解题技巧与方法 ｍ蟹● 锄点 法藤分或 递推数黜 通 ◎赵嘉璐（青海师范大学数学与统计学院，青海西宁８１０００８） 【摘要】求数列通项是数列的常见问题，但用常规办法 求解分式型递推数列的通项，时常不易求解．本文从求分式 １：＝一 ，于是可采用如下方法求通项： 型递推数列的不动点出发，通过具体例子来说明求分式型 递推数列通项公式的方法． 一【关键词】不动点；通项；分式型递推数列 （一÷）＝ ，＋ １＝ 等一（一 １） ： ： 互若满足，（ ｏ）＝‰，则称９Ｃ０为函数八 ）的小动点·对十 ２ａ 一４ ａ 一２’， ① 一 分式型递推数列。 ａ￣ａｎ＋１＝，（。 ）＝ 毫（ｄ≠ｏ，６ｅ— 小 小 ． ② ｄｃ＃Ｏ），若用常规办法求通项，常常不易求解．我们从不动 若ｎ ： １则由①知口．＝一 １≠ １点出发，通过例题探寻这类问题的解题规律． ，，所以 ＋－＃０； 例１ 已知ｎ ＝５，Ⅱ ＋ ＝ ａｎ－４（ ≥１）则由②知。．＝３≠ １，，求通项公式。 ． 若。 ＝３，所以ａ －３￣－０．故由器知 解由％＋ ＝ ａｎ－４知可构造％＋ ＝ 。 ）＝ ａｎ －４，，其 中 ＝ 若． 等１＝（一 ）等１，眦数 丢 靴数 解方程＿厂（ ）＝ ［￣［ｊ ｘ－４： ， 一４ ＋４＝０，￣ｌｌｆ（ ）只 一ｊ列，列 首项为为 軎：一一 ，÷ 匕公比为为２ ·－Ｔ． 有唯一不动点 。＝２，于是可采用如下方法求通项： ａｎ．ｔ￣－＝。一ｚ一蓦 ． 所以 （一 即２ ａｎ＋１＝ ： ， ａ ＋ｌ一２ ａ 一２ ＝一ａ 一２ ：一１＋— ，所以，数 ａｎ— 整理可得［２·５ 一（一１） ·２ ］ａ ＝一５ 一（一１）“· 列｛ 差，首项为 １ ＝了１，公差为一１， ＝ ２ ·６，［２·５ ＋（一１） ·２ ］ａ ＝一５ ＋（一１） · ２ “·３， 。 ÷＋（． ＝ ．＿ｌ，＿． ｎ一１）（一１）＝了４一ｎ：４丁－３ｎ，故。 ＝２ ３ ＝ 鲁 ． １ｌ一６ｎ ６ｎ一１１ ４—３ｎ ３ｎ一４’ 总结形如。 ＝ （ｄ＃Ｏ，ｂｅ－如≠ｏ）的分式型 总结形如ｎ川＝ ｂａ＿ｎ＋ ｃ（ｄ≠ｏ，６ｅ—ｄｃ≠０）的分式型 递推数列，当只有两个不动点时，可转化为等比数列求 递推数列，当只有一个不动点时，可转化为等差数列求 通项． 例２ 已知。，＝ １【参考文献】 ，％＋ ＝毫（ｎ≥１），求通项公 ［１］叶军．数学奥林匹克教程［Ｍ］．长沙：湖南师范大学 式ａ ． 出版社，２０００：２６５—２８１． 解 知，可构她 ）＝器， ［２］李春雷．用不动点法探究递推数列的通项公式［Ｊ］． 中学数学研究，２００６（６）：１７—２０． 其中，（ ）＝丽ｘ＋３． ［３］方志平，刘志勇，刘健．递推数列［Ｍ］．广州：中山大 学出版社，２０１２：３２—６５． 解方程，（ ）＝ ，即 ＝ ，２ 一５ 一３＝０， 数学学习与研究２０１８．９