第五章线性参数的最小二乘处理.

习 题

5-1研究铂-铱米尺基准器的膨胀系数时得出，在不同温度下该米尺基准器的长度的修正值可用下述公式表示：

x+ty+t2z=L

式中x表示在0℃时米尺基标准器的修正值（微米）；y和z为温度系数；t为温度（℃）；L为t℃基准器的长度的修正值（微米）。经研究得在不同温度下米尺基准器长度的修正值如下表：

求未知参量x，y，z的最可依赖值。

5-2对未知量x，y，z，组合测量的结果如下：

x=0 y=0 z=0 x-y=0.92, -y+x=1.35 -x+z=1.00

试求x，y，z的最可依赖值及其标准误差。

5-3由等精度测定方程为：

x+37y+1369z=36.3 x+32y+1024z=41.4 x+27y+729z=47.5 x+2y+484z=54.7 x+17y+289z=63.2 x+12y+144z=72.9 x+7y+49z=83.7

6 17.806 154.87 i t L 1 2 3 4 10.459 41.49 9 28.986 252.09 5 14.277 124.25 10 34.417 299.84 17.250 0.551 5.363 160.28 7 22.103 192.64 5.70 8 24.633 214.57 47.61

44

试用矩阵最小二乘法求x，y，z的最可依赖值及其精度。

5-4交流电路的电抗x=ωL

1， C

在角频率ω1=3时，测得x为x1=0.8

ω2=2时，测得x为x2=0.2 ω3=1时，测得x为x3=-0.3

试求：(i) L，C及其方差；(ii) ω=3时（=0.1）电抗值及其方差。

5-5试求下列方程给出的x，y的最大或然值及其标准误差。

2x+y=5.1 x-y=1.1 4x-y=7.4 x+4y=5.9

5-6测得一直线上四段长度AB、BC、CD、DE分别为24.1，35.8，30.3和33.8厘米，但已知AD准确长90厘米和BE准确长100厘米。试求AB，BC，CD，DE的最大或然值。

5-7由方程组

3x+y=2.9 x-2y=0.9 2x-3y=1.9

试求x，y的最大或然值及其标准误差。

5-8由下面的不等精度的测定方程组，求x1，x2的最可信赖值及其标准误差。

x1=0 x2=0

权： P1=8 P2=10 P3=1 P4=5

x1+2x2=0.25 x1-3x2=0.92

5-9由下面的不等精度的测定方程组，试用矩阵最小二乘法求x，y的最大或然值及其标准误差。

x-3y=-5.6 4x+y=8.1 2x-y=0.5

权： P1=1

P2=2 P3=3

5-10由下面的测定方程组，试求x，y的最可依赖值及其标准误差。

2x+y=5.1 x-y=1.1 4x-y=7.2

权：P1=1

P2=3 P3=2

5-11试求满足下列方程的x，y，z及其标准误差（假设它们是等权的）。

x+y+z=4.01

45

2x-y+z=1.04 x+3y-2z=5.02 3x+y=4.97

5-12由座标点(1，0) (3，1) 和 (-1，2)到某点的距离分别为3.1，2.2和3.2。试求该点座标位置的最大或然值及其标准误差。

5-13对某一角度值，分两个测回进行测定，其权等于测定次数，测定值如下。试求该角度的最可信赖及其标准误差。

第一测回 pi 7 1 2

5-14某平面三角形三个角被测出为A=48º5′10″，B=60º25′24″，C=70º42′7″，令假设这种测量（i）各次权相等；（ii）各次权分别为1、2、3；试求A、B、C的最大或然值。

5-15数N系时间t的函数

N=x1+ x2t+ x3t2

测定后的N的值如下。测定是在异权情况下进行的，试求x1，x2，x3的最可信赖值。

i ti Ni Pi

5-16硝酸钠在100份水内的溶解度与温度的关系，测定为 温度 溶解度

第二测回 ai pi 3 2 1 1 1 1 1 ai 34º55′40″ 34º55′30″ 34º55′20″ 34º55′0″ 34º55′70″ 34º55′10″ 34º55′50″ 34°56′ 34°54′ 34°55′ 1 1.5 6.20 2 1.1 3.45 3 0.7 2.00 4 0.3 1.80 5 -0.1 2.40 6 -0.5 4.55 7 -1.0 8.85 8 -1.5 15.70 0.707 9 -2.0 24.40 0.500 0° 66.7 4° 71.0 10° 76.3 15° 80.6 21° 85.7 29° 92.9 36° 99.4 51° 113.6 68° 125.1 46

上述关系可用直线67.5+0.87t表示(式中t为温度)。试用最小二乘法来检证。

5-17由下列测定的方程组，求X、Y最可信赖及其或然误差。 X+Y=37.0 权：P1=5 2X+Y=61.9 P2=4

3X+Y=86.7 P3=4 X+2Y=49.2 P4=4 X+3Y=60.6 P5=3 2X+3Y=86.7 P6=2 3X+2Y=98.4 P7=3

5-18由下列测定方程组，求X、Y最可信赖及其标准误差。 2X+4Y+8Z=0.1612

2.200X+4.840Y+10.648Z=0.1986 3.200X+10.240Y+32.768Z=0.5098 2.600X+6.760Y+17.576Z=0.2896

3X+9Y+27Z=0.4181

5-19假设有三个某种量规，其值分别为Y1、、Y2、Y3。现在将它们直接地或间接地与数值已知为N的标准量规比较，比较的方案为下述三种（三种组合）：

（i）每一个量规各与标准量规比较二次；

（ii）第一个量规（Y1）与标准量规比较二次，第二个量规（Y2）与第一个量规比较二次，第三个量规（Y3）与第二量规比较二次；

（iii）每一个量规各与标准量比较一次，然后它们相互按不同的组合比较一次； 上述三种测量方案得到的条件方程式如下表所示：

（1） Y1—N=X1 Y1—N=X2 Y2—N=X3 Y2—N=X4 Y3—N=X5 Y3—N=X6

试研究采用那一种测量方案能够获得最好的结果。（提示：可以比较不同测量方案下未知数的权）。

（2） Y1—N=X1 Y1—N=X2 Y2—Y1=X3 Y2—Y1=X4 Y3—Y2=X5 Y3—Y2=X6 （3） Y1—N=X1 Y2—N=X2 Y3—N=X3 Y2—Y1=X4 Y3—Y1=X5 Y3—Y2=X6

47

典型题解

5-1 由测量方程

3xy2.9 x2y0.9 2x3y1.9 试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。 解：方法一：列出误差方程组：

v12.9(3x2y)v(x2y)20.9 v31.9(2x3y)3V2＝(2.9(3xy2i))(0.9(x2y))2(1.9(2x3y))2

i＝1分别对x，y求偏导，并令它们的结果为0，

2((3xy)2.9)32((x2y)0.9)2((2x3y)1.9)20 2((3xy)2.9)2((x2y)0.9)22((2x3y)1.9)30

即，

14x5y13.45x14y4.6

由上式可解得结果：

x0.9626 y0.0152

方法二：直接列表计算给出正规方程常数项和系数

i a2i1 ai2 ai1 a2i2 ai1ai2 li ai1li ai2li 1 3 1 9 1 3 2.9 8.7 2.9 2 1 -2 1 4 -2 0.9 0.9 -1.8 3 2 -3 4 9 -6 1.9 3.8 -5.7  --- --- 14 14 -5 --- 13.4 -4.6

可得正规方程

14x5y13.45x14y4.6

将x，y的结果代入分别求得：

v12.9(30.9626＋0.0152)＝0.003v0.9(0.962620.0152)＝0.03222 v31.9(20.9626－30.0152)＝0.0204得，

48

vi132iv12v22v32(0.003)2(0.0322)2(0.0204)2 0.00146由题已知，n3，t2得

v131.461030.0382 nt322i由不定乘数的方程组

14d115d1215d14d

1112014d215d2205d

2114d221得

d110.0819 d220.0819

得

xd110.03820.08190.0109

yd220.03820.08190.0109

方法二：按矩阵形式计算，由误差方程VLAX

v12.9(3x2y) vy)20.9(x2 v31.9(2x3y)上式可以表示为

v1l131vl12x22vl23y

33即

v1l12.931Vv2；Ll20.9； A12； Xxv3l31.923y可得

49

xXC1ATL(ATA)1ATL

y式中

C1(ATA)131131214512514 12323－111451145145145171145514所以

XxC1ATyL11452.91711453121230.91.91474132.91712923320.9 1.91164.61712.6＝0.96260.0152即解得，

x0.9626y0.0152

将最佳估计值代入误差方程可得，

v1VLAXv2v3l13112xl2 l23y350

2.931120.96260.90.01521.923

0.00300.03220.0204将计算得到的数据代入式中

3vi211.46nt10－33-20.0382 为求出估计量x，y的标准差，首先求出不定常数dij (i，j1，2)。 由已知，不定常数d1ij的系数与正规方程的系数相同，因而dij是矩阵C中各元素，即C1d11d12d114521d22171145 则

d14111710.0819 d14221710.0819 可得估计量的标准差为

xd110.03820.08190.0109

yd220.03820.08190.0109

5-2 已知误差方程为

v110.013x1 v310.002x3 v50.008(x1x3) v210.010x2 v40.004(x1x2) v60.006(x2x3)

试给出x1，x2，x3的最小二乘法处理及其相应精度。 解:根据矩阵形式，误差方程VLAX可以表示为

v1l1100v2l2010v301x1vl304l4110x2 v5l5101x3vl66011即

51

v1l110.013100vl10.01022010Vv3l10.002； A001xv；L310；X1 4l4x20.0041v5l50.00801x3v6l60.0061011可得

x1XxC1ATL(ATA)1AT2L x3式中

C1(ATA)1100－11001100010013111010101000101111131 1113100118444148311484116484131448448113得

x1XxC12ATL x310.01384410011010.01011648401010110.002 4480010110.0040.0080.00610.01384444010.01011648440410.002 4480440.0040.0080.00652

160.2000116160.1480160.052010.0125

10.009310.0033即解得

x110.0125x210.0093 x310.0033

将最佳估计值代入误差方程可得

v110.013x110.01310.01250.00055104 v210.010x210.01010.00930.00077104 v310.002x310.00210.00330.001313104v40.004(x1x2)0.004(10.012510.0093)0.00088104v50.008(x1x3)0.008(10.012510.0033)0.001212104v60.006(x2x3)0.006(10.009310.0033)0

得

6v2v222222i1v2v3v4v5v6i＝1(5104)2＋(7104)2＋(13104)2＋(8104)2＋(12104)2＋0(254916964144)1084.51106可得

6vi21.5110－6nt46-32.2110－3

为求出估计量x1，x2，x3的标准差，首先求出不定乘数dij，不定乘数dij的系数 与正规方程的系数相同，因而d1ij是矩阵C中各元素，即

d11d12d13C1d21d22d184423484 d31d32d3316448则

d111168＝0.5

53

d22d3318＝0.5 1618＝0.5 16于是估计量的标准差，

x1d112.211030.5＝0.0016

x2d222.211030.5＝0.0016 x3d332.211030.5＝0.0016

5-3 测力计示值与测量时的温度t的对应值独立测得如下表所示。 t/C F/N 15 43.61 18 43.63 21 43.68 24 43.71 27 43.74 30 43.78

设t无误差，F值随t的变化呈线性关系Fk0kt，试给出线性方程中系数k0和k的最小二乘估计及其相应精度。 解：方法一： 列出误差方程式，

ViFi(k0kti)

令k0a，kb为待估计量，则误差方程可写成为

ViFi(abti)

为计算方便，将数据列表如下：

i 1 2 3 4 5 6 ti/C 15 18 21 24 27 30 135 ti2/C2 225 324 441 576 729 900 3195 Fi/N 43.61 43.63 43.68 43.71 43.74 43.78 262.15 tiFi/CN 654.15 785.34 917.28 1049.04 1180.98 1313.4 5900.19 

根据误差方程，列出正规方程：

i＝1i＝1 666tiati2btiFii＝1i＝1i＝1natibFi 将表中计算出的相应系数值代入上面的正规方程得

6654



135a3195b5900.156a135b262.15解得

a43.4324

b0.01152即

k043.4324k0.01152

将k0，k代入误差方程得：

ViFi(43.43240.001152ti)

将Fi，ti代入上式，可得残余误差为：

V143.61(43.43240.0115215)＝0.0048N V243.63(43.43240.0115218)＝0.00976N V343.68(43.43240.0115221)＝0.00568N V443.71(43.43240.0115224)＝0.00112N V543.74(43.43240.0115227)＝0.00344N V643.78(43.43240.0115230)＝0.002N

可得：

6V2i(0.0048)2(0.00976)2(0.00568)2(0.00112)2(0.00344)2(0.002)2i＝10.000167374可得标准差为，

6Vi2i＝10.000167374n－t6－20.00647N

由上面所给的正规方程的系数，可列出求解不定乘数的方程组

6d11135d121135d

113195d120

6d21135d220135d3195d

21221分别解得

d113.38095 d220.00635

估计量k0，k的标准差为

55

k0d110.006473.380950.00119

k1d220.006470.006350.000516

方法二：

直接利用矩阵求解，误差方程VLAX可写成

即

可得

式中

所以

v1l1115v218l21v321vl314l4124k0k v527vl5l166130v1l143.61115vl43.6322118Vv3l43.68； A121v；L24；Xk03l4443.71k1v5l543.7427v16l643.78130Xk0kC1ATL(ATA)1ATL

C1(ATA)11151118=111111211151821242730241127130－1=61351353165

=１3195135613513561353165=１3195135945135656

kX0C1ATLk43.6143.63１319513511111143.6815182124273043.71 135694543.7443.7843.43240.01152将最佳估计值代入误差方程VLAX得

v1l11vl122v3l31V－v4l41v5l511v6l60.00480.009760.005680.001120.003440.00215182143.4324240.011522730

可计算

VTV0.0001673740.00647

n－t6－2为求出估计量k0，k的标准差,需要求出不定乘数dij的系数，而不定乘数dij的系数与正规方程的系数相同，因而dij是矩阵C1中各元素，即

dC111d21d12１3195135135 d226945则

d1131953.38095 94560.00635 945d22可得估计量的标准差为

k0d110.006473.380950.00119

57

k1d220.006470.006350.000516

5-4 研究米尺基准器的线膨胀系数，得出在不同温度时该基准器的长度修正值可用公式：y和z为温度系Lxytzt2表示。式中为0C时米尺基准器的修正值（单位为m）数；t为温度。在不同温度时米尺基准器的修正值L如下表所示：

t/C 0.551 5.363 47.61 10.459 91.49 14.277 124.25 17.806 154.87 22.103 192.64 24.633 214.57 28.986 252.09 34.417 299.84 L/m 5.70 试求x，y，z的最小二乘法处理及其相应精度。 解：利用矩阵形式误差方程VLAX可以表示为

v1l11vl221v3l31v4l41Vv5＝l5－1v6l61vl771v8l81v9l910.5515.36310.45914.27717.80622.10324.63328.98634.4170.55125.363210.459214.2772x17.8062y

222.103z24.6332228.98634.4172即

v1l15.701vl47.61221v3l391.491vl124.25441Vv5；Ll5＝154.87；A1vl66192.641vl214.57177v8l8252.091299.84vl1990.5515.36310.45914.27717.80622.10324.63328.98634.4170.55125.363210.4592x14.277217.8062；Xy

222.103z224.63328.986234.4172可得

x1TT1TXyCAL(AA)AL

z式中 C1(ATA)1

58

111110.5515.36310.45914.27717.806222220.5515.36310.45914.27717.806122.10322.1032124.63324.6332128.98628.9862134.417234.417110.5510.551215.36325.3632110.45910.459114.27714.2772117.80617.8062122.10322.1032124.63324.63322128.98628.986134.41734.41720.78570.08320.00190.08320.01290.00030.00030.0000

0.0019 所以

xXyC1ATL

z0.78570.08320.00190.08320.01290.0003 0.00190.00030.000011110.5515.36310.45914.2770.55125.363210.459214.27725.7047.6191.49124.25154.87192.64214.57 252.09299.841.10028.61450.0018即解得

1117.80622.103222.10321124.63328.98624.633228.9862134.41734.4172 59

17.806

x1.1002y8.6145 z0.0018 将最佳估计值代入误差方程可得

v1l11vl221v3l310.5515.36310.4590.55125.363210.45922v4l4114.27714.277xVv5＝l5－17.80617.8062v16l6122.10322.1032y

zv7l7124.63324.63322v828.98628.986vl81l99134.41734.41725.7010.5510.551247.615.3635.3632191.49110.45910.4592124.25114.27714.27721.1002 154.8717.80617.80628.6145

192.64－122.10322.103210.0018214.57124.63324.6332252.09128.98628.9862299.84134.41734.41720.14740.25720.08960.21400.20250.2361 0.15440.25300.0795可计算

VTV0.3327n－t9－30.2355

再由

d11d12d130.78570.08320.0019C1d21dd22230.0832d31d32d0.01290.0003330.00190.00030.000060

则

d110.7857 d220.0129 d0.0000

33可得估计量的标准差为

xd110.23550.78570.2087

yd220.23550.01290.0267

zd330.23550.00000.0000

5-5 不等精度测量的方程组如下：

x3y5.6， P11；4xy8.1， P22；2x3y0.5， P33

试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。 解：方法一：

列出误差方程

v15.6(x3y) P11 v28.1(4xy) P22 v30.5(2x3y) P33

现用表格计算出正规方程常数项和系数， i ai1 ai2 Pi a2a2i1pi i2pi Piai1ai2 li Piai1li Piai2li 1 1 －3 1 1 9 －3 －5.6 －5.6 16.8 2 4 1 2 32 2 8 8.1 64.8 16.2 3 2 －1 3 12 3 －6 0.5 3 －1.5  45 14 －1 62.2 31.5 根据误差方程，列出正规方程

45xy62.2x14y31.5

解得

x1.4345y2.3525

由残余误差方程

vili(ai1xai2y)

61

得

P21[5.6(11.4345－32.3525)]21v110.02302 Pv2222[8.1(41.434512.3525)]220.00952 P23v33[0.5(21.434512.3525)]23(0.0165)2

于是可得标准差为

3PiVi2i＝110.0230220.009523(0.0165)2nt320.0392

由已经计算出来的正规方程的系数，及不定乘数的方程组

45d11d121d14d

1112045d21d220d

2114d221得

d11146290.022260.0223 d45226290.071540.0715 可得估计量的标准差为

xd110.03920.02230.0059

yd220.03920.07150.0105

方法二： 直接利用矩阵计算

13l15.6A10041；Ll28.1； Xx； P020 21ly30.5003由

Xxy(ATPA)1ATPL

另

62

CATAATPA11420311011864323001341200321 3121451114得

C111414511451141629145 114则

Xx(ATPA)1ATPL＝C1ATyPL11411421005.66291453110208.1 0030.51.4352.352将最佳估计值代入误差方程VLAX，得

v1Vv5.61328.1411.435v2.35230.5210.023

0.00950.0165可计算

3PTiVVi＝110.0230220.009523(0.0165)2nt320.0392

由已知，不定常数dij的系数与正规方程的系数相同，因而d1ij是矩阵C中各元素，即C1d11d121141d21d22629145 则

63

d11d22可得估计量的标准差为

140.022260.0223 629450.071540.0715 629xd110.03920.02230.0059

yd220.03920.07150.0105

5-6 已知不等精度测量的单位权标准差＝0.004，正规方程为 33x132x270.184 32x1117x2111.994 试给出x1，x2的最小二乘法处理及其相应精度。 解：由正规方程可解得最小二乘法处理结果为

x11.6318

x20.5104由正规方程的系数，可求解不定常数

33d1132d121

32d11117d12033d2132d220

32d21117d221分别解得

d110.0412 d220.0116

估计量的标准差为

x1d110.0040.04120.0008 x2d220.0040.01160.0004

5-7 将下面的非线性误差方程组化成线性的形式，并给出未知参数x1，x2的二乘法处理及其相应精度。

v15.13x1 v313.21(x1x2) v28.26x2

v43.01x1x2

x1x2解：由前面三个线性的误差方程VLAX可解得x1，x2的近似估计值x10，x20

利用矩阵形式求解：

64

l1Ll5.13v11028.26； Vx1v2； A01； Xlx 313.21v3112可得

Xx1x＝C1ATL(ATA)1ATL

2 式中

C1(ATA)11101100101111

21112132112所以，

Xx1x＝C1ATL21215.133121010118.2613.2112115.1331218.26 13.21115.2100324.60005.07008.2000取x1，x2得近似值x10＝5.0700，x20＝8.200，令

x1x101x

2x20＋2可将误差方程线性化，现分别对测量方程求偏导

af1f11x1x1x101 a12x1x2x200 2af212xx1x100 af222xx1

122x20aff313xx31x101 a321xx2x201

2

65

a41f4x1f4x2x1x10x2(x1x2)x1x2(x1x2)2xx10x2x202x2(x1xxx2)2x2x10200.3818

a42x2x20x1(x1x2)x1x2(x1x2)2xx10x2x202x1(x1x2)2xx10x2x200.1460

则误差方程化成线性方程组V'L'Aδ， v1V'v2；v3v4可得

式中

所以

l'1l1f1(x10,x20)'0.06L'l2lf2(x10,x20)0.04'l23l3f； δ＝13(x10,x20)0.06

2l'4l4fx4(10,x20)0.12aa111210Aa21a221a31a0； 32a41a110.38180.146042δ＝1＝C1ATL‘(ATA)1ATL‘

2C1(ATA)11101010.3818010110.1460110.38180.1460 2.145811.05571.05572.02130.62720.32760.32760.6658δ1C1ATL’20.62720.32760.06 0.32760.66581010.38180.040110.14600.060.1266

0.62720.32760.29960.19160.060.040.32760.66580.33820.02790.060.12 0.01640.0100解得，

10.01640.0100

2则

x1x101＝5.07000.0164＝5.0536 x2x202＝8.20000.0100＝8.1900

将x1，x2的最佳估计值代入误差方程计算可得，

5.135.05360.0764V8.268.19000.070013.2113.2436 3.013.12520.03360.1152可得，

3VTVi＝10.0251nt420.1120 再由，

C10.62720.32760.32760.6658 则，

d110.6272 d220.6658

可得估计量的标准差为，

x1d110.11200.62720.0887 x2d220.11200.66580.0914

5-8 今有两个电容器，分别测其电容，然后又将其串联和并联测量，测得如下结果：C10.2071F C1C20.4111F

67

C20.2056F

C1C20.1035F

C1＋C2试求电容器电容量的最可信赖值及其精度。

00解：前面三个方程为线性方程组，同时取C10，C2为待估计量C1,C2的近似值，10 ，2为

估计量与所取近似值的偏差，待估计量C1,C2的表达式为

C01C101 C002C22 测量的误差方程组为

v10.2071C1v20.2056C2 v30.4111(C1C2)上式可以表示为：VLAX

v1l110vl01C122C

v3l3112即

v1l10.207110Vv2； Ll0.2056； A021； Xˆv3C1 l30.411111C2可得

XC1C-1ATL=(ATA)-1ATCL

2 式中

C-1=(ATA)-11101100101111

21112121312 所以

68

CX01C-1ATLC20.20712110110.20563120110.41110.20711211 0.205631210.411110.619730.61520.206560.20507得,

C010.20656FC00.20507F 2再令由题中，

fC011C101 f002C2C22 fC000031C2(C11)(C22)

fC1C2C10C20C20(C10C20)C10C20C10(00C0C410C2)C10C201＋C2C10C120(C10C20)2(C10C20)22现将函数在C001，C2处展开，取一次项，则有

fC0，Cf2)ifi(1，C2)fi(C101C1C01C10C020C12C

1C12C02C02C2（i＝1，2，3，4）

将展开式代入误差方程，并令

L'L00iifi(C1,C2) （i＝1，2，3，4）

则，

L01'0.2071C10.20710.206560.00053L2'0.2056C020.20560.205070.00053

L'0.4111(C0C0312)0.4111(0.206560.20507)0.00053 69

0C0C0.206560.20507L'0.1035(124C0C0)0.10350.00059 120.20656＋0.20507则误差方程组化成线性方程组，

V'L'A'δ

即，

v'001L1(a111a122) v(a02L'22101a222) vL'033(a3101a322)

vL'(a0444101a422)

在由前面的方程组分别求偏导：

aff111CCC11 a121C2C01112C20 a21f2CC0 a22f21

11C10 CC022C2af313C1C01C11 a32f3C1

2C02C2af)C4141C2CC1C10C2(C1C21(CC0.24819

1C2)2CC1102C02af4241(C1C2)C1C2C2C1C10C(C0.25181

1CC2)2C1C0C1202 则化成矩阵形式

V'L'A'δ

式中

V'1L10.0005410V'V'2 ，L'L20.0005311'，A'0V310，δ02V4L3－0.000531L'40.000590.206560.20507则，

δ=C'-1A'TL'=(A'TA')-1A'TL'

式中

C'1(ATA')1

70

－1101010.20656010110.20507110.206560.205072.04267－11.042361.042362.04205

12.042671.042363.084721.042362.04236得

δC'1A'TL'0.0005412.042671.042361010.206560.000533.084721.042362.042360110.20507－0.000530.000590.0005412.042671.042361.000310.208180.000533.084721.042362.042361.000310.20352－0.00053 0.0005910.00014323.084720.00010950.0000460.000035即

010.000046F020.000035F

进行第二次迭代计算：取

C11C01010.20661 C102C2020.20510

代入式中

L1''0.2071C110.20710.206610.00049

L''0.2056C1220.20560.205100.00050

L13''0.4111(C1C12)0.4111(0.206610.20501)0.00061 LC111C0.206110.205104''0.10352C1C10.10350.00069 120.20611＋0.20510得

bf1111C1CC1111 bf12C2C12C20

71

b21f2C11C1C10 b22f2C21C2C21

b31f3C11C1C11 b32f3C21C2C21

fC(CC)CCb414CC1C11212121(CC10.24817

1C2)2C1C12C12bf424C1(C1C2)C1C2C2C1C11(C1CC2)21C110.25184

C2C12化成矩阵形式

100.00049A010.00050''， 11L''＝－0.000610.248170.251840.00069δ'111(A''TA'')1A''TL''

2

－1101010.2481710.00049100.00050010.248170110.25184110110.25184－0.000610.248170.251840.000690.00049－12.061591.062501.062502.063421010.248170.000500110.25184－0.00061 0.000690.0004912.06342－1.062501010.248170.000503.12502－1.062502.061590110.25184－0.00061 0.000690.0004912.06342－1.062501.000920.250003.125021.062502.061590.999090.255430.00050－0.00061 0.0006910.00004153.125020.0000770 72

0.000013 0.000025即

110.000013F120.000025F

可得

C2C111110.2066230.2066F C2112C220.2051250.2051F

因为C1与C21211；C2与C2逼近较好。

取C1，C2的最佳估计值为

C10.2066uFC

20.2051uF可得

0.20710.20660.0005V0.20560.41110.20510.00050.4117 0.10350.10290.00060.0006VTVnt0.00000122420.000780.0008F由于不定乘数的系数与正规方程的系数相同

即由

C'112.042671.042363.084721.042362.04236 则

d1113.084722.042670.66219

d1223.084722.042360.66209

可得估计量的标准差

C1d110.662190.000780.0006FC2d220.662090.000780.0006F73