【篇一：流体力学第8、10、11章课后习题】
>一、主要内容
（一）边界层的基本概念与特征
1、基本概念：绕物体流动时物体壁面附近存在一个薄层，其内部存在着很大的速度梯度和漩涡，粘性影响不能忽略，我们把这一薄层称为边界层。 2、基本特征：
（1）与物体的长度相比，边界层的厚度很小；
（2）边界层内沿边界层厚度方向的速度变化非常急剧，即速度梯度很大； （3）边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；
（4）由于边界层很薄，因而可以近似地认为边界层中各截面上压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；
（5）在边界层内粘性力和惯性力是同一数量级；
（6）边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有层流和紊流2种状态。 （二）层流边界层的微分方程（普朗特边界层方程） ??v?vy?2v1?p
?vy?????vx?x?y??x?y2????p ??0 ?y?
??v?vy???0?x?y??
其边界条件为：在y?0处，vx?vy?0 在y??处，vx?v(x) （三）边界层的厚度
从平板表面沿外法线到流速为主流99%的距离，称为边界层的厚度，以?表示。边界层的厚度?顺流逐渐加厚，因为边界的影响是随着边界的长度逐渐向流区内延伸的。 图8-1 平板边界层的厚度 1、位移厚度或排挤厚度?1 ?1?
2、动量损失厚度?2 ?vx1?
(v?v)dy?(1?)dy x??00vv ?2? 1 ?v2
? ?
?vx(v?vx)dy?? ?
vxv
(1?x)dy vv
（四）边界层的动量积分关系式 ??2???p
?vdy?v?vdy?????wdx xx??00?x?x?x
对于平板上的层流边界层，在整个边界层内每一点的压强都是相同的，即p?常数。这
样，边界层的动量积分关系式变为 ?wd?2d?
vdy?vvdy?? x?x??00dxdx? 二、本章难点
（一）平板层流边界层的近似计算 根据三个关系式：（1）平板层流边界层的动量积分关系式；（2）层流边界层内的速度分布关系式；（3）切向应力关系式。可计算得到在平板一个壁面上由粘性力引起的总摩擦力及摩擦阻力系数。 三、习题与解答
8-1一平板顺流放置于均匀流中。如果将平板的长度增加1倍，试问：平板所受的摩擦阻力将增加几倍？(设平板边界层内的流动为层流 )
解：当平板边界层为层流边界层时，摩擦阻力系数c f?rel平板所受摩擦力可表示为fd?cf? ?1/2
，即cf? 12bl?v
?，所以，fd?2
可得：如果将平板的长度增加1
8-2设顺流长平板上的层流边界层中，板面上的速度梯度为k?近的速度分布可用下式表示 ?u?y y?0
。试证明板面附 u?
式中，
1?p2 y?ky 2??x ?p
为板长方向的压强梯度，y为至板面的距离。（设流动为定常流） ?x
证明：对于恒定二维平板边界层，普朗特边界层方程为： ?u?u1?p?2uu?v????2（1） ?x?y??x?y 由于平板很长，可以认为 ?u?u?v
?0，由连续性方程??0可得： ?x?x?y ?v
?0（2） ?y
0，因此在边界层内v?0，式（1）可简化为： ?2u1?p1?p （3） ??
?y2???x??x
上式中右端是x的函数，左端是y的函数，要使左右两端相等，必须使得对式（3）积分一次得： ?p
?常数，?x
?u1?p?y?c（4） ?y??x 再积分得到： u? ?u?y 1?p2
y?cy?d（5） 2??x
由题意k? y?0
，代入式（4）中，故c?k
当y?0时，由无滑移条件u?0，得d?0 证得u? 1?p2 y?ky 2??x
8-3温度为25℃的空气，以30m/s的速度纵向绕流一块极薄的平板，压强为大气压强，计算离平板前缘200mm处边界层的厚度为多少？
解：查表得温度为25℃的空气，其运动粘度为??15.475?10?6m2/s 对应的雷诺数为re? v?x ?
?387722＞＞5?105，按紊流边界层计算 边界层厚度为??0.377lrel?1/5?5.75mm
8-4温度为20℃、密度??925kg/m3的油流，以60cm/s的速度纵向绕流一宽15cm、长50cm的薄平板流动。试求总摩擦阻力和边界层厚度。在20℃时油的??7.9?10?5m2/s。 解：对应的雷诺数为re?边界层厚度为??v?l ?
?3797，按层流边界层计算 47.4mm
2总摩擦阻力为fd?0.686bl?v?rel?1/2?0.28n
8-5平板层流边界层内速度分布规律为系数与雷诺数re的关系式。 解：边界层的动量积分关系式为 yyvx
?2?()2，试求边界层厚度和摩擦阻力v??? ?d?2d?
vdy?vvdy??（1） x?x dx?0dx?0? 由题可得 vx?v?[2
利用牛顿内摩擦定律和式（2）得出： y ? y
?()2]（2） ?
?w??(
ydvx2?v?2?v?
)y?0?(1?)y?0?（3） dy???
为便于计算边界层厚度，先求下列2个积分式 ? ?
yy2
vxdy??v?[2()?()2]dy?v??（4）
0??3 ? ? ?
yy822
vdy??v?[2()?()2]2dy?v??（5） 0??15 2 x ?
将式（3）、（4）、（5）代入式（1）中得： 1
v??d???dx 15 积分后得 1
v??2??x?c 30
因为在平板壁面前缘点处边界层厚度为0，即x?0，常数c?0。于
是得边界层厚度为 ??位移厚度?1? 1/2
（6） ?5.48xre?x ? ? (1? ?
vx11/2
)dy???1.83xre?x v?3vxv21/2
(1?x)dy???0.73xre?x v?v?15
动量损失厚度?2? ?
将式（6）代入式（3）中，得切向应力为 ?w? 2?v? ? ?2
?0.36?v21/2
??0，所以积分 ?0.36?v?re?（7） x
在平板一个壁面上由粘性力引起的总摩擦阻力为 fd?b??wdx?0.360l l 2
?0.720.72bl?v?rel?1/2（8） 摩擦阻力系数为 cf?
2bl?v?2
f?1.44rel?1/2
8-6若平板层流边界层内的速度分布为正弦曲线vx?v?sin(之间的关系式。
解：边界层的动量积分关系式为 ?y
)，试求?和cf与re2? ?wd?2d?
vdy?vvdy??（1） x?x dx?0dx?0? 由题可得 vx?v?sin( ?y
)（2） 2?
【篇二：工程流体力学答案(陈卓如)第八章】
力为 4.4n。另一个直径为其两倍的圆球置于一风洞中，求在动力相似条件下风速的大小及球所受的阻力。已知?airw?13，?air?1.28kgm3。
［解］：此题涉及绕流物体的粘性阻力，应选取雷诺数为主要的相似准则，于是： re?uairdair ?air?uwdw?w 从上式可得：
uair?dw?airuw dair?w
由题意知：，dw1?air?，?13，uw?1.6s dair2?w
将以上条件代入，得风速：uair?1?13?1.6?0.8?13?10.4?m? 2 转化阻力采用牛顿数相等的原则，即： ne?fairfw? 2222?airuairdair?wuwdw
22?airuairdairfw 由上式可得：fair?22?wuwdw 由题意：?w1000?，fw?4.4n ?air1.28
1.28?10.4?2?????2?4.4?0.952?n? 1000?1.6?2所以：fair
［陈书8-10］需测定飞行器上所用流线型杆子的阻力，杆子厚度为30mm，飞行器速度为
?airw?13。150km/h，当用杆子模型在水槽中测定其粘性阻力时，已知水流速度为2m/s， 问模型厚度应为多少？
［解］：此题涉及绕流物体的粘性阻力，应选取雷诺数为主要的相似准则，于是： re?uairlair ?air?uwlw?w 从上式可得：
lw?uair?wlair uw?air
由题意知：?air?13，lair?30mm?0.03m ?w 150?103
?150kmh? 3600uw?1.6，uair
150?1031??0.03?0.096m?96mm 将以上条件代入，得模型厚度： lw?3600?1.613
［陈书8-11］为了得到水管中蝶阀的特性曲线，利用空气来进行模型实验。模型蝶阀直径dm?250mm，当??30o，空气
（??1.25kgm3）流量qvm?1.6m3时，实验测得如下数据：模型中压强降?pm?275mmh2o；气流作用在阀门上的力是pm?137n；绕阀门旋转轴气流的作用力矩是mm?2.94n?m。设实验在自模区进行，且实际蝶阀
3dt?2.5m，水流量qvt?8m，试确定实物中的压强降、作用力及作用力矩。 ?角相同。
［解］涉及压强降，应考虑欧拉数相等，即： eu??pm?pt? 2?mum?tut2
?tut2?pm 由上式可得：?pt?2?mum 由题意：?t1000??800 ?m1.25
2222??8?0.252?ut2?qvtdt2??qvtdm1?????????? 22?2?2????um?qvmdm??qvmdt??1.6?2.5?400 取重力加速度：g?9.8ms -2
?pm?275mmh2o?0.275?1000?9.8?2695pa 所
以：?pt?800800?2695?5390pa，或：?pt??275?550mmh2o 400400
转化作用力采用牛顿数相等的原则，即： ne?pmpt? 22?mumdm?tut2dt2
?tut2dt2800?2.5?p???由上式可得： pt???137?27400?n? 22m?mumdm400?0.25? 力矩：2mtpd?tt mmpmdm
ptdt274002.5mm???2.94?5880?n?m? pmdm1370.25所以：mt? ［陈书8-12］在深水中进行火箭的模拟实验，模型大小与实物之比为1/1.5。若火箭在空气中的速度为500km/h，问欲测定其粘性阻力，模型在水中的实验速度为多少（已知?airw?13）？
［解］：此题涉及绕流物体的粘性阻力，应选取雷诺数为主要的相似准则，于是： re?uairlair ?air?uwlw?w 由上式可得：
uw??wlair11.5uair???500?57.69?kmh??16?m? ?airlw131
【篇三：流体力学第8章(打印a4)】
txt>本章主要介绍：粘性流体层流运动的基本理论和基本分析方法，并简要介绍湍流边界 层的求解方法。
8.1粘性流体中的应力 一.粘性流体中的应力：
由于流体中任意一点的应力状态可由通过这一点的三个相互正交的作用面上的应力矢量唯一地确定。而每一应力矢量都可用三个分量表示。故共有九个应力分量。 ??xx?xy?xz???
p???yx?yy?yz? p又称为应力张量（二阶张量）。 ??zx?zy?zz???
第一个下标i表示应力所在平面的法线与i轴平行。 第二个下标j表示应力的方向与j轴平行。 正、负号的规定： 切应力互等定律： ?xy??yx,
?xz??zx,?yz??zy
即，p 的九个分量中只有六个是独立的分量。 二.广义牛顿内摩擦定律：
在第一章中介绍的牛顿内摩擦定律： ??? du dy ?u ?y
采用本章所定义的符号，可表示为： ?yx??xy??
斯托克斯(stokes) 1845年研究了如何表达流体中粘性应力的问题。 斯托克斯假设：(1) 粘性应力与变形率之间成线性的正比关系；(2) 流体是各向同性的，即应力与变形率之间的关系与方向无关；(3) 当流体静止时，变形率为零，此时应力--变形率关系给出的正应力就是流体的静压强。 由假设，有:
?xx?a?x?b ?yy?a?y?b ?zz?a?z?b
?xy??yx?a?z ?yz??zy?a?x?xz??zx?a?y ?
?xy??yx?a?z????? 2??x?y?? ?u ?y
得：比较。 a??v?u?
与牛顿平板实验结果：?yx??xy?? a?2?
故： ?xx?2? ?u?w?v
?b?yy?2??b ?b ?zz?2??x?z?y ?
?xx??yy??zz?2??? ??u?v?w?
?????3b ?x?y?z??
考虑到假设(3) ，要求： 当流体静止时： ?xx??yy??zz??p ?xx??yy??zz??3p
在粘性流体流动中一般： ?xx ? ?yy ? ?zz 在运动的粘性流体中： ?
2??u?v?w??b??p?????? 3??x?y?z??
把a、b代入前面的关系式，可得： ?xx??p?2?
?u2??u?v?w?
?????????x3??x?y?z? ?yy??p?2?
?v2??u?v?w??w2??u?v?w?
?????????p?2????zz???x??y??z?? ?y3??x?y?z?z3??????v?u???w?v???w?u?
????????? ?????????xzzxyzzy??? ??x?z???x?y???y?z? ?u?v?w
???0 ?x?y?z ?xy??yx????
以上六个关系式称为广义牛顿内摩擦定律。也称为流体的本构方程。 若流体不可压缩，则：
此时，正应力的关系式简化为： ?xx??p?2? ?u?w?v
?yy??p?2? ?zz??p?2? ?x?z?y
凡满足广义牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，如水、空气等；凡不满足广义牛顿内摩擦定律的流
体称为非牛顿流体，如聚合物液体、泥浆等。 22
解：?xy??yx?????x??y????3yz?5xz ?? 2222
???????????8yz?5xy? ???yz??zy???????8xz?3xy??xzzx??y?z?
??x?z??? ??v?u? ??
??w?v???w?u?
代入 x = 2, y = 4, z = 6, 得到：
?xy??yx?4.08n/m2,?yz??zy??4.8n/m2,?xz??zx??10.72n/m2. 8.2不可压缩粘性流体运动的基本方程 一.纳维——斯托克斯方程（n-s方程）： 现分析其在xoy平面上的投影。如图所示：
作用在微元平行六面体上x方向 的表面力的合力为： ??yxdy???yxdy?????xxdx???xxdx???
??????dydz???dydz???dxdz???dxdz?xx??xx?yxyx?????x2??x2??y2??y2?????
?????xx??dz???dz???zx???yx
????zx?zx???dxdy???zx?zx?dxdy????x?dxdydz?z2?z2?y?z??????
根据牛顿第二定律，在 x 方向： max = fx ?????xx??yx??zx?du
?fx?dxdydz????x??y??z??dxdydz dt?? 即：
du1???xx??yx??zx?
? ?fx??????dt???x?y?z? 或写成：
?u?u?u?u1???xx??yx??zx?
? ?u?v?w?fx???????t?x?y?z???x?y?z? ?v?v?v?v1???xy??yy??zy??同
理：?u?v?w?fy??????t?x?y?z???x?y?z?? ?w?w?w?w1???xz??yz??zz
?u?v?w?fz?????t?x?y?z???x?y?z? 分析第一式： ?
?? ?
?u?u?u?u1???xx??yx??zx?
? ?u?v?w?fx???????t?x?y?z???x?y?z? ??v?u??u??w?u?
?，?yx????，?????代入上式, ???x?y?zx ?x?x?z????
将：?xx??p?2? 可得：
??2u?2u?2u??u?u?u?u1?p
?u?v?w?fx?????2?2?2???t?x?y?z??x??x?y?z? ??2v?2v?2v??v?v?v?v1?p 同
理： ?u?v?w?fy??????x2??y2??z2?? ?t?x?y?z??y????2w?2w?2w??w?w?w?w1?p ?u?v?w?fz?????2?2?2???t?x?y?z??z?y?z???x 即， ?1
?(??)?f??p???2 ?t?
这就是不可压缩粘性流体的运动微分方程，又称为纳维—斯托克斯（navier-stokes ）方程，简称为 n-s方程。 若：
??0，即为理想流体时，n-s方程?欧拉运动微分方程。 二.求解n-s方程的定解条件：
1.流—固交界面上的无滑移条件和无穿透条件：
流—固交界面上的流体的切向速度等于固壁的运动速度。 如图： y?0处：u?0 流—固交界面上的流体的法向速度为零。如图：y?0处：v?0
2.无穷远处的无扰动条件：
即，粘性流体运动的任何变化都不会将影响延伸至无穷远处。 3.流体交界面上的应力连续条件：
在不同流体的交界面上，界面两侧的流体的应力相等。 如图，在液体自由面上，有： y?h时：?液?? ?u
??气?0 ?y
在两种液体界面上，有： y?h时：?1 ?u?u ??2 ?y?y
8.3纳维－斯托克斯方程的解析解
研究 n-s 方程的精确解具有理论和实际意义:
在复杂的粘性流动问题中，可以用情况相近的精确解作为初步估算或者摄动法的求解基础； 在发展新的数值计算方法时，可以运用有精确解的算例来判断近似解的精确程度；
在研究某些新问题时，也常常从精确解出发，探讨在原有方程或者定解条件中加入描写新现象的项后会引起什么变化；等等。 求解 n-s 方程的主要困难是：方程是非线性的。
对于某些几何形状简单的流场，当流体沿某一坐标轴单向流动时，刚好使对流项恒等于零，从而有可能求出精确解。
比如：两平行平板之间的定常流动；完全发展的定常管流；同轴旋转的圆柱面间的流动；沿有吮吸作用的平壁面的流动；非定常滑移平板引起的流动；圆管中非定常流动等。
另一类问题中的对流项并不恒等于零，但却能够被化成较简单的形式，这样就使 n-s 方程可简化为常微分方程，并且也能求出精确解。 比如：收缩或者扩张通道中的平面定常流动，驻点附近的流动和旋转圆盘引起的流动等。
一. 平行平板之间的定常流动：
如图为两平行平板间的粘性流体的定常流动(忽略重力的影响)。求流体速度分布。
y y ?
u?u(y)??????(1) ?u
?0 即：?x ?
??2u?2u??u1?p
u?????2?2????????(2) ?x??x??x?y?? ? 0?? 1?p
??????(3) ??y
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