洪雅县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 有下列四个命题：

①“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题为（ A．①②

）B．①③

C．②③

D．③④

）

2． 若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（ A．[﹣，+∞）

B．（﹣∞，﹣]

C．[，+∞）

D．（﹣∞，]

3． 设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（ ）

A．B．C．

D．

4． 下列各组函数中，表示同一函数的是（

）

x22A、f(x)x与f(x) B、f(x)x1 与f(x)(x1)

x C、f(x)x与

f(x)3x3 D、f(x)x与f(x)(x)2第 1 页，共 17 页

5． 若双曲线A．

B．

﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，则此双曲线的离心率等于（ C．

D．2

）

B．f（x）=

，g（x）=

）

6． 下面各组函数中为相同函数的是（ A．f（x）=

，g（x）=x﹣1

C．f（x）=ln ex与g（x）=elnxD．f（x）=（x﹣1）0与g（x）=　

7． 函数y=sin2x+cos2x的图象，可由函数y=sin2x﹣cos2x的图象（ ）A．向左平移C．向左平移

个单位得到B．向右平移个单位得到D．向左右平移

， •=10，|+|=5C．5

D．25

=（

）个单位得到个单位得到，则||=（

）

8． 已知向量||=A．

B．

9． 求值：

A．tan 38°B．C．D．﹣　

10．将n2个正整数1、2、3、…、n2（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中的任意两个数a、b（a＞b）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（ A．　

11．在ABC中，A60，b1，其面积为3，则A．33 B．）

C．2

D．3

B．

239 3abc等于（ ）

sinAsinBsinC83C．

3D．392(1i)212．复数的值是（ ）

3i1313A．i B．i

4444C．13i 55D．

13i55【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题．

二、填空题

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13．设变量x，y满足约束条件　

14．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且

，则的最小值为　　　　　　．，则=　　　　　　．　

15．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且满足对任意的实数x都有f[f（x）﹣2x]=6，则f（x）+f（﹣x）的最小值等于　　　　　　．　

16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为　　　　　　．17．方程（x+y﹣1）则sin2=0所表示的曲线是　　　　　　．．　18．长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与棱CB、CD、CC1所成角分别为、、，

sin2sin2 三、解答题

19．将射线y=x（x≥0）绕着原点逆时针旋转（Ⅰ）求点A的坐标；

（Ⅱ）若向量=（sin2x，2cosθ），=（3sinθ，2cos2x），求函数f（x）=•，x∈[0，　

]的值域．

后所得的射线经过点A=（cosθ，sinθ）．

20．已知椭圆（Ⅰ）求椭圆

的方程；

交于

、

的离心率，且点在椭圆上．

（Ⅱ）直线与椭圆面积的最大值．

两点，且线段的垂直平分线经过点．求（为坐标原点)

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21．已知双曲线C：与点P（1，2）．

（1）求过点P（1，2）且与曲线C只有一个交点的直线方程；

（2）是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P，若存在，求出弦AB所在的直线方程，若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分12分）已知等差数列｛an｝满足：an1an（nN），a11，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且an2log2bn1.（1）求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式；（2）求数列｛anbn｝的前项和Tn.

23．（本小题满分14分）

设函数f(x)axbx1cosx，x0,（其中a，bR）.

2（1）若a0，b21，求f(x)的单调区间；2第 4 页，共 17 页

（2）若b0，讨论函数f(x)在0,上零点的个数.

2【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.

24．在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上任意一点P（x，y）变换为点P（2x+y，3x）．（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M﹣1；

（Ⅱ）求曲线4x+y﹣1=0在矩阵M的变换作用后得到的曲线C′的方程．

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洪雅县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：①由于“若a2+b2=0，则a，b全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；

③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，因此“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；

④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．综上可得：真命题为：①③．故选：B．

【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．　

2． 【答案】B

【解析】解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数，故2≤解得a≤﹣故选B．　

3． 【答案】D

【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减

结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B故选D

【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题　

4． 【答案】C【解析】

试题分析：如果两个函数为同一函数，必须满足以下两点：①定义域相同，②对应法则相同。

选项A中两个函数定义域不同，选项B中两个函数对应法则不同，选项D中两个函数定义域不同。故选C。考点：同一函数的判定。

为对称轴的抛物线

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5． 【答案】B

【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=2的圆心（2，0），半径为双曲线可得：可得a2=b2，c=e==

．﹣

，

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，

，a，

故选：B．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．　

6． 【答案】D

【解析】解：对于A：f（x）=|x﹣1|，g（x）=x﹣1，表达式不同，不是相同函数；

对于B：f（x）的定义域是：{x|x≥1或x≤﹣1}，g（x）的定义域是{x}x≥1}，定义域不同，不是相同函数；对于C：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；对于D：f（x）=1，g（x）=1，定义域都是{x|x≠1}，是相同函数；故选：D．

【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题，考查指数函数、对数函数的性质，是一道基础题．　

7． 【答案】C

【解析】解：y=sin2x+cos2x=y=sin2x﹣cos2x=

sin（2x﹣

）=

sin（2x+sin[2（x﹣

），）+

）]，

sin（2x+

），

∴由函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移故选：C．

个单位得到y=

【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．　

8． 【答案】C【解析】解：∵∴由

得，

；

=

；

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∴∴

；．

故选：C．　

9． 【答案】C

【解析】解：故选：C．

=tan（49°+11°）=tan60°=，

【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．　

10．【答案】B

【解析】解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为；当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或；当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或，故这些可能的“特征值”的最大值为．故选：B．

【点评】题考查类比推理和归纳推理，属基础题．　

11．【答案】B【解析】

113bcsinAbcsin600bc3，所以bc4，又b1，所224222220以c4，又由余弦定理，可得abc2bccosA14214cos6013，所以a13，则试题分析：由题意得，三角形的面积Sabca13239，故选B．0sinAsinBsinCsinAsin603考点：解三角形．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到12．【答案】Cabca是解答的关键，属于中档试题．

sinAsinBsinCsinA第 8 页，共 17 页

(1i)22i2i(3i)26i13i．【解析】

3i3i(3i)(3i)1055二、填空题

13．【答案】　4　．

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，则的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象可知，OC的斜率最小，由

即C（4，1），此时=4，故的最小值为4，故答案为：4

，解得

，

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的定义以及数形结合是解决本题的关键．　

14．【答案】　

【解析】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，且∴S4=5S2，又S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，∴（S4﹣S2）2=S2（S6﹣S4），∴（5S2﹣S2）2=S2（S6﹣5S2），

，

　．

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解得S6=21S2，∴

=

=．．

故答案为：

【点评】本题考查等比数列的求和公式和等比数列的性质，用S2表示S4和S6是解决问题的关键，属中档题．　

15．【答案】　6　．

【解析】解：根据题意可知：f（x）﹣2x是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，∴f（x）﹣2x=a，即f（x）=a+2x，∴当x=a时，又∵a+2a=6，∴a=2，∴f（x）=2+2x，

∴f（x）+f（﹣x）=2+2x+2+2﹣x=2x+2﹣x+4≥2

+4=6，当且仅当x=0时成立，

∴f（x）+f（﹣x）的最小值等于6，故答案为：6．

【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．　

16．【答案】　平行　．

【解析】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，

AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，AB1∩AD1=AC1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，C1D∩BC1=C1由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D故答案为：平行．

【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．　

17．【答案】　两条射线和一个圆　．

【解析】解：由题意可得x2+y2﹣4≥0，表示的区域是以原点为圆心的圆的外部以及圆上的部分．由方程（x+y﹣1）

=0，可得x+y﹣1=0，或 x2+y2=4，

故原方程表示一条直线在圆外的地方和一个圆，即两条射线和一个圆，

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故答案为：两条射线和一个圆．

【点评】本题主要考查直线和圆的方程的特征，属于基础题．　

18．【答案】【解析】

试题分析：以AC1为斜边构成直角三角形：AC1D,AC1B,AC1A1，由长方体的对角线定理可得：

BC12DC12A1C122(AB2AD2AA12)sinsinsin2.2222AC1AC1AC1AC1222考点：直线与直线所成的角．

【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题，其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x（x≥0）的倾斜角为α，则tanα=，α∈（0，

）．

∴tanθ=tan（α+）==，

∴由解得，

∴点A的坐标为（，）．

（Ⅱ）f（x）=•=3sinθ•sin2x+2cosθ•2cos2x==

sin（2x+

）

∈[

，

]，

sin2x+

cos2x

由x∈[0，∴sin（2x+

]，可得2x+）∈[﹣

，1]，

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∴函数f（x）的值域为[﹣，]．

【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．　

20．【答案】

【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】（Ⅰ）由已知 点

在椭圆上，

，，解得

．

所求椭圆方程为(Ⅱ)设当直线

，的斜率

时，

，

的垂直平分线过点

,

的斜率存在．

当且仅当当直线

的斜率

消去

由

．

时， 设得： ①

时，

．

， ，

的中点为

由直线的垂直关系有，化简得 ②

由①②得又

到直线

的距离为

，

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时，

由即综上：21．【答案】

【解析】解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．…当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣1），代入C的方程，并整理得（2﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣6=0 （*）（ⅰ）当2﹣k2=0，即k=±所以l的方程为（ⅱ）当2﹣k2≠0，即k≠±

时

△=[2（k2﹣2k）]2﹣4（2﹣k2）（﹣k2+4k﹣6）=16（3﹣2k），

①当△=0，即3﹣2k=0，k=时，方程（*）有一个实根，l与C有一个交点．所以l的方程为3x﹣2y+1=0…综上知：l的方程为x=1或则2x12﹣y12=2，2x22﹣y22=2，

或3x﹣2y+1=0…

（2）假设以P为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），

时，方程（*）有一个根，l与C有一个交点

…

，时，

；

，解得

；

．

；

两式相减得2（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2）…又∵x1+x2=2，y1+y2=4，∴2（x1﹣x2）=4（y1﹣y2）

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即kAB=

=，…

∴直线AB的方程为y﹣2=（x﹣1），…

代入双曲线方程2x2﹣y2=2，可得，15y2﹣48y+34=0，由于判别式为482﹣4×15×34＞0，则该直线AB存在．

…

【点评】本题考查了直线和曲线的交点问题，考查直线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．　

22．【答案】（1）an2n1,bn【解析】

12n3；（2）.T3nnn22试题分析：（Ⅰ1）设d为等差数列an的公差，且d0，利用数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，

1332n1利用错位相减法求和即可．...123n2222试题解析：解：（1）设d为等差数列an的公差，d0，

求出d，然后求解bn；（2）写出Tn由a11，a21d，a312d，分别加上1,1,3后成等比数列，111.Com]所以(2d)2(42d)

2d0，d21 2n（6分）

∴an1(n1)22n1又an2log2bn1 ∴log2bnn，即bn第 14 页，共 17 页

考点：数列的求和．23．【答案】

【解析】（1）∵a0，b12，∴f(x)12x1cosx，f(x)12sinx，x0,2.

（2分）令f(x)0，得x6.

当0x6时，f(x)0，当6x2时，f(x)0，

所以f(x)的单调增区间是6,2，单调减区间是0,6.（5分）

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若

11a，则f()a10，又f()f(0)0，由零点存在定理，00,，使222f(0)0，所以f(x)在(0,0)上单调增，在0,上单调减.

22a1.又f(0)0，f()24214a10，此时f(x)在0,上有两个零点；故当a2时，f()2422241a10，此时f(x)在0,上只有一个零点.当2a时，f()242第 16 页，共 17 页

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P′（x′，y′），则∴M=

．即

=

，

又det（M）=﹣3，∴M﹣1=

；

（Ⅱ）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A′（x′，y′），则

=M﹣1

=

，

即，

∴代入4x+y﹣1=0，得

即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．

，

【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．　

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