二次函数系数a、b、c与图像的关系 知识要点
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；2没有交点，b-4ac＜0． （5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号． （6）由对称轴公式x=号． ，可确定2a+b的符5．（2014?宜城市模拟）如图是二次函数
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y=ax+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法： ①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．
其中说法正确的是（ ） ①② A． ②③ B． ②③④ C． 2①D． 6．（2014?莆田质检）如图，二次函数y=x+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（ ）
一．选择题（共9小题） 21．（2014?威海）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当2x=1时，y=2a；④am+bm+a＞0（m≠﹣1）． 其中正确的个数是（ ） 1 A． 2 B． 3 C． 24 D． 2．（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（ ） ③④ ②③ ①④ A． B． C． 3．（2014?南阳二模）二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论： ①a＜0；②c＞0；③b﹣4ac＞0；④确的结论有（ ） A． 1个 B． 2个 222①②③ D． ＜0中，正C． 3个 D． 4个 4．（2014?襄城区模拟）函数y=x+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：
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①b﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1
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＜x＜3时，x+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确结论的个数为（ ）
1 A． 2 B． 3 C． 4 ＞2 DA．． m B． m＜3 C． m＞3 D． 2仅供个人学习参考
7．（2014?玉林一模）如图是二次函数y=ax+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：
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①b＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0． 其中正确结论的个数是（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 8．（2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与 y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．
其中正确的是（ ） ①② ③④ A． B． ①③ C． 222
D． 4个 ①③④ D． 9．（2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（ ） ①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0． A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 10、（2011?重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞0 11、（2011?雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（ ） A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤ 12、（2011?孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；2③4ac-b=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（ ） A、1B、2C、3D、4 答案 一．选择题（共9小题）
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1．（2014?威海）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1
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时，y=2a；④am+bm+a＞0（m≠﹣1）． 其中正确的个数是（ ） 1 2 3 A． B． C． 4 D． 考二次函数图象与系数的关系． 点： 分由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x析： 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解解：抛物线与y轴交于原点， 答： c=0，（故①正确）； 仅供个人学习参考
该抛物线的对称轴是：， b+c的值． 23．（2014?南阳二模）二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论： 直线x=﹣1，（故②正确）； 2当x=1时，y=a+b+c ①a＜0；②c＞0；③b﹣4ac＞0；④＜0中，正∵对称轴是直线x=﹣1， 确的结论有（ ） ∴﹣b/2a=﹣1，b=2a， A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4 又∵c=0， ∴y=3a，（故③错误）； 考二次函数图象与系数的关系． 2点： x=m对应的函数值为y=am+bm+c， 专数形结合． x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c， 题： 又∵x=﹣1时函数取得最小值， 22分由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的∴a﹣b+c＜am+bm+c，即a﹣b＜am+bm， 析： 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进∵b=2a， 2对所得结论进行判断． ∴am+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）． 解解：①∵图象开口向下，∴a＜0；故本选项正确； 故选：C． 2 ②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴，∴c＞0；故本答：点本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax+bx+c（a≠0）系2③∵二次函数评： 数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与xy=ax+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点2式△=b﹣4ac＞0；故本选项正确； 轴交点的个数确定． 22．（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）④∵对称轴x=﹣＞0，∴＜0；故本选项正确； 的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a综上所述，正确的结论有4个． ﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结故选D． 论的序号是（ ） 点本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是③④ ②③ ①④ ①②③ A． B． C． D． 2评： y=ax+bx+c系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想考二次函数图象与系数的关系． 们加强训练即可掌握，属于基础题． 点： 24．（2014?襄城区模拟）函数y=x+bx+c与y=x的图象专数形结合． 如图，有以下结论： 题： 2①b﹣4c＜0②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1分由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c；的符2＜x＜3时，x+（b﹣1）x+c＜0． 析： 号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结其中正确结论的个数为（ ） 论进行判断． 2 3 4A．1 B． C． D． 解解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误； 答： ②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，考 二次函数图象与系数的关系． ∴y=a﹣b+c＜0， 点： 故②正确； 分由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=﹣析： b+c＞0；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函③由抛物线的开口向下知a＜0， 2函数值，可得x+bx+c＜x，继而可求得答案． ∵对称轴为0＜x=﹣＜1， 解解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点， ∴2a+b＜0， 答： ∴b2﹣4ac＜0； 故③正确； 故①正确； 当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0， ④对称轴为x=﹣＞0，a＜0 故②错误； ∴a、b异号，即b＞0， ∵当x=3时，y=9+3b+c=3， 由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0 ∴3b+c+6=0； ∴abc＜0， ③正确； 故④错误； ∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值， 2∴正确结论的序号为②③． ∴x+bx+c＜x， 故选：B． 2∴x+（b﹣1）x+c＜0． 2点二次函数y=ax+bx+c系数符号的确定： 故④正确． 评： （1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0； 故选C． （2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣ 点判断符号；主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中评： 形结合思想的应用． （3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0； （4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣仅供个人学习参考
5．（2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：
①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2． 其中说法正确的是（ ） ①② ②③ ②③④ A． B． C． 2
点此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称评： 图象与y轴的交点解决问题． 27．（2014?玉林一模）如图是二次函数y=ax+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：
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①b＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0． ①②④ D其中正确结论的个数是（． ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4 考二次函数图象与系数的关系． 点： 考二次函数图象与系数的关系． 分根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得点：b=2a ＞0，则2a析： ﹣b=0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在分x由抛物线的开口方向判断轴下方得到ca与0的关系，由抛物线与y轴的＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=﹣2析：时， y与＜0，则得到的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进对所得结论进行判断． 4a﹣2b+c＜0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（2，y2）离解解：∵抛物线的开口方向向下， 对称轴的远近对④进行判断． 答： ∴a＜0； 解解：∵抛物线开口向上， ∵抛物线与x轴有两个交点， 答： ∴a＞0， 22∴b﹣4ac＞0，即b＞4ac，①正确； ∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1， 由图象可知：对称轴x==﹣1， ∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴2a=b，2a+b=4a， ∴c＜0， ∵a≠0， ∴abc＜0，所以①正确； ∴2a+b≠0，②错误； ∵x=2时，y＞0， ∵图象过点A（﹣3，0）， ∴4a+2b+c＞0，所以③错误； ∴9a﹣3b+c=0，2a=b， 所以9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正确； ∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（2，y2）离对称轴要远， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴y1＞y2，所以④正确． ∴c＞0 故选D． 由图象可知：当点本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），x=1时y=0， ∴a+b+c=0，④正确． 评： 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开故选C 口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a．共同决点考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a2评： y=ax．抛物线+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）2的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△=b﹣4ac＞0时，抛物2228．（2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax+bx+c线与x轴有2个交点；△=b﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与 ﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 2y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有6．（2014?莆田质检）如图，二次函数y=x+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，下列结论： 则m的取值范围是（ ） ①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；A． m＞2 B． m＜3 C． m＞3 D． 2＜m＜3 ④≤n≤4． 考二次函数图象与系数的关系． 点： 其中正确的是（ ） 分由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m①② ③④ ①③ ①A． B． C． D． 析： 的不等式，由图象交y轴于负半轴也可得到关于m的不等式，再求两个考二次函数图象与系数的关系． 不等式的公共部分即可得解． 点： 解解：∵二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴， 分①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），答： ∴m﹣3＜0， 析： 点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断； 解得m＜3， ②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得∵对称轴在y轴的右侧， 是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号； ∴x=， ③根据两根之积=﹣3，得到a=，然后根据c的取值解得m＞2， 式的性质来求a的取值范围； ∴2＜m＜3． ④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的故选：D． 仅供个人学习参考
求得n的取值范围． ∴c＜0正确； 22解解：①∵抛物线y=ax+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）③∵二次函数y=ax+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（，对称轴直线是答： x=1， ∴a﹣b+c=0， ∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）， 即a+c=b， ∴根据图示知，当x＞3时，y＜0． ∵b＜0， 故①正确； ∴a+c＜0正确； 2②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0． ④∵二次函数y=ax+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（＞0， ∵对称轴x==1， ∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0， ∴b=﹣2a， 故④正确， ∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0． 故选D． 故②错误； 点主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，）， 评： b0的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的∴﹣1×3=﹣3， =﹣3，则a=． ∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3， ∴﹣1≤≤，即﹣1≤a≤． 故③正确； ④根据题意知，a=∴b=﹣2a=， ，=1， ∴n=a+b+c=c． ∵2≤c≤3， ≤≤4，≤n≤4． 故④正确． 综上所述，正确的说法有①③④． 故选D． 点本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号评： 由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 29．（2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（ ） ①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0． A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考二次函数图象与系数的关系． 点： 分由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c析： 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解解：①∵y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），答： 且1＜x1＜2， ∴对称轴在y轴的右侧， 即：﹣＞0， ∵a＞0 ∴b＜0，故①正确； ②显然函数图象与y轴交于负半轴， 仅供个人学习参考
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