，即.

34k233解得k26,即k6.

21因为C2的焦点F(,m)在直线yk(x1)上，所以mk.

33即m当m66. 或m336时，直线的方程为y6(x1)； 36时，直线的方程为y6(x1). 3当m解法二 当C2的焦点在时，由〔Ⅰ〕知直线的斜率存在，设直线的方程

为yk(x1). 828(ym)x2由3消去y得(kxkm)x. ……①

3yk(x1)2因为C2的焦点F(,m)在直线yk(x1)上，

3212k8所以mk(1)，即mk.代入①有(kx)2x.

3333424k2即kx(k2)x0. ……②

3922设A、B的坐标分别为〔x11〕, 〔x22〕, 那么x12是方程②的两根，x1＋x2＝

4(k22)3k2.

yk(x1)由x2y2消去y得(34k2)x28k2x4k2120. ……③

134由于x12也是方程③的两根，所以x1＋x2＝从而

4(k22)3k28k234k2.

＝

8k234k2. 解得k26,即k6.

21因为C2的焦点F(,m)在直线yk(x1)上，所以mk.

33即m当m66. 或m336时，直线的方程为y6(x1)； 3当m6时，直线的方程为y6(x1). 3 解法三 设A、B的坐标分别为〔x11〕, 〔x22〕, 2因为既过C1的右焦点F(1,0)，又是过C2的焦点F(,m)，

3所以AB(x1)(x2)x1x2p(2即x1x2p2p211x1)(2x2). 22216(4p). ……① 39y2y1m03m， ……② 2x2x113由〔Ⅰ〕知x1x2，于是直线的斜率k且直线的方程是y3m(x1), 所以y1y23m(x1x22)2m. ……③ 322yy3x14y112又因为，所以3(x1x2)4(y1y2)210. ……④

22x2x13x24y212将①、②、③代入④得m2当m662，即m. 或m3336时，直线的方程为y6(x1)； 36时，直线的方程为y6(x1). 3当m17、如图，倾斜角为a的直线经过抛物线y28x的焦点F，且及抛物线交于A、B两点。

〔1〕求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

〔2〕假设a为锐角，作线段的垂直平分线m交x轴于点P，证明2a为定值，并求此定值。 p〔1〕解：设抛物线的标准方程为y22px，那么2p8，从而p4.因此焦点F(,0)的坐标为〔2，

20〕.

又准线方程的一般式为xp。从而所求准线l的方程为x2。 2

答〔21〕图

〔2〕解法一：如图〔21〕图作⊥l，⊥l，垂足为C、D，那么由抛物线的定义知. 记A、B的横坐标分别为，那么＝＝xxppp4， |FA|cosa|FA|cosa4解得|FA|2221cosa4。

1cosa类似地有|FB|4|FB|cosa，解得|FB|记直线m及的交点为E，那么

|FA||FB|11444cosa， |FE||FA||AE||FA|(|FA||FB|)22221cosa1cosasina|FE|444·2sin2a所以|FP|。故|FP||FP|cos2a(1cos2a)8。

cosasin2asin2asin2a解法二：设A(xA,yA)，B(xB,yB)，直线的斜率为ktana，那么直线方程为yk(x2)。 将此式代入y8x,得kx4(k2)x4k0，故xAxB记直线m及的交点为E(xE,yE)，那么

xAxB2(k22)412k244. ，yEk(xE2)，故直线m的方程为yxxE22kk2kkk22222k(k22)k2。

令0,得P的横坐标xP2k24k24sin2a4故|FP|xP2sin2a24(k21)k24sin2a。

从而|FP||FP|cos2a(1cos2a)4·2sin2a8为定值。

18、正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆〔点C为圆心〕 〔1〕求圆C的方程；

〔2〕设圆M的方程为(x47cos)(y7cos)1，过圆M上随意一点P分别作圆C的

22CF的最大值和最小值． 两条切线PE，PF，切点为E，F，求CE，2y12y2，y1，，y2，由题设知 〔1〕解法一：设A，B两点坐标分别为222y12y12y12y2222yy(y1y2)． 2222222222223)，B(6，23)或A(6，23)，B(6，23)． 解得y1y212，所以A(6，设圆心C的坐标为(r，0)，那么r264，所以圆C的方程为(x4)2y216． 3解法二：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题设知

222222x12y12x2y2．又因为y12x1，y22x2，可得x12x1x22x2．即

(x1x2)(x1x22)0．由x10，x20，可知x1x2，故A，B两点关于x轴对称，所以

圆心C在x轴上．设C点的坐标为(r，0)，那么A点坐标为233r，22r，于是有3322r2r，解得r4，所以圆C的方程为(x4)y16． 222〔2〕解：设ECF2a，那么CECF|CE||CF|cos216cos232cos16．

在Rt△PCE中，cosx4，由圆的几何性质得 |PC||PC||PC|≤|MC|1718，|PC|≥|MC|1716，

121616≤cos≤，由此可得8≤CECF≤．那么CECF的最大值为，最小值2399为8．

所以

19、假设A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦〔不平行于y轴〕的垂直平分线及x轴相交于点P，那么称弦是点P的一条“相关弦〞.当x>2时，点P〔x,0〕存在无穷多条“相关弦〞.给定x0>2. 〔1〕证明：点P〔x0,0〕的全部“相关弦〞的中点的横坐标一样；

〔2〕试问：点P〔x0,0〕的“相关弦〞的弦长中是否存在最大值？假设存在，求其最大值〔用x0表示〕：假设不存在，请说明理由.

解: 〔1〕设为点P〔x0,0〕的随意一条“相关弦〞，且点A、B的坐标分别是〔x11〕、〔x22〕〔x1x2〕,那么y21=4x1, y22=4x2,两式相减得〔y12〕〔y12〕=4〔x12〕.因为x1x2,所以y12k，弦的中点是M〔, 〕,那么

y1y242.

x1x2y1y2ymym(xxm). 2y又点P〔x0,0〕在直线l上，所以 ymm(x0xm).

2从而的垂直平分线l的方程为 yym而ym0,于是xmx02.故点P〔x0,0〕的全部“相关弦〞的中点的横坐标都是x0-2.

2(2)由(1)知，弦所在直线的方程是yymk(xxm)，代入y4x中， 222整理得kx2[k(ymkxm)2]x(ymkxm)0. 〔·〕

(ymkxm)2. 那么x1、x2是方程〔·〕的两个实根，且x1x22k设点P的“相关弦〞的弦长为l，那么

l2(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)2

(1k2)[(x1x2)24x1x2]4(1k2)(xm2x1x2)4(142)[xm2ym(ym2xm)2ym]42ym

2242(4ym)(4xmym)ym4ym(xm1)16xm224(xm1)2[ym2(xm1)]24(x01)2[ym2(x03)]2.22因为0记l2(t)[2(x0-3)]2+4(x0-1)2.，假设x0>3,那么2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当2(x0-3),即ym=2(x0-3)时有最大值2(x0-1).假设2综上所述，当x0>3时，点P〔x0,0〕的“相关弦〞的弦长中存在最大值，且最大值为2〔x0-1〕；当2< x03时，点P〔x0,0〕的“相关弦〞的弦长中不存在最大值. 20、曲线C是到点P〔直线，

M是C上〔不在上〕的动点；A、B在上，MA,MBx轴〔如图〕。 2135,〕和到直线y间隔 相等的点的轨迹。是过点Q〔-1，0〕的288y M l

B A x 〔1〕求曲线C的方程；〔2〕求出直线的方程，使得

QB2Q 为常数。

2QA2O 13〔1〕解：设N(x，y)为C上的点，那么|NP|xy，

2813555N到直线y的间隔 为y．由题设得xyy．

82888化简，得曲线C的方程为y〔2〕解法一：

2212(xx)． 2x2x2设Mx，，直线l:ykxk，那么B(x，kxk)，从而|QB|1k|x1|．

2x(x1)k2x2222在Rt△QMA中，因为|QM|(x1)1． ，|MA|21k422(x1)2(kx2)2 . 所以|QA||QM||MA|24(1k)222|QA||x1||kx2|21k2|QB|22(1k2)1k2x1，．

2|QA||k|xk|QB|255，从而所求直线l方程为2xy20． 当k2时，

|QA|x2x解法二：设Mx，，直线l:ykxk，那么B(x，kxk)，从而

2|QB|1k2|x1|．

过Q(1，0)垂直于l的直线l1:y因为|QA||MH|，所以|QA|y M l

1(x1)． k，

l1 H Q O B A |x1||kx2|21k2x |QB|22(1k2)1k2x1．

2|QA||k|xk|QB|255，从而所求直线l方程为2xy20． 当k2时，

|QA|21、如图，点F(1，0)，直线l:x1，P为平面上的动点， 过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QPQFFPFQ． 〔1〕求动点P的轨迹C的方程；

l y F 1 O 1 x 〔2〕过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，MA1AF，MB2BF，求

12的值；

解法一：〔1〕设点P(x，y)，那么Q(1，y)，由QPQFFPFQ得：

(x1，0)(2，y)(x1，y)(2，y)，化简得C:y24x．

〔2〕设直线AB的方程为：

xmy1(m0)．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M1，2， mQ y P B O F x y24x，联立方程组，消去x得：

xmy1，y24my40，(4m)2120，故

y1y24m， y1y24．由MA1AF，MB2BF得：

y1221y1，y22y2，整理得： mm22，21，my1my2112112y1y224m12220． 2my1y2my1y2m4一、抛物线的定义及其应用

例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．

(1)求点P到点A(－1,1)的间隔 及点P到直线x＝－1的间隔 之和的最小值； (2)假设B(3,2)，求＋的最小值．

例2、(2021·山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一 点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，那么y0的取值范围是( ) A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

二、抛物线的标准方程和几何性质

例3、抛物线y2＝2(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线及抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，⊥l，垂足为K，假设＝2，且＝4，那么△的面积是 ( ) A．4 B．3 C．4 D．8

例4、过抛物线y2＝2(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，假设＝2，且＝3那么此抛物线的方程为 ( ) A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x

三、抛物线的综合问题

例5、(2021·江西高考)过抛物线y2＝2(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，

y1)，B(x2，y2)(x1(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，假设

OC＝ OA＋λOB，求λ的值．

例6、(2021·湖南高考)(13分)平面内一动点P到点F(1,0)的间隔 及点P到y轴的间隔 的差等于1.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点F作两条斜率存在且相互垂直的直线l1，l2，设l1及轨迹C相交于点A，B，

l2及轨迹C相交于点D，E，求

ADEB的最小值

· 例7、点M(1，y)在抛物线C：y2＝2(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的间隔 为2，直线l：y＝－x＋b及抛物线C交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程；

(2)假设以为直径的圆及x轴相切，求该圆的方程． 例题答案解析

一、抛物线的定义及其应用

例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.

由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的间隔 等于点P到焦点F的间隔 ． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的间隔 及点P到F(1,0)的间隔 之和最小．明显，连结交曲线于P点，那么所求的最小值为，即为. (2)如图，自点B作垂直准线于Q，交抛物线于点P1，那么1＝1.那么有＋≥1＋1＝＝4.即＋的最小值为4.

例2、解析：圆心到抛物线准线的间隔 为p，即p＝4，依据已 知只要>4即可．依据抛物线定＝y0＋2由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)． 二、抛物线的标准方程和几何性质

例3、设点A(x1，y1)，其中y1B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.那么有 ＝1|；又＝2，因此有＝21|，∠1＝＝，∠1＝.即直线及x轴的夹角为.又＝＝x1＋＝4，因此

y1＝4＝2，因此△的面积等于·y1＝×4×2＝4.

例4．分别过点A、B作1、1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由条件＝2得＝21|，∴∠1＝30°，又1|＝＝3，

∴＝21|＝6，∴＝－＝6－3＝3，∴F为线段的中点．故点F到准线的间隔 为p＝1|＝，故抛物线的方程为y2＝3x. 三、抛物线的综合问题

例5、(1)直线的方程是y＝2(x－)，及y2＝2联立，从而有4x2－5＋p2＝0，所以：x1

＋x2＝，由抛物线定义得：＝x1＋x2＋p＝9， 所以p＝4，从而抛物线方程是y＝8x.

(2)由p＝4,4x2－5＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)； 设 2

OC＝(x，y)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)．

3

3

又＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)． 即(2λ－1)2＝4λλ＝0，或λ＝2.

例6、 (1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有y2＝2x＋2. 当x≥0时，y2＝4x；当

x<0时，y＝0.

所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)． (2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，那么l1的方程为y＝k(x－1)．由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. (7分)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1. (8分)

因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－. 设D(x3，y3)，E(x4，y4)，那么同理可得

x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1. ＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)·(x4＋1)

＝ x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1 (11分)

＝1＋(2＋)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4(k2＋)≥8＋4×2＝16. 当且仅当k2＝，即k＝±1时， ADEB取最小值16.

·

例7 、(1)抛物线y2＝2(p>0)的准线为x＝－，由抛物线定义和条件可知

＝1－(－)＝1＋＝2，解得p＝2, 故所求抛物线C的方程为y2＝4x. (2)联立消去x并化简整理得y2＋8y－8b＝0.

依题意应有Δ＝＋32b>0，解得bA(x1，y1)，B(x2，y2)，那么y1＋y2＝－8，y1y2

＝－8b，设圆心Q(x0，y0)，那么应用x0＝，y0＝＝－4. 因为以为直径的圆及x轴相切，所以圆的半径为r＝0|＝4. 又＝＝＝ ＝

所以＝2r＝＝8，解得b＝－.

所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝，

那么圆心Q的坐标为(，－4)．故所求圆的方程为(x－)2＋(y＋4)2＝16. 练习题

1．抛物线x2＝的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，那么a等于 ( )

A．1 B．4 C．8

D．16

2．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的间隔 为1，那么点M的纵坐标是 ( )

A．－

B．－

3．(2021·辽宁高考)F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，＋＝3，那么线段的中点到y轴的间隔 为 ( )

B．1

4．抛物线y2＝2，以过焦点的弦为直径的圆及抛物线准线的位置关系是 ( )

A．相离

B．相交 C．相切

D．不确定

5．(2021·宜宾检测)F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、

B两点，那么－的值等于 ( ) A．4

B．8C． 8

D．16

6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的间隔 及它到焦点的间隔 之和最小，那么点P的坐标是 ( )

A．(－2,1)

B．(1,2) C．(2,1)

D．(－1,2)

7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，⊥l，A为垂足．假如直线的斜率为－，那么＝ ( )

A．4 B．8 C．8 D．16

8．(2021·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，那么抛物线的方程是 ( )

A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x

9．(2021·永州模拟)以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且及抛物线的准线相切的圆的方程为．

10．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的间隔 是5，那么抛物线的方程为．

11．抛物线y2＝4x及直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么| FA| ＋| FB| ＝.

12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，假设x1＋x2＝6，那么 等于

13．依据以下条件求抛物线的标准方程：

(1)抛物线的焦点是双曲线 16x－9y＝144的左顶点； (2)过点P(2，－4)．

14．点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线交抛物线C于另一点Q.假设向量OM及OP的夹角为，求△的面积．

2

2

练习题：

1．解析：依据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意那么有＝2解得a＝8.

2．解析：抛物线方程可化为x2＝－，其准线方程为y＝.设M(x0，y0)，那么由抛物线的定义，可知－y0＝1⇒y0＝－.

3．解析：依据拋物线定义及梯形中位线定理，得线段中点到y轴的间隔 为：(＋)－＝－＝.

4．解析：设抛物线焦点弦为，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，那么1|＝，1|＝，于是M到l的间隔 d＝(1|＋1|)＝(＋)＝＝半径，故相切． 5．解析：依题意F(2,0)，所以直线方程为y＝x－2由，消去y得x－12xA(x1，y1)，

2

B(x2，y2)，那么－＝|(x1＋2)－(x2＋2)|＝1－x2|＝＝＝8. 6．解析：如下图，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，

⊥

l，1⊥l，由抛物线的定义知，＝，∴＋＝＋≥1|，当且仅当A、N三点共线时取等号．∴P点的横坐标及A点的横坐标一样即为那么可解除A、C、D.答案：B

P、1，

7．解析：设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，⊥l，A为垂足．假如直线的斜率为－，那么＝ ( ) A．4 B．8 C．8 D．16

8．解析：由准线方程x＝－2，可知抛物线为焦点在x轴正 ，半轴上的标准方程，同时得p＝4，所以标准方程为 y2＝2＝8x

9．解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y＝－4，那么圆心为(0,4)，半径r＝8. 所以，圆的方程为x2＋(y－4)2＝.

10．解析：设抛物线方程为x2＝(a≠0)，那么准线为y＝－.∵Q(－3，m)在抛物线上，∴9＝.而点Q到焦点的间隔 等于点Q到准线的间隔 ，∴－(－m＝代入，得＋|＝5，

解得，a＝±2，或a＝±18，∴所求抛物线的方程为x2＝±2y，或x2＝±18y. 11．解析：由，消去y，得x－5x＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A、B两点的横坐标，故x1＋x2＝5，因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，所以| FA| ＋| FB| ＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝7

12．解析：因线段过焦点F，那么＝＋.又由抛物线的定义知＝x1＋1，＝x2＋1，故＝

2

x1＋x2＋2＝8.

13．解析：双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为

y2＝－2(p>0)，那么－＝－3，∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝－12x.

(2)由于P(2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y＝或x＝，代入P点坐标求得m＝8，n＝－1， ∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y. 14．解：设点M(，y1)，P(，y2)，

∵P，M，A三点共线， ∴＝，

即＝，即＝，∴y1y2＝4.

∴ OM· OP＝·＋y1y2＝5.∵向量 OM及 OP的夹角为，

∴| OM|·|OP |·＝5.∴S△＝| OM| ·| OP| ·＝.

2

2