曲线拟合实验报告

数值分析

课程设计报告

学生姓名 学生学号 所在班级 指导教师

成绩评定

一、课程设计名称

函数逼近与曲线拟合

二、课程设计目的及要求

实验目的：

⑴学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。 ⑵学会基本的矩阵运算，注意点乘和叉乘的区别。 实验要求：

⑴编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，做出离散函数（𝑥𝑖,𝑦𝑖）和拟合函数的图形；

⑵用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB的内部函数plot作出其图形，并与（1）结果进行比较。

三、课程设计中的算法描述

用最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的数据点，并不要求这条曲线精确的经过这些点，而是拟合曲线无限逼近离散点所形成的数据曲线。

（xi,yi）误差思路分析：从整体上考虑近似函数p(x)同所给数据点

rip(xi)yi的大小，常用的方法有三种：一是误差rip(xi)yi绝对值的最大

值maxri，即误差向量的无穷范数；二是误差绝对值的和ri，即误差向量的1

0imi0m范数；三是误差平方和ri2的算术平方根，即类似于误差向量的2范数。前两

i0m种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2范数的平方，此次采用第三种误差分析方案。 算法的具体推导过程： 1.设拟合多项式为：

y=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥1+⋯+𝑎𝑘𝑥𝑘

2.给点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和：

𝑛

𝑅2=∑[𝑦𝑖−(𝑎0+𝑎1𝑥+⋯+𝑎𝑘𝑥𝑖𝑘)]

𝑖=1

2

3.为了求得到符合条件的a的值，对等式右边求𝑎𝑖偏导数，因而我们得到了：

𝑛

−2∑[𝑦−(𝑎0+𝑎1𝑥+⋯+𝑎𝑘𝑥𝑖𝑘)]𝑥=0

𝑖=1𝑛

−2∑[𝑦−(𝑎0+𝑎1𝑥+⋯+𝑎𝑘𝑥𝑖𝑘)]=0

𝑖=1

⋯⋯

𝑛

−2∑[𝑦−(𝑎0+𝑎1𝑥+⋯+𝑎𝑘𝑥𝑖𝑘)]𝑥𝑘=0

𝑖=1

4.将等式左边进行一次简化，然后应该可以得到下面的等式

𝑛

𝑛

𝑎0𝑛+𝑎1∑𝑥𝑖+⋯+𝑎𝑘∑𝑥𝑖𝑘

𝑖=1

𝑛

𝑛

𝑖=1𝑛

𝑎0∑𝑥𝑖+𝑎1∑𝑥𝑖2+⋯+∑𝑥𝑖𝑘+1

𝑖=1𝑛

𝑖=1𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑎0∑𝑥𝑖𝑘+𝑎1∑𝑥𝑖𝑘+1+⋯+𝑎𝑘∑𝑥𝑖2𝑘

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

5.把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：

nnxii1nxiki1xxi1i1nni2ixi1nk1inxyii11a0innxik1a1yi i1i1nan2kkyixii1i1kin6. 将这个范德蒙得矩阵化简后得到

1x11x21xnx1ka0y1ykax212 kaxnkyn7.因为X*AY,那么AY/X,计算得到系数矩阵，同时就得到了拟合曲线。

四、课程设计内容

⑴实验环境：MATLAB2010

⑵实验内容：给定的数据点（𝑥𝑖,𝑦𝑖） 𝑥𝑖 𝑦𝑖 0 1 0.5 1.75 0.6 1.96 0.7 2.19 0.8 2.44 0.9 2.71 1.0 3.00 1) 用最小二乘法求拟合数据的多项式； 2) 用MATLAB内部函数polyfit函数进行拟合。 ⑶实验步骤

1)首先根据表格中给定的数据，用MATLAB软件画出数据的散点图（图1）。 2)观察散点图的变化趋势，近似于二次函数。则用二次多项式进行拟合，取一组基函数𝑥0,𝑥1,𝑥2,并令f(x)=𝑎1𝑥2+𝑎2𝑥+𝑎3，其中𝑎𝑘是待定系数(k=1,2,3)。 3)用MATLAB程序作线性最小二乘法的多项式拟合，求待定系数。 算法实现代码如下：

x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; R=[(x.^2)' x' ones(7,1)]; A=R\\y'

4) 用MATLAB程序计算平均误差。 算法实现代码如下：

y1=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y=x.^2+x+1; z=(y-y1).^2; sum(z)

5) 作出拟合曲线和数据图形（图2）。

6) 用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差。

算法实现代码如下：

x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0];

y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; A=polyfit(x,y,2);%二次多形式拟合% z=polyval(A,x); A

d=sum((z-y).^2)

7）绘制使用polyfit函数实现的拟合图形。（图3）

五、程序流程图

输入初始数据点 根据原始数据绘制散点图 分析数据点变化趋势，确定拟合多项式 用最小二乘法求系数矩阵，确定多项式 用所求的多项式，计算误差 绘制拟合曲线 图5-1 用最小二乘法求多项式拟合曲线流程图

输入初始数据点 调用polyfit函数，确定多形式的系数 调用polyval函数，进行多项式求值 调用plot函数进行绘图

图5-2 用polyfit函数求多项式拟合曲线流程图

六、实验结果

图6-1 表中数据的散点图

图6-2. 最小二乘法实现的拟合曲线

第1问 系数为

A = 1.0000 1.0000 1.0000 则多项式的方程为y=𝑥2+𝑥+1 平方误差和为 ans =1.9722e-031

图6-3. polyfit函数实现的拟合函数

第2问 系数为

A = 1.0000 1.0000 1.0000 则多项式的方程为y=𝑥2+𝑥+1 平方误差和为 ans = 1.9722e-031

七、实验结果分析

编写程序用最小二乘法求拟合曲线的多项式的过程中，求出的数据和拟合函数的平方误差很小，达到了很高的精度要求，以及通过散点求得的拟合曲线比较

光滑。而用MATLAB的内部函数求polyfit求解的曲线拟合多项式和平方误差与程序求得的相同，还有就是虽然求解过程简单了，但用MATLAB的内部函数做出的图形由明显的尖点，不够光滑。

此次实验数据较少，而且数据基本都是可靠数据。但是在应用实际问题中，数据会很庞杂，此时对于最小为乘法的算法就需要进一步的细化。例如在进行数据采集时，由于数据采集器（各种传感器）或机器自身的原因及其外部各种因素的制约，导致数据偶尔会有大幅度的波动，及产生一些偏差极大的数据，不能真实反映数据的可靠性，所以会对数据进行筛选或修正。而此时就可应用曲线拟合的最小二乘法的进行处理。

八、实验心得体会

在日常的学习和生活中，我们可能会遇到各种方面的跟数据有关的问题，并不是所有的数据都是有用，必须对数据进行适当的处理，然后找出数据之间的关系，然后进行分析得出结果。此次实验结果基本没有大的区别，可是MATLAB提供给我们一个特别简洁的办法，应用一个函数即可实现相同的结果。虽然很方便，但是对于初学者来说，我觉得打好基础才是关键，对于一个知识点，应该掌握其最基本的原理，然后在将它应用于实际。

通过这个实验我也理解到了，数值分析是一个工具学科，它教给了我们分析和解决数值计算问题得方法，使我从中得到很多关于算法的思想，从中受益匪浅。

附录：源代码

散点图：

x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; plot(x,y,'r*')

title('实验数据点的散点图'); legend('数据点（xi,yi）'); xlable('x'); ylable('y'); 最小二乘拟合：

x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; R=[(x.^2)' x' ones(7,1)]; A=R\\y'

x1=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y1=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y=x.^2+x+1;

plot(x1,y1,'k+',x,y,'r')

title('实验数据点的散点图及拟合曲线'); z=(y-y1).^2; sum(z)

Polyfit函数拟合：

x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; A=polyfit(x,y,2);%二次多形式拟合% z=polyval(A,x); A

d=sum((z-y).^2)

plot(x,y,'k+')

title('实验数据点的散点图及拟合曲线'); hold on plot(x,z,'r')