新教材人教A版高中数学选择性必修一教案设计-点到直线的距离公式两条平行直线间的距离

2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离

学 习 目 标 1.了解点到直线的距离公式的推导方法．(重点) 2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点) 3.初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点)

在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离呢？ 通过点到直线距离、两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养. 核 心 素 养

点到直线和两条平行线间的距离 名称 点到直线的距离 两平行线间的距离 过一点向直线作垂线，则该点与夹在两条平行直线间的公垂线概念 垂足之间的距离，就是该点到直段的长度就是两条平行直线间线的距离 条件 的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝＝0 d＝|Ax0＋By0＋C| A2＋B20与l2：Ax＋By＋C2＝0 d＝|C1－C2| A2＋B2公式 思考：(1)在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？

(2)在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？ [提示] (1)要求直线的方程应化为一般式．

(2)两条平行直线的方程都是一般式，且x, y对应的系数应分别相等．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当A＝0或B＝0或点P在直线l上时，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式仍然适用．

( )

(2)当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．( ) (3)在用两平行线间的距离公式时，两方程中x，y的系数对应成比例即可．

(4)点P(x0，y0)到x轴的距离是d＝y0. [提示] (1)√ (2)√ (3)× (4)×

2．点P(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为( ) 5A．5 C．5 A [d＝

|2×1－2＋1|5

＝

5.] 22＋－12

25

B．5 D．25

( ) ( )

3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为( ) A．3 C．1 C [d＝

|－7－－12|

＝1.]

32＋42

B．2 1D． 2

4．若第二象限内的点P(m,1)到直线x＋y＋1＝0的距离为2，则m的值为________．

|m＋1＋1|

－4 [由＝2，得m＝－4或m＝0，

12＋12又∵m<0，∴m＝－4.]

为________．

(2)求点P(3，－2)到下列直线的距离： 31

①y＝4x＋4；②y＝6；③x＝4. (1)2－1 [由点到直线的距离公式得 |a－2＋3|

＝1，解得a＝±2－1，

12＋－12

∵a＞0，∴a＝2－1.]

点到直线的距离 【例1】 (1)已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值31

(2)[解] ①把方程y＝4x＋4写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝

|3×3－4×－2＋1|18

＝5.

32＋－42

②法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝|0×3＋－2－6|

＝8.

02＋12

法二：因为直线y＝6平行于x轴， 所以d＝|6－(－2)|＝8. ③因为直线x＝4平行于y轴， 所以d＝|4－3|＝1.

点到直线距离的求解方法

(1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式．

(2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．

[跟进训练]

1．求点P0(―1,2)到下列直线的距离： (1)2x＋y―10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y―1＝0.

[解] (1)根据点到直线的距离公式得d＝

|2×－1＋2－10|10

＝＝25. 2252＋1|－1＋2－2|2＝. 2221＋1

(2)直线方程可化为x＋y―2＝0，所以d＝

(3)因为直线y―1＝0平行于x轴，所以d＝|2―1|＝1.

间的距离为( )

A．4 513

C．26 213B．13 710D．20

两条平行线间的距离 【例2】 (1)两条直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋my＋1＝0平行，则它们之(2)已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程．

[思路探究] (1)先由l1∥l2，求出m的值，再求距离．有以下几种思路：①直接利用两平行直线间的距离公式求解；②在l1上取一点M，求点M到l2的距离；③求原点到l1与l2的距离，再利用图形，确定求和(或差)，即得所求．

(2)分斜率存在和不存在两种情况讨论． (1)D [∵l1∥l2，∴3×m－6×1＝0，∴m＝2. 1

∴直线l2的方程为6x＋2y＋1＝0，即3x＋y＋2＝0.

1

－3－2710

法一：根据两平行直线间的距离公式，得d＝＝20.

32＋12法二：在l1上取一点M(0,3)，则点M到l2的距离 |6×0＋2×3＋1|710d＝＝20即为所求．

62＋22

法三：设原点O到直线l1、l2的距离分别为|OE|、|OF|，画出图形(图略)易得l1，l2之间的距离d＝|OE|＋|OF|＝

|0＋0－3||0＋0＋1|710

＋＝20.] 2222

3＋16＋2

(2)[解] 当直线l1，l2斜率存在时，设直线l1、l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－

y－5k＝0，在直线l1上取一点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝12＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝5，

|1＋5k|

＝5，∴25k221＋k

∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.

若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．

综上可知，满足条件的直线方程有两组，即l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.

求两条平行直线间的距离的两种思路

(1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．

(2)利用两条平行直线间的距离公式求解．

[跟进训练]

2．已知直线l的方程为2x－y＋1＝0.

(1)求过点A(3,2)，且与直线l垂直的直线l1的方程；

(2)求与直线l平行，且到点P(3,0)的距离为5的直线l2的方程． 1

[解] (1)∵直线l的斜率为2，∴所求直线斜率为－2，

1

又∵过点A(3,2)，∴所求直线方程为y－2＝－2(x－3)，即x＋2y－7＝0. (2)依题意设所求直线方程为2x－y＋c＝0， ∵点P(3,0)到该直线的距离为5， ∴

|6＋c|

＝5，解得c＝－1或c＝－11， 22

2＋－1

所以，所求直线方程为2x－y－1＝0或2x－y－11＝0.

[探究问题] 距离公式的综合应用

1．若过点P(x0，y0)的直线l′与l：Ax＋By＋C＝0平行，那么点P到l的距离与l′与l的距离相等吗？

[提示] 相等．平行线间的距离处处相等． 2．求点到直线的距离应注意什么？

[提示] 要注意先把直线方程化成一般式方程． 3．怎样理解两平行线间的距离？ [提示] 公式d＝

|C1－C2|

可以理解为坐标原点到两条平行线间的距离之差(同A2＋B2

侧时)或之和(异侧时)．

【例3】 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．

[思路探究] 先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解．

[解] 设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．

2x－y＋2＝0，由得正方形的中心坐标为P(－1,0)， x＋y＋1＝0，由点P到两直线l，l1的距离相等，得去)．∴l1：x＋3y＋7＝0.

又正方形另两边所在直线与l垂直，

∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴

|－3＋a||－1－5|

＝，得a＝9或a＝－3，

32＋－1212＋32

|－1－5||－1＋c|

＝2，得c＝7或c＝－5(舍222

1＋31＋3

∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.

∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0.

1．[变结论]本题条件不变，求正方形的面积．

2x－y＋2＝0[解] 由得正方形的中心坐标为P(－1,0)． x＋y＋1＝0由点到直线的距离公式得点P(－1,0)到直线x＋3y－5＝0的距离 |－1＋3×0－5|310d＝＝5. 12＋3261061072＝. 这时正方形的边长为5，所以正方形的面积为S＝552．把本例条件改为“直线2x－y＋2＝0和直线x＋y＋1＝0为平行四边形的两条邻边”，求以(1,1)为中心平行四边形的另两边的所在直线方程． 2x－y＋2＝0[解] 由得E(－1,0) x＋y＋1＝0又E(－1,0)关于(1,1)的对称点为(3,2)． 根据平行四边形的性质知，另两边交点为(3,2)，把(3,2)分别代入2x－y＋m＝0，x＋y＋n＝0，并解得m＝－4，n＝－5. 故平行四边形的另两边所在直线方程为2x－y－4＝0和x＋y－5＝0.

1．求参数问题

利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． 2．求方程的问题

立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．

3．最值问题

(1)利用对称转化为两点之间的距离问题．

(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．

(3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．

2

1．对点到直线的距离公式的两点说明

(1)适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离．

(2)结构特点：公式中的分子是用点P(x0，y0)的坐标代换直线方程中的x，y，然后取绝对值，分母是直线方程中的x，y的系数的平方和的算术平方根．

提醒：在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式． 2．对两条平行直线间的距离的两点说明

(1)这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点)．

(2)两条平行直线间的距离公式．

除了将两平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解外，还可以利用两条|C2－C1|

平行直线间的距离公式d＝2.

A＋B2

1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于( ) A．7 B．5 C．3 D．2

A [直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.]

2．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是( )

42A．3 C．42

82B．3 D．22

aa－2－3＝0，

B [∵l1∥l2，∴解得a＝－1.∴l1的方程为x－y＋6＝0，

2a－6a－2≠0，2

6－3282

l2的方程为－3x＋3y－2＝0，即x－y＋3＝0，∴l1，l2间的距离是2＝3.] 1＋－12

3．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________．

2x－y＋1＝0 [设l的方程为2x－y＋m＝0，由题意知＝1.

故所求直线方程为2x－y＋1＝0.]

|m－3||m＋1|

＝，解得m55

4．点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为________．

a>7或a<－3 [根据题意，得

|3a－6|

>3，解得a>7或a<－3.] 22

3＋4

5．已知直线l1：3x＋4ay－2＝0(a＞0)，l2：2x＋y＋2＝0.

(1)当a＝1时，直线l过l1与l2的交点，且垂直于直线x―2y―1＝0，求直线l的方程；

5

(2)求点M3，1到直线l1的距离d的最大值．



[解] (1)当a＝1时，直线l1：3x＋4y―2＝0，l2：2x＋y＋2＝0， 3x＋4y－2＝0

则， 2x＋y＋2＝0解得交点(―2,2)．

1

又由直线l垂直于直线x―2y―1＝0，直线x―2y―1＝0的斜率k＝2， ∴kl＝―2.

∴直线l的方程为y―2＝―2(x＋2)，即2x＋y＋2＝0. 2

(2)直线l1：3x＋4ay―2＝0(a＞0)过定点N3，0，

5

又M3，1，∴点M到直线l1的距离d的最大值为|MN|＝

＝2.

523－3＋1－02

2