高中数学 外接球专题训练

外接球优生强化训练

1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心

例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A．16π

2．补形法（补成长方体）

B．20π

C．24π

D．32π

PPPO2PcAaBbCcCAbaBcCAbaBAaBbcC图1图2图3图4

例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是．

3．依据垂直关系找球心

例3：已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC满足

BABC6，ABCπ，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积216π 332π 3为（ ） A．8π

B．16π

C．

1

D．

强化训练

一、单选题

1．棱长分别为2、3、5的长方体的外接球的表面积为（ ） A．4π

2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A．12π

3．把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC平面ADC，则三棱锥DABC的外接球的表面积为（ ） A．32π

4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）

B．27π

C．18π

D．9π

B．28π

C．44π

D．60π

B．12π

C．24π

D．48π

A．a2π

5．三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的表面上，AB平面BCD，BCBD2，

AB2CD43，则球O的表面积为（ ）

B．2a2π C．3a2π D．4a2π

A．16π

B．32π C．60π D．64π

6．如图ABCDA1B1C1D1是边长为1的正方体，SABCD是高为1的正四棱锥，

2

若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A．

7．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R，ABAC2，BAC120，则球O的表面积为（ ） A．

8．已知正四棱锥PABCD(底面四边形ABCD是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为A．18π

9．如图，在△ABC中，ABBC6，ABC90，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PCPD，连接PC，得到三棱锥PBCD．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）

50，则此球的体积为（ ） 316π 9129π 16B．

25π 16C．

49π 16D．

81π 16B．

16π 3C．

64π 9D．

64π 3B．86 C．36π D．323π

A．7π

10．四面体ABCD中，ABCABDCBD60，AB3，CBDB2，则此

B．5π

C．3π

D．π

3

四面体外接球的表面积为（ ） A．

19π 2B．1938π 24C．17π D．1717π 6

11．将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使BDC120，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A．π

72B．7π C．

13π 2D．

13π 3

12．在三棱锥ABCD中，ABCD6，ACBDADBC5，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A．

二、填空题

13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．

14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________．

15．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB2，AC1，BAC60，则此球的表面积等于______．

4

4343π 24B．4343π 6C．

43π 2D．43π

16．在三棱锥ABCD中，ABAC，DBDC，ABDB4，ABBD，则三棱锥ABCD外接球的体积的最小值为_____．

外接球优生强化训练答案

1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心

例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A．16π 【答案】C

【解析】Va2h16，a2，4R2a2a2h2441624，S24π，故选C．

2．补形法（补成长方体）

B．20π

C．24π

D．32π

PPPO2PcAaBbCcCAbaBcCAbaBAaBbcC图1图2图3图4

例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是． 【答案】9π

【解析】4R23339，S4πR29π．

3．依据垂直关系找球心

例3：已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC满足

5

BABC6，ABCπ，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积216π 332π 312为（） A．8π 【答案】D

【解析】因为△ABC是等腰直角三角形，所以外接球的半径是r123，设外接球的半径是R，球心O到该底面的距离d，如图，则S△ABC63，

11BD3，由题设VS△ABCh6h3，

3612B．16π C．D．

最大体积对应的高为SDh3，故R2d23，即R23R3，解之得R2，

所以外接球的体积是πR34332π，故答案为D． 32

强化训练

一、单选题

1．棱长分别为2、3、5的长方体的外接球的表面积为（） A．4π 【答案】B

【解析】设长方体的外接球半径为R，由题意可知：2R2235，则：

222B．12π C．24π D．48π

R23，该长方体的外接球的表面积为S4πR24π312π．本题选择B选项．

6

2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A．12π 【答案】B

【解析】设底面三角形的外接圆半径为r，由正弦定理可得：2r2B．28π C．44π D．60π

23，则r2， sin602设外接球半径为R，结合三棱柱的特征可知外接球半径R3227， 外接球的表面积S4πR228π．本题选择B选项．

3．把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC平面ADC，则三棱锥DABC的外接

球的表面积为（） A．32π 【答案】C

【解析】把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC平面

ADC，

B．27π C．18π D．9π

则三棱锥DABC的外接球直径为AC32，外接球的表面积为4πR218π，故选C．

4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）

A．a2π 【答案】C

【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a的正三棱锥，

7

B．2a2π C．3a2π D．4a2π

另一个是棱长为2a的正四面体，如图所示：

该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以2Ra2a2a23aR32a3aπ，故选C． 积S4πR24π223所以该几何体外接球面a，25．三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的表面上，AB平面BCD，BCBD2，

AB2CD43，则球O的表面积为（）

A．16π 【答案】D

B．32π C．60π D．64π

【解析】因为BCBD2，CD23，所以cosCBDCBD2π， 31CD2，

2sinCBD222232222221，2因此三角形BCD外接圆半径为

22AB2设外接球半径为R，则R=2+41216，S=4πR64π，故选D．

26．如图ABCDA1B1C1D1是边长为1的正方体，SABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为（）

8

A．

9π 16B．

25π 16C．

49π 16D．

81π 16【答案】D

【解析】如图所示，连结A1C1，B1D1，交点为M，连结SM，

易知球心O在直线SM上，设球的半径ROSx，在Rt△OMB1中，由勾股定理有：

OM2B1M2B1O2，即：2x22292x，解得：，则该球的表面积x282819S4πR4ππ．本题选择D选项．

8162

7．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R，ABAC2，BAC120，则球O的表面积为（） A．

16π 912B．

16π 3C．

64π 9D．

64π 3【答案】D

【解析】由余弦定理得：BC44222cos12023， 设三角ABC外接圆半径为r，由正弦定理可得：232r，则r2， sin120 9

又R2R24，解得：R2141664，则球的表面积S4πR2π．本题选择D选项． 338．已知正四棱锥PABCD(底面四边形ABCD是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为A．18π 【答案】C 【解析】

50，则此球的体积为（） 3B．86 C．36π D．323π

如图，设正方形ABCD的中点为E，正四棱锥PABCD的外接球心为O， 底面正方形的边长为10，EA5， 正四棱锥的体积为

501，VPABCD33102PE50， 3则PE5，OE5R，

在△AOE中由勾股定理可得：5R5R2，解得R3，V球πR336π，故选C．

9．如图，在△ABC中，ABBC6，ABC90，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PCPD，连接PC，得到三棱锥PBCD．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，

则该球的表面积是（）

243 10

A．7π 【答案】A

【解析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为3的正三角形，且BD平面PCD， 设三棱锥PBDC外接球的球心为O，

△PCD外接圆的圆心为O1，则OO1面PCD，∴四边形OO1DB为直角梯形，

B．5π C．3π D．π

由BD3，O1D1，及OBOD，得OB7477，∴外接球半径为R，

22∴该球的表面积S4πR24π7π．故选A．

10．四面体ABCD中，ABCABDCBD60，AB3，CBDB2，则此四面体外接球的表面积为（） A．

19π 2B．1938π 24C．17π D．1717π 6【答案】A 【解析】

由题意，可知△BCD是等边三角形，BF3， △BCD中，CBDB2，CBD60，∴△BCD的外接圆半径r233， BE，FE33∵ABCABD60，可得ADAC7，可得AF6，∴AFFB，∴

AFBCD，

∴四面体ABCD高为AF6．

11

设外接球R，O为球心，OEm，可得：r2m2R2……①，

6π2EF2R2……②

由①②解得：R1919．四面体外接球的表面积：S4πR2π．故选A． 8211．将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使BDC120，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（） A．π 【答案】B

【解析】△BCD中，BD1，CD1，BDC120，

底面三角形的底面外接圆圆心为M，半径为r，由余弦定理得到BC3，再由正弦定理得到见图示：

32rr1， sin12072B．7π C．

13π 2D．

13π 3

将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起，提起到AD的AD是球的弦，DA3，高度的一半，即为球心的位置O，∴OM定理得到OD，OD即为球的半径． ∴球的半径OD137．该球的表面积为4πOD27π；故选B． 423，在直角三角形OMD中，应用勾股212．在三棱锥ABCD中，ABCD6，ACBDADBC5，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A．4343π 24B．4343π 6C．

43π 2D．43π

【答案】D

【解析】分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，

12

由条件，ABCD4，BCACADBD5，可知，△ABC与△ADB，都是等腰三角形，

AB平面ECD，∴ABEF，同理CDEF，∴EF是AB与CD的公垂线，

球心G在EF上，推导出△AGB≌△CGD，可以证明G为EF中点，

DE2594，DF3，EF1697，

∴GF7743，球半径DG，∴外接球的表面积为S4πDG243π． 9422故选D．

二、填空题

13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________． 【答案】84π

【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为r1616 23，

2sin60232则外接球的半径R322391221， 则外接球的表面积为S4πR24π2184π．

14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________． 【答案】32163π

324a【解析】设正四棱锥的棱长为，则4a163，解得a4． 2于是该正四棱锥内切球的大圆是如图△PMN的内切圆，

13

其中MN4，PMPN23．∴PE22． 设内切圆的半径为r，由△PFO△PEN，得

2231r22rFOPO，即， 2ENPN23解得r62，

2∴内切球的表面积为S4πr4π6232163π．

215．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB2，AC1，BAC60，则此球的表面积等于______． 【答案】8π

【解析】∵三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3，AB2，

1AC1，BAC60，21sin60AA13，AA12，

2BC2AB2AC22ABACcos60412，BC3，

设△ABC外接圆的半径为R，则

BC＝2R，R1， sin602∴外接球的半径为112，∴球的表面积等于4π28π．故答案为8π． 16．在三棱锥ABCD中，ABAC，DBDC，ABDB4，ABBD，则三棱锥ABCD外接球的体积的最小值为_____． 【答案】

82π 3【解析】如图所示，三棱锥ABCD的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD，

14

设ABACx，那么DBDC4x，ABBD，所以ADAB2DB2．由题意，体积的最小值即为

ADx24x，所以当x2时，所以半径为2， AD最小，AD的最小值为22，2故体积的最小值为

82π． 3 15