肃宁县第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(1)

肃宁县第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知复数z满足（3+4i）z=25，则=（ ） A．3﹣4i

B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i

2． 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（ ） A．

B．

=（ ） B．

C．

D．

C．

D．2

3． 复数A．

4． 已知a，b是实数，则“a2b＞ab2”是“＜”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

x5． 函数fxalogax1有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）

A．1,10 B．1, C．0,1 D．10, 6． 已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2

）an+sin

2

，则该数列的前10项和为（ ）

A．89 B．76 C．77 D．35

7． 已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）

A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β 8． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在90,100内的人数分别为（ ）

A．20，2 B．24，4 C．25，2 D．25，4 9． 已知向量a(m,2)，b(1,n)（n0），且ab0，点P(m,n)在圆xy5上，则

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22精选高中模拟试卷

|2ab|（ ）

A．34 B． C．42 D．32 10．把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A．40（8）

B．45（8）

C．50（8）

D．55（8）

11．设集合AxR||x|2，BxZ|x10，则AA.x|1x2 B.x|2x1 C. 2,1,1,2

B（ ）

D. 1,2

【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题． 12．已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ） A．C．x3＞y3

B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）

D．sinx＞siny

二、填空题

13．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．

14．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且|= ．

|=2，则

15．已知函数y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）

①﹣，1是函数g（x）=2x2﹣1有两个不动点；

②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点； ③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点； ④函数g（x）=2x2﹣1共有三个稳定点；

⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．

16．若tanθ+

=4，则sin2θ= ．

17．一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．

18．直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，则实数a的值为 ．

三、解答题

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精选高中模拟试卷

19．已知△ABC的顶点A（3，2），∠C的平分线CD所在直线方程为y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0．

（1）求顶点C的坐标； （2）求△ABC的面积．

20．设函数f（x）=lnx﹣ax+

﹣1．

（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程； （Ⅱ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；

2

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x﹣2bx﹣

，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）

成立，求实数b的取值范围．

21．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

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精选高中模拟试卷

如图，直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，APECPE，点H是线段ED的中 点.

（1）证明：A、E、F、D四点共圆； （2）证明：PFPBPC.

2

22．已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2．

23．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：

（I）AB∥平面EFG； （II）平面EFG⊥平面ABC．

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24．已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．

（I）求p的值；

（II）若经过点D（﹣2，﹣1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围．

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肃宁县第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

解析：∵（3+4i）z=25，z=∴=3+4i． 故选：B．

2． 【答案】B

2

【解析】解：抛物线y=4x的准线l：x=﹣1．

==3﹣4i．

∵|AF|=3，

=

．

∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3

∴1+xA=3 ∴xA=2， ∴yA=±2

，

∴△AOF的面积为故选：B．

【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A的坐标是解题的关键．

3． 【答案】A

【解析】解：故选A．

=

=

=

，

【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．

4． 【答案】C

【解析】解：由a2b＞ab2得ab（a﹣b）＞0， 若a﹣b＞0，即a＞b，则ab＞0，则＜成立，

若a﹣b＜0，即a＜b，则ab＜0，则a＜0，b＞0，则＜成立， 若＜则

，即ab（a﹣b）＞0，即a2b＞ab2成立，

即“a2b＞ab2”是“＜”的充要条件， 故选：C

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【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．

5． 【答案】B 【解析】

1试题分析：函数fx有两个零点等价于y与ylogax的图象有两个交点，当0a1时同一坐标

a系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当a1时同一坐标系中做出两函数图象如图

（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.

y22xy11-3-2-1-1O123x-4-3-2-1-1O1234x-2-2

（1） （2）

考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.

【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方法：函数yfx零点个数就是方程fx0根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周程yfx零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数ygx,yhx的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为ya,ygx的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③. 6． 【答案】C

【解析】解：因为a1=1，a2=2，所以a3=（1+cosa2k+1=[1+cos一般地，当n=2k﹣1（k∈N）时，

*

2

2

）a1+sin

2

=a1+1=2，a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．

=a2k﹣1+1， 即a2k+1﹣a2k﹣1=1．

]a2k﹣1+sin2

所以数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k． 当n=2k（k∈N）时，a2k+2=（1+cos

*

2

）a2k+sin

2

=2a2k．

k

所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2．

该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77 故选：C．

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7． 【答案】D

【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可

【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；

B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面； C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；

D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 综上D选项中的命题是错误的 故选D 8． 【答案】C 【解析】

考

点：茎叶图，频率分布直方图． 9． 【答案】A 【解析】

考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系. 10．【答案】D

5320

【解析】解：∵101101（2）=1×2+0+1×2+1×2+0+1×2=45（10）．

再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）． 故答案选D．

11．【答案】D 12．【答案】C

【解析】由绝对值的定义及|x|2，得2x2，则Ax|2x2，所以AB1,2，故选D.

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【解析】解：∵实数x、y满足a＜a（1＞a＞0），∴y＜x．

x

y

对于A．取x=1，y=0， 不成立，因此不正确；

22

对于B．取y=﹣2，x=﹣1，ln（x+1）＞ln（y+1）不成立； 333

对于C．利用y=x在R上单调递增，可得x＞y，正确；

对于D．取y=﹣故选：C．

π，x=，但是sinx=，siny=，sinx＞siny不成立，不正确．

【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】 50π

【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上， 所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：所以球的半径为：故答案为：50π．

14．【答案】 （﹣

【解析】解：∵则：AD：BD=1：5

，

，

，

） ．

；则这个球的表面积是：

=50π．

，

设OC与AB交于D（x，y）点 即D分有向线段AB所成的比为

则

解得：

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∴又∵|∴

|=2

=（﹣

，，

） ）

故答案为：（﹣

【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，

可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式

15．【答案】 ①②⑤

【解析】解：对于①，令g（x）=x，可得x=定点，故②正确；

进行求解．

或x=1，故①正确；

对于②，因为f（x0）=x0，所以f（f（x0））=f（x0）=x0，即f（f（x0））=x0，故x0也是函数y=f（x）的稳

222

对于③④，g（x）=2x﹣1，令2（2x﹣1）﹣1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，

1，

2

由此因式分解，可得（x﹣1）（2x+1）（4x+2x﹣1）=0

还有另外两解

不动点，故③④错误；

，故函数g（x）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是

对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x0，显然它也有稳定点x0；

若函数y=f（x）有稳定点x0，即f（f（x0））=x0，设f（x0）=y0，则f（y0）=x0 即（x0，y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上，

假设x0＞y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＞f（y0），即y0＞x0，与假设矛盾； 假设x0＜y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＜f（y0），即y0＜x0，与假设矛盾； 故x0=y0，即f（x0）=x0，y=f（x）有不动点x0，故⑤正确． 故答案为：①②⑤．

【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．

16．【答案】

．

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【解析】解：若tanθ+sin2θ=2sinθcosθ=故答案为．

=4，则

=

=

==，

【点评】本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．

17．【答案】 2 ．

【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5， ∴2+x+4+6+10=5×5， 解得x=3， ∴此组数据的方差∴此组数据的标准差S=故答案为：2

．

[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8， =2

．

【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．

18．【答案】1

【解析】 【分析】利用两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a的值． 【解答】解：直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行， ∴

故答案为 1．

，解得 a=1．

三、解答题

19．【答案】

=﹣2．

【解析】解：（1）由高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0，∴∵直线AC⊥BH，∴kACkBH=﹣1． ∴

，

，

直线AC的方程为联立

∴点C的坐标C（1，1）．

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（2）

∴直线BC的方程为联立

，

， ，即

． ． ，

点B到直线AC：x﹣2y+1=0的距离为又∴

．

【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式，属于基础题．

20．【答案】

【解析】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2，∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2（5分） （Ⅱ）

=

，

（2分）

（6分）

令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2 故当

时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）.

时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，

（9分）

（Ⅲ）当

∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=

若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值又

①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，②当0≤b≤1时，

，由

（*） （10分）

，x∈[0，1]

与（*）矛盾 及0≤b≤1得，

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③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，

此时b＞1（11分） 综上，b的取值范围是

（12分）

，

【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，转化为g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在 （0，e]上的最小值．

21．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【

解

析

】

11

11]

试题解析：解：（1）∵PA是切线，AB是弦，∴BAPC，APDCPE， ∴BAPAPDCCPE，

∵ADEBAPAPD,AEDCCPE ∴ADEAED，即ADE是等腰三角形

又点H是线段ED的中点，∴ AH是线段ED垂直平分线，即AHED

又由APECPE可知PH是线段AF的垂直平分线，∴AF与ED互相垂直且平分， ∴四边形AEFD是正方形，则A、E、F、D四点共圆. （5分） （2由割线定理得PAPBPC，由（1）知PH是线段AF的垂直平分线，

22∴PAPF，从而PFPBPC （10分）

考点：与圆有关的比例线段． 22．【答案】

【解析】解：∴z1=2﹣i 设z2=a+2i（a∈R）

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∴z1z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i ∵z1z2是实数 ∴4﹣a=0解得a=4 所以z2=4+2i

【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．

23．【答案】 【解析】证明：（I）在三棱锥A﹣BCD中，E，G分别是AC，BC的中点． 所以AB∥EG…

因为EG⊂平面EFG，AB⊄平面EFG 所以AB∥平面EFG… 所以AB⊥CD…

（II）因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD 又BC⊥CD且AB∩BC=B 所以CD⊥平面ABC…

又E，F分别是AC，AD，的中点 所以CD∥EF 又EF⊂平面EFG，

所以EF⊥平面ABC…

所以平面平面EFG⊥平面ABC．…

【点评】本题考查线面平行，考查面面垂直，掌握线面平行，面面垂直的判定是关键．

24．【答案】

2

【解析】解：（I）由题意可知，抛物线y=2px（p＞0）的焦点坐标为

，准线方程为

．

所以，直线l的方程为由

…

…

消y并整理，得

设A（x1，y1），B（x2，y2） 则x1+x2=3p，

又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4， 所以，3p+p=4，所以p=1…

2

（II）由（I）可知，抛物线的方程为y=2x．

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由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1）．… 由方程组

（1）

．…

2

可得ky﹣2y+4k﹣2=0（2）…

当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．

2

把y=﹣1代入y=2x，得

．

这时．直线m与抛物线只有一个公共点

当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k（4k﹣2）．

2

由△＞0，即4﹣4k（4k﹣2）＞0，亦即4k﹣2k﹣1＜0．

解得于是，当

．

且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这

．…

时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，… 因此，所求m的取值范围是

【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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