函数的奇偶性教学设计

教材分析

教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象，概括出了函数奇偶性的准确定义．然后，为深化对概念的理解，举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的函数和非奇非偶函数的实例．最后，为增强前后联系，从各个角度研究函数的性质，讲清了奇偶性和单调性的联系．这节课的重点是函数奇偶性的定义，难点是根据定义判断函数的奇偶性．

【教学目标】

1.理解函数的奇偶性及其几何意义；

2.学会使用函数图象理解和研究函数的性质； 3.学会判断函数的奇偶性； 【教学重难点】

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式

【教学过程】

（一）创设情景，揭示课题

“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看以下各函数有什么共性？

观察以下函数的图象，总结各函数之间的共性．

f(x)x f(x)|x|1 x(x) y

00 x －1 x 0 x 1 －1

通过讨论归纳：函数f(x)x是定义域为全体实数的抛物线；函数f(x)|x|1是定义域为全体实数的折线；函数f(x)221 x2y y 1是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y2x轴对称．观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？

归纳：若点(x,f(x))在函数图象上，则相对应的点(x,f(x))也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．

（二）研探新知 函数的奇偶性定义： 1．偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做偶函

数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．

2．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

3．具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维． 例1．判断以下函数是否是偶函数．

（1）f(x)x2x[1,2]

x3x2（2）f(x)

x12解：函数f(x)x,x[1,2]不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．

x3x2函数f(x)也不是偶函数，因为它的定义域为x|xR且x1，并不关于原点对称．

x1点评：判断函数的奇偶性，先看函数的定义域。 变式训练1

3（1）、f(x)xx （2）、f(x)(x1)x1 x1（3）、

f(x)x242x2

33解：（1）、函数的定义域为R，f(x)(x)(x)xxf(x) 所以f(x)为奇函数

（2）、函数的定义域为{x|x1或x1}，定义域关于原点不对称，所以f(x)为非奇非偶函数 （3）、函数的定义域为{-2，2},f(x)0f(x)f(x),所以函数f(x)既是奇函数又是偶

函数

例2．判断以下函数的奇偶性

11 （4）f(x)2

xx分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f(x)是否等于f(x)或f(x)．

（1）f(x)x （2）f(x)x （3）f(x)x45解：（1）偶函数（2）奇函数（3）奇函数（4）偶函数 点评：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(x)与f(x)的关系；

③作出相对应结论：

若f(x)f(x)或f(x)f(x)0,则f(x)是偶函数； 若f(x)f(x)或f(x)f(x)0,则f(x)是奇函数． 变式训练2

12x1(x0)2判断函数的奇偶性：g(x)

1x21(x0)2解：（2）当x＞0时，－x＜0，于是

11g(x)(x)21(x21)g(x)

22当x＜0时，－x＞0，于是

111g(x)(x)21x21(x21)g(x)

222－+

综上可知，在R∪R上，g(x)是奇函数．

四、当堂检测．1、函数f(x)1 ,x(0,1)的奇偶性是 （ ）

x32 A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

2、 若函数f(x)axbxc(a0)是偶函数，则g(x)axbxcx是（ ） A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

3、若函数yf(x),xR是奇函数，且f(1)f(2)，则必有 （ ） A．f(1)f(2) B. f(1)f(2) C.f(1)f(2) D.不确定 4、函数f(x)是R上的偶函数，且在[0,)上单调递增，则以下各式成立的是

（ ）

A．f(2)f(0)f(1) B. f(2)f(1)f(0) C.f(1)f(0)f(2) D.f(1)f(2)f(0)

5、已知函数yf(x)是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)0的所有实数根的和为 （ ）

A．4 B.2 C.1 D.0 6、函数f(x)a,a0是_______函数.

7、若函数g(x)为R上的奇函数，那么g(a)g(a)______________.

8、假设奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在区间[-7,-3]上的最______________值为____________.

五、归纳小结，整体理解．

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

2一些结论：

1.偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

2.偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致． 【板书设计】 一、 函数奇偶性的概念 二、 典型例题

例1： 例2：

小结：

【作业布置】完成本节课学案预习下一节。