2012中考数学复习

备战2012中考：梯形精华试题汇编

A组

一 选择题

1（2011番禺区综合训练）下列命题中，正确的是（ ）.

（A）对顶角相等 （B）梯形的对角线相等 （C）同位角相等 （D）平行四边形对角线相等 答案:A.

2. （2011广州六校一摸）如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ADO的面积记作S1, △BCO的面积记作S2,△ABO的面积记作S3,△CDO的面积记作S4,则下列关系正确是（ ） A. S1= S2

B. S1 × S2= S3 × S4 C. S1 + S2 = S4 + S3 D. S2= 2S3 答案:B

二 填空题

1．（南京市建邺区2011年中考一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G、H是两腰上

的点，AE=EF=FB，CG=GH=HD，且四边形EFGH的面积为6cm，则梯形ABCD的面积为 cm A D ．答案：18

H E

G F B C （第1题图） 2. （2011萝岗区综合测试一)如图，直角梯形ABCD中，BACD，ABBC,AB2 ，

将腰DA以A为旋转中心逆时针旋转90°至AE，连接BE,DE,ABE的面积为3，则CD的长为 ． 答案：5

2

2

AS1S3OS2BS4DC

三 解答题

1．(2011上海市杨浦区中考模拟)已知△ABC中，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，连

G FE、ED，BF的延长线交ED的延长线于点G，联结GC。

求证：四边形CEFG为梯形。

A

F

D

B C E

【答案】证明：(1)∵点D、E分别是线段AC、BC的中点，∴DE//AB，-------------1分 ∴∠A=∠FDG，∠ABF=∠FGD---------------------------------------------2分 ∵F是线段AD的中点，∴AF=FD

∴△ABF≌△DGF，-------------------------------------------1分

∴BF=FG----------------------------------------------------------1分

BF1--------------------------------------------------1分 FGBE1，-----------------------------------------1分 ∵E为BC中点，∴BC=EC，∴ECBEBF∴------------------------------------------------------1分 ECFG∴

∴EF//CG----------------------------------------------------------1分

而GF与CE交于点A，∴四边形CEFG为梯形------------------------------------1分

2．（2011浙江金衢十一校联考）（6分）如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为对 角线AC的中点，连结DE并延长交BC于点F，连结AF． （1）求证：AD=CF；

（2）在原有条件不变的情况下，当AC满足条件 ▲ 时

（不再增添辅助线），四边形AFCD成为菱形， 【答案】（1）略„„„„„„„„（4分）；

（2） AC平分∠BCD 或ＡＣ⊥ＤＦ或AC平分∠FAD„„„„（2分）

3．（南京市溧水县2011年中考一模）（8分）在平面上有且只有4个点，这4个点中有一个独特的性质：连结每两点可得到6条线段，这6条线段有且只有两种长度．我们把这四个点称作准等距点．例如正方形ABCD的四个顶点(如图1)，有AB=BC=CD=DA，AC=BD．其实满足．．．．这样性质的图形有很多，如图2中A、B、C、O四个点，满足AB=BC=CA，OA=OB=OC；如图3中A、B、C、O四个点，满足OA=OB=OC=BC，AB=AC．

（1）如图，若等腰梯形ABCD的四个顶点是准等距点，且AD∥BC． A D

B

C

①写出相等的线段（不再添加字母）； ②求∠BCD的度数．

（2）请再画出一个四边形，使它的四个顶点为准等距点，并写出相等的线段． ．．．．．

解：（1）①AB=DC=AD， AC=BD=BC．„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

②∵AC=BD，AB=DC，BC=BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，„„3分 ∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，

∵DC=AD，∠DAC=∠ACD，∴∠ACD=∠ACB，„„„„„„„„„„„„4分 ∵BC=BD，∠BDC=∠BCD=2∠ACB，„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 设∠ACB=x°，则∠BDC=∠BCD=2 x°，∠DBC= x°， ∴2 x+2 x+ x=180，解得x=36，

∴∠BCD=72°．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

（2）

AB=BD=AD =AC，BC = CD． 或 AB= BC= CD=BD=AD，AC，．„„8分

4．（南京市溧水县2011年中考一模）（9分）已知AB2，AD4，DAB90，

AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．

（1）设BEx，△ABM的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；

（3）连结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，

求线段BE的长．

D D A A

M

C B B E C 第3题图 备用图 解：解：（1）取AB中点H，连结MH，

M为DE的中点，MH∥BE，MH1(BEAD)． ········· 1分 2又ABBE，MHAB． ······················· 2分

11ABMH，得yx2(x0)； ·············· 3分 22（2）过D作DP⊥BC，垂足为P，∠DAB=∠ABC=∠BPD=90°，∴四边形ABPD是矩形． 以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，

111MHABDE， 又MH(BEAD)，∴DE=BE+AD-AB=x+4-2=x+2„„4分

222222

PD=AB=2，PE= x-4，DE= PD+ PE，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

4222

∴（x+2）=2+（x-4），解得：x．

34∴线段BE的长为．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

3（3）由已知，以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，

S△ABM

又易证得DAMEBM． ························ 7分 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADNBEM；②ADBBME． ①当ADNBEM时，AD∥BE，ADNDBE．DBEBEM． DBDE，易得BE2AD．得BE8； ················· 8分 ②当ADBBME时，AD∥BE，ADBDBE．

DBEBME．又BEDMEB，△BED∽△MEB． DEBE1212222，即BEEMDE=DE，得x=[2+（x-4）]． BEEM22解得x12，x210（舍去）．即线段BE的长为2． ············· 9分 综上所述，所求线段BE的长为8或2．

5．（南京市浦口区2011年中考一模）

（10分）如图，已知直角梯形ABCD中，AD//BC， DC⊥BC，AB＝5，BC＝6，∠B＝53°． 点O为BC边上的一个点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN． （1）当BO＝AD时，求BP的长；

（2）在点O运动的过程中，线段 BP与MN能否相等？若能，请求出当BO为多长时BP＝MN；若不能，请说明理由；

（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O．．．．与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围.

(参考数据：cos53°≈0．6；sin53°≈0．8；tan74°3.5)

A A D D

P M

B C B O N C （备用图） 解：（1）∵AD//BC,BO=AD ∴四边 形AB0D为平行四边形-------------------------------------------------------------------------1分 ∴AB//OD, ∠COD=∠ABO=53°，DO=AB=5

在RtOCD中，CODOcosCOD50.63 , BO=BC-CO=3.-----------------2分 在RtPOB中，BO=PO, ∴BP=2BOcos533.6.-------------------------------------------3分

（2）不存在.---------------------------------------------------------------4分 如图,过A点作AE⊥BC交BC于E点.若BP = MN，则△BOP≌△MON--------------------------------5分 ∴∠BOP=∠MON=180°- 2∠B = 74°

0ABsin534. DC=AE=

-------------------------------------------------------------------------6分 A D DC834. BO=BC-CO= 077tan743400.65.83 在△POB中,BP=2BOcos5327在RtOCD中，COP M 0B O E N C 因为AB=5,所以BP>AB.

又因为P点在边AB上，即BP＜AB. 所以BP与MN不可能相等.---------------------------------------------------------------------------

8分

（3）当0BO3时，⊙O与⊙C外切，CN 取值范围为 0< CN < 6 ------------ 9分 当3BO257时，⊙O与⊙C内切，CN 取值范围为 0CN------------- 10分 63

6．（南京市下关区秦淮区沿江区2011年中考一模）(6分)如图，已知，四边形ABCD为梯形，分别过点A、D作底边BC的垂线，垂足分别为点E、F．四边形ADFE是何种特殊的四边形？请写出你的理由．

AD

答案：四边形ADFE是矩形．„„„„1分

B证明：因为四边形ABCD为梯形，所以AD∥FEEF．„„„„„„„„2分

因为AE是底边BC的垂线，所以∠AEF＝90°．同理，∠DFE＝90°． 所以，AE∥DF，„„„„„„„„4分 所以，四边形ADFE为平行四边形．

又因为∠AEF＝90°，„„„„„„„„6分 所以四边形ADFE是矩形．

7、(2011海淀一模) 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠ADC=105°，AD=6，且

AC⊥AB，求AB的长． A

考查内容:

BCD

C答案：解：过点D作DE⊥AC于点E，则∠AED=∠DEC=90°. „„„„.„„„„„„„„1分

∵ AC⊥AB，

∴ ∠BAC=90°. ∵ ∠B=60°,

∴ ∠ACB=30°.

∵ AD∥BC，

AD

EB∴ ∠DAC=∠ACB=30°.

„„„„.„„„„„„„„2分

1 ∴ 在Rt△ADE中，DE=AD=3，AE=AD2DE233，∠ADE=60°.

2 „.„„„3分 ∵ ∠ADC=105°，

∴ ∠EDC=45°.

∴ 在Rt△CDE中， CE=DE=3. „„„„„.„„„„„„„„„„„4分

C ∴ AC=AE+CE=333.

∴ 在Rt△ABC中，AB=ACtan∠ACB=(333) „„.„„„„„„„„5分 B组

梯形

333. 3

一 选择题

1.(2011年白云区初中毕业班综合测试)选择题等腰梯形的一底角为６０°，两底之和为１１，下底比上底的２倍多２．则腰长为（＊） （Ａ）３ （Ｂ）５ （Ｃ）８ （Ｄ）９ 答案 B

2、(北京市西城区2011年初三一模试卷)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°， ∠B=30°， 若AD=CD=6，则AB的长等于（ ）．

A．9

答案D

B．12 C．633

D．18

3.（2011路桥二中一模）如图1，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图像如图2所示，则M点的纵坐标为（ ▲ ）

A．16 B．48 C．24 D．64 Ａ Ｂ 答案 B

图1

Ｄ Ｃ Ｐ

4. (2011武汉样卷) 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD，连接DE交对角线AC于H，连接BH.下列结论： ①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③=2；④EHBES△EBCAH=． S△EHCCHA

H

E B

第12题

D

其中结论正确的是（ ）

A．只有①② B．只有①②④ C．只有③④ D．①②③④ 答案 A

二 解答题

1．（2011北京昌平区统一练习一）

在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，BC=2cm. (1)求∠CBD的度数； (2)求下底AB的长. 解：∵BDAD,

∴ADB90.

C DCA

B

∵A60,

∴ABD30.„„„„„„„„„„„„1分 ∵AB∥CD,

∴ABDCBD30 .„„„„„„„„2分 ∵BC=CD,

∴CDBCBD30. „„„„„„„„3分 ∴ABC60. ∴AABC.

∴梯形ABCD是等腰梯形. „„„„„„„4分 ∴AD=BC=2.

在中，ADB90，ABD30，

∴AB=2AD=4. „„„„„„„„„„„„5分

2.(广州四中2011年初三第一次模拟测试)已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AEAC． D

A

（1）求证：BGFG；

F 答案

B C

G （2）若ADDC2，求AB的长．

E 答案

（2 题） ，DE⊥AC于点F， （1）证明：ABC90°ABCAFE． ·········· （1分）

D ACAE，EAFCAB， A

F △ABC≌△AFE ·········· （2分）

ABAF． ············ （3分）

B C 连接AG， ·············· （4分） G AGAG，ABAF，

Rt△ABG≌Rt△AFG． ······ （5分） E BGFG． ············ （6分） （2）解：ADDC，DF⊥AC，

11ACAE． ························ （7分） 22E30°．

FADE30°， ························ （8分）

····························· （9分） AF3． AF（10分） ABAF3． ··························

3.（2011北京平谷区一模）．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，∠C=45°， BE⊥DC于E，BC=5，AD:BC=2:5.

AD求ED的长.

E答案 解：作DF⊥BC于F,EG⊥BC于G. „„1分 ∵∠A=90°，AD∥BC ∴ 四边形ABFD是矩形. ∵ BC=5,AD:BC=2:5. CB

∴ AD=BF=2. „„„„„„„„„„„„„„„..2分 ∴ FC=3.

在Rt△DFC中， ∵ ∠C=45°，

∴ DC=32.„„„„„„„„„„„„„„„„3分 在Rt△BEC中， ∴

52„„„„„„„„„„„„„„„„„„.„„„„„„„„„„„....4分 2522∴ DE=32„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„.5分 22EC=

4.（2011重庆一模）．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，DBC90，BC=BD，在AB上截取

BE ,使BE=BC，过点B作BFAB于B，交CD于点F．连接CE，交BD于点H，交BF于点G．

（1）求证：EH=CG；

（2）已知AD=3，BG=2，求AB的长.

答案 证明：（1）

∵DBC90 ∴1390 ∵BF⊥AB于B

A∴1290

∴23 ∵EB=CB E∴45

∴EHB≌CGB ∴EH=CG

（也可证明EBG≌CBH）

(2)方法一：过点C作BC的垂线交BF的延长线于M ∵AD//BC

∴ADBDBC90 ∵CMBC ∴MCB90 ∴MCBADC 又∵DB=BC 由（1）知23 ∴ADB≌MCB ∴AB=BM AD=CM=3

由（1）知EHB≌CGB ∴BH=BG=2 ∴67

A E H G F

D DB

C

M4H62137FG5BC

∵BCMDBC90 ∴DB//CM

∴6MCG,7GMC ∴MCGGMC ∴MG=MC=3 ∴BM=AB=5

梯形

一、选择题

1、（2011重庆市纂江县赶水镇）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥DC，

BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N．下列结论：

①BH=DH；②CH=(21)EH；③

SENHEH．其中正确的是（ ） SEBHECＡ．①②③ B．只有②③ C．只有② D．只有③ A E

N B

C

答案：B 2、（2011年北京四中四模）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC和BD相交于点O，则图中的全等三角形共有（ ） （A）1对 （B）2对 （C）3对 （D）4对 答案：C

3、（2011年如皋市九年级期末考）已知等腰梯形的底角为45°，高为2，上底为2，则其面积为（ ）

A．2 B．6 C．8 D．12 答案：．C

4、(2011浙江杭州模拟14)下列命题中的真命题是( ).

A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 中心对称图形都是轴对称图形 C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D. 等腰梯形是中心对称图形

D H

答案：C

5（2011年浙江省杭州市模拟）如图，

的点作

为

的垂线与

，过

上到点

的距离分别为

相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别

( )

．观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积

A.32 B.54 C.76 D.86

答案C

6.(浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（ ）

A．1∶3 B．2∶3 C．3∶2 D．3∶3

答案：A

7．（2011杭州上城区一模）

梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，且S1 +S3 =4S2，则CD=（ ）

（第7题） A. 2.5AB B. 3AB C. 3.5AB D. 4AB 答案：B

2

8（2011广东南塘二模）.已知梯形中位线长为5cm，面积为20cm，则高是 A、2cm B、4cm C、6cm D、8cm 答案:B

9. （2011湖北武汉调考模拟） 如图，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=9O°，E、F是BC上两点，若AD=ED，∠ADE=30°，∠FDC=15°，则下列结论：①∠AED=

A

D BEFC

∠DFC;②BE=2CF；③AB- CF=

1EF;④SOAF:SDEF =AF:EF其中正确的结论是( ) 2 A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②④

答案：C 10、（北京四中2011中考模拟14）在课外活动课上，教师让同学们作一个对角线完全垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为800平方米，则对角线所用的竹条至少需（ ） A、402cm B 、40cm C、 80cm D、802cm 答案：B

二、填空题

1、（2011年北京四中五模）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，EF为中位线，若AB＝2b，EF＝a，则阴影部分的面积 . 答案：ab

2、(2011年江阴市周庄中学九年级期末考)如图，已知

梯

形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AD=4，

B30°AD60°CAB=33，则下底BC的长为 __________．

答案：10 3、（2011年黄冈中考调研六）已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为5，腰AD的长为4，则这个等腰梯形的周长为 ； 答案18

4.（2011灌南县新集中学一模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，对角线AC⊥BD，垂足为O．若CD＝3，AB＝5，则AC的长为 .

答案：42

A

（第4题图）

B

D O C

5（浙江杭州金山学校2011模拟）（引九年级期末自我评估卷第16题）

如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，„„，四边形PnMnNnNn+1的面积记为

Sn，则Sn= ▲

答案：

6、（2011深圳市三模）如图有一直角梯形零件ABCD，AD∥BC，斜腰10cm，∠D＝A DC的长为D 120，则该零件另一腰AB的长是 m.

答案：5错误！未找到引用源。

B

第6题图

33n1 22n1C

三、解答题 1、（2011北京四中模拟6）等腰梯形一底的中点对边的两个端点的距离会相等吗？若相等，

请给出证明。若不相等，请说明理由. 答案 会相等，画出图形， 写出已知、求证；

无论中点在上底或下底， 均可利用等腰梯形同一 底上的两底角相等和腰 相等加上中点定义，运 用“SAS”完成证明。

2、（2011淮北市第二次月考五校联考）如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发，沿CD方向向D点运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.

（1）求AD的长；

（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；

（3）探究在BC边上是否存在点M，使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M并求出BM的长，若不存在，请说明理由。 B A Q 答案 （1）过点B作AE∥BC交CD于E，∠AED=∠C=∠D=60°

∴△ADE为等边三角形∴AD=DE=9-4=5 „„„„„„4分

(2)过点Q作QF⊥CD于M点，如图，设DQ=CP=x，∠D=60°则PD=9-x，

C P D

QF=

19281333x，S△PDQ =PD×h=-（x-）+ „„„„„„7分

222416

9813时，S△PDQ 最大值为 „„„„„„9分 2169（3）如图，假设存在满足条件的点M，则PD=DQ，9-x=x,x= P为CD的中点，连结QP，

2又∵0≤x≤5∴当x=

∠D=60°则△PDQ为等边三角形，过点Q作QM∥DC交BC于M，点M即为所求。连结MP，则CP=PD=DQ=CM，∠D=60°则△CPM为等边三角形„„12分

∴∠D=∠3=60°∴MP∥QD∴四边形PDQM为平行四边形又PD=PQ∴四边形PDQM为菱形，BM=BC-MC=5-

91= „„„„„„14分 223、(2011浙江杭州模拟14)

如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．

（1）当t0.5时，求线段QM的长；

（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，

若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由． （3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围； 答案：

解：（1）由Rt△AQM∽Rt△CAD． „„„„„„„„„„„„„„„„„2分

∴

QMADQM4． 即，∴QM1． „„„„„„„„„„„„„1分 AMCD0.525或4． „„„„„„„„„„„„„„„„„3分 3（2）t1或

（3）当0＜t＜2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E 由（1）可得

QMAD． 即QM=2t．∴QE=4-2t．„„„„„„„„„2分 AMCD1PC·QE=t22t „„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 2

∴S△PQC =

即yt22t

当t＞2时，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H.

PADADP4(t2)6t．

由题意得，BFABAF4．

∴ CFBF． ∴CBF45． ∴ QMMB6t． ∴QMPA． ∴ 四边形AMQP为矩形． ∴ PQ∥AB．CH⊥PQ，HF=AP=6- t ∴ CH=AD=HF= t-2 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 ∴S△PQC = 即y=

11PQ·CH=t2t „„„„„„„„„„„„„„„1分 2212tt 22综上所述 yt2t(0t2)或y=

12tt ( 24. （2011年江苏盐都中考模拟）（本题8分）已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，E是BC

的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连接AC、BF． (1)求证：AB=CF；

(2)若将梯形沿对角线AC折叠恰好D点与E点重合,梯形ABCD应满足什么条件,能使四边形ABFC为菱形?并加以证明. FDC

E

（1）证△CEF≌△BEA即可.（4分）

（2）当梯形ABCD中∠D=90°时，能使四边形ABFC为菱形，证明略.（4分）

AB5、（2011年北京四中中考模拟18）如图11，在ΔABC中，AC＝15，BC＝18，sinC=

4，D是5AC上一个动点（不运动至点A，C),过D作DE∥BC，交AB于E，过D作DF⊥BC，垂足为F，连结 BD，设 CD＝x．

（1）用含x的代数式分别表示DF和BF；

（2）如果梯形EBFD的面积为S，求S关于x的函数关系式； (3）如果△BDF的面积为S1，△BDE的面积为S2，那么x为何值时，S1＝2S2

图11

解：（1）在Rt△CDF中，sinC＝ ∴DF＝CD• sinC＝

∴BF＝18－

4，CD＝x， 54322x，CF＝CDDFx 553x。 5EDAD， BCACBCAD18(15x)618x ∴ED＝

AC1551∴S＝×DF×（ED＋BF）

2146318272xx ＝x(18x18x)25552552 （3）由S1＝2S2，得S1＝S

3134218272xx) ∴（18－x）•x＝(2553255（2）∵ED∥BC，∴

解这个方程，得：x1＝10，x2＝0（不合题意，舍去）

所以，当x＝10时，S1＝2S2

6．（2011年杭州三月月考）如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD，坝顶AD=4m，坝高AE=6 m，斜坡AB的坡比i1:2，∠C=60°，求斜坡AB、CD的长。

答案：

解：∵斜坡AB的坡比i1:2，

∵AE：BE=1:2，又AE=6 m ∴BE=12 m ∴AB=621226122265 （m） 作DF⊥BC于F，则得矩形AEFD，有DF=AE=6 m， ∵∠C=60° ∴CD=DF·sin60°=33 m 答：斜坡AB、CD的长分别是65 m ，33 m。

7（2011广东南塘二模）梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝4，BC＝8，CD＝97。

（1）请你在AB边上找出一点P，使它到C、D距离的和最小。 （不写作法，不用证明，保留作图痕迹）

A D （2）求出（1）中PC＋PD的最小值。

B C （第7题）

答案：（1）略

（2）点D关于AB的对称点设为D′，连D′C交AB于P，过D作DF⊥BC于F，求出AB＝DF＝9，由△D′AP∽△CBP，可求得：PA＝3，BP＝6，∴PC＋PD最小值＝10＋5＝15。

ADi1:2BEC

8．（本题满分8分）（安徽芜湖2011模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD

⊥CD．

（1）求sin∠DBC的值；

（2）若BC长度为4cm，求梯形ABCD的面积．

答案: 解：(1)∵AD=AB ∴∠ADB=∠ABD

∵AD∥CB ∴∠DBC= ∠ADB=∠ABD „„„„„（1分） ∵在梯形ABCD中，AB=CD ，∴∠ABD+∠DBC=∠C=2∠DBC ∵BD⊥CD ∴3∠DBC=90 ∴∠DBC=30º „„（3分）

1

∴sin∠DBC= „„„„„„„„（4分）

2

º

（2）过D作DF⊥BC于F „„„„„„„„„„（5分）

在Rt△CDB中，BD=BC×cos∠DBC=23 （cm） „„„„„„„（6分） 在Rt△BDF中，DF=BD×sin∠DBC=3 （cm） „„„„„„„（7分） 12

∴S梯= (2+4)·3 =33 （cm）„„„„„„„„„„„„„„„（8分）

29.（浙江杭州金山学校2011模拟）（ 14分）（根据历城市2011年中考第一次模拟考试数学试卷改编）

已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D．E，连结AD、BD、BE。

(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形。 ．．．．．．．．．．．．．．．．_____________________，______________________ 。

(2)直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线yax2ax3a(a0)经过点A．B．D，且B为抛物线的顶点。 ①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________。 ②求抛物线的解析式。

③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD

2

相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

答案：（1）△OAD∽△CDB. △ADB∽△ECB„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 （2）①（1，－4a）„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分

②∵△OAD∽△CDB

DCCB∴„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 OAOD∵ax－2ax－3a=0，可得A（3，0）„„„„„„„„„„„„„2分 又OC=－4a，OD=－3a，CD=－a，CB=1， ∴

1a2 ∴a1 ∵a0 ∴a1 3a32

图2

故抛物线的解析式为：yx22x3„„„„„„„„„„„„2分

③存在，设P（x，－x+2x+3）

∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形 ∴PN=AN

当x<0（x<－1）时，－x+3=－(－x+2x+3)，x1=－2，x2=3(舍去)，

∴P（－2，－5）„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 当x>0（x>3）时，x－3= －(－x+2x+3)， x1=0，x2=3(都不合题意舍去) „„„„1分 符合条件的点P为（－2，－5）„„„„„„„„„

10、（北京四中2011中考模拟13）等腰梯形一底的中点对边的两个端点的距离会相等吗？若相等，请给出证明。若不相等，请说明理由。

答案：会相等，画出图形， 写出已知、求证；

无论中点在上底或下底，均可利用等腰梯形 同一底上的两底角相等和腰相等加上中点定 义，运用“SAS”完成证明。

2

2

2

11．（2011年杭州市上城区一模）（本小题满分10分） 已知四边形ABCD，E是CD上的一点，连接AE、BE.

（1）给出四个条件: ① AE平分∠BAD,② BE平分∠ABC, ③ AE⊥EB,④ AB=AD+BC. 请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出AD∥BC的正确命题,并加以证明； （2）请你判断命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC”是否正确,并说明理由.

答案：（1）如: ①②④AD∥BC

证明：在AB上取点M,使AM＝AD，连结EM, ∵ AE平分∠BAD ∴∠MAE＝∠DAE 又∵AM＝AD AE＝AE， ∴ △AEM≌△AED ∴ ∠D=∠AME 又∵ AB=AD+BC ∴ MB=BC， ∴△BEM≌△BCE ∠C=∠BME 故∠D+∠C＝∠AME+∠BME＝180°∴ AD∥BC （2）不正确

作等边三角形ABM AE平分∠BAM,BE平分∠ABM

且AE、BE交于E，连结EM,则EM⊥AB，过E作ED∥AB交 AM于D,交BM与C，则E是CD的中点而AD和BC相交于点M

∴ 命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC”是不正确的. 12. （2011年杭州市模拟）（本题6分）如图，在梯形ABCD中，

DCBCEMADEBC(第11题（1）)

AMEDBCADAB∥CD，D90°，CD4,ACBD，

tanB

2，求梯形ABCD的面积. 3A第12题

B答案：在梯形ABCD中，AB∥CD，

∴∠1＝∠2.

∵∠ACB＝∠D＝90°. ∴∠3＝∠B.

D1C32AB

∴tan3tanB2 3在Rt△ACD中，CD＝4， ∴AD∴AC∴sinB∴S梯形ABCD

13．（2011年海宁市盐官片一模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC

＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

（1）求梯形ABCD的面积； （2）求四边形MEFN面积的最大值．

（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由． 答案：⑴过C作CG⊥AB于G ∵AB=7,CD=1 ∴BG=

A E F B M D

C N

CD6

tan3AD2CD2213.在Rt△ACB中，tanBAC213 ，∴ABsinB131(ABCD)AD51 22， 3713 2由BC=5 ∴CG=5232=4 S梯形ABCD=

141716 2⑵∵MN∥AB,且ME⊥AB,NF⊥AB ∴四边形EFNM为矩形

设BF为x，四边形MEFN的面积只为y ∵NF∥CG, ∴BFN∽BGC

NFx4BFNF 即 ∴NF=x

433BGCGEF\\7-2x ∴y=

4x（7-2x） 3

749时，四边形MEFN的最大值为

64421⑶当x=7-2x时，即x=，MEFN为正方形

31042114此时正方形边长为

3105196正方形面积为

25当x=

14、（赵州二中九年七班模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥ BC，ABDC，若点M为线段AD上任意一点（M与A、D不重合）。问：当点M在什么位置时，MBMC，请说明理由。

答案：解：当点M是AD的中点时，MB=MC． 理由如下：

如图，连接MB、MC，

∵在梯形ABCD中，AB=DC，

∴梯形ABCD是等腰梯形，从而∠A=∠D． ∵点M是AD的中点，∴MA=MD． 又∵AB=DC，∴△MAB≌△MDC． ∴MB=MC． 15、（赵州二中九年七班模拟）(7分) 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝60°，AD＝4，BC＝6，求AB的长。

A D

答案： B C 解：过点A作AE⊥BD，垂足为E． ∵BD⊥DC，∠C＝60°，BC＝6，

sin606∴∠1＝30°，BDBC∵AD//BC，∴∠2＝∠1＝30°．

333． 2A2D∵AE⊥BD，AD＝4，∴AE2，DE23． ∴BEBDDE33233． ∴AB

AE2BE27．

B1EC