分段函数及函数的性质知识梳理

分段函数及函数的性质知识梳

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分段函数及函数的性质

分段函数

概念 在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式

来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数．

定义域 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集

函数值 求分段函数的函数值fx0时，应该首先判断x0所属的取值范围，然后

再把x0代入到相应的解析式中进行计算．

注意 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这

个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．

分段函数的作图 因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像． 例1 设函数yfx2x1,2x,x0,x0.

（１）求函数的定义域； （２）求f2,f0,f1的值．（3）作出函数图像．

2x1,1.设函数 yfx21x,2x0,0x3.

（1）求函数的定义域； （2）求f2,f0,f1的值． （3）作出函数图像．

2．设函数fx4x1,1,2x0,0x3.

（1）求函数的定义域； （2）求f2，f(0)，f(1)； （3）作出函数图像．

x21,x0,3 .fx 若f= . f22x,x0,(x6)x54.已知f(x)，则f(3)为（ ）

f(x2)(x6)A 2 B 3 C 4 D 5

函数的性质 1 单调性

概念 函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性．

1 即对于任意的x1,x2a,b，当x1x2时，都有fx1fx2成立．这时把函数

fx

叫做区间a,b内的增函数，区间a,b叫做函数fx的增区间．

2 即对于任意的x1,x2a,b，当x1x2时，都有fx1fx2成立．这时函数

fx叫做区间a,b内的减函数，区间a,b叫做函数fx的减区间．

3 如果函数fx在区间a,b内是增函数（或减函数），那么，就称函数fx在区间a,b内具有单调性，区间a,b叫做函数fx的单调区间． 例 判断函数y4x2的单调性

1. 已知函数f ( x )=x 2+ax+b，且对任意的实数x都有f (1+x)=f (1－x) 成立。 （Ⅰ）求实数 a的值；

（Ⅱ）利用单调性的定义证明函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数。 2．如果函数

fx=x2+2(a-1)x+2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a值范

围是（ ）。 A．a≥－3

B. a≤－3 C. a≤5 D. a≥3

3.如果函数f(x)x22(a1)x2在区间,4上是减少的，那么实数a的取值范围是（ ）

A a3 B a3 C a5 D a5

a4. 若fx=－x2+2ax与gx=在区间 [1，2]上是减函数，则a的取值范围

x1是__________

5.函数f(x)＝x2－2x－3的单调增区间为_______________________

1y6函数2 2 奇偶性

(6x2x2)的单调增区间是________

设函数yfx的定义域为数集D，对任意的xD，都有xD（即定义域关于坐标原点对称），且

（1）fxfx函数yfx的图像关于y轴对称，此时称函数yf(x)为偶函数；

（2）fxfx 函数yfx的图像关于坐标原点对称，此时称函数称函数yf(x)为奇函数．

如果一个函数是奇函数或偶函数，那么，就说这个函数具有奇偶性．不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数．

判断一个函数是否具有奇偶性的基本步骤是：

（1）求出函数的定义域；

（2）判断对任意的xD是否都有xD．若存在某个x0D但xD，则函数肯定是非奇非偶函数；

（3）分别计算出f(x)与f(x)．若f(x)f(x)，则函数为偶函数；若

f(x)f(x)，则函数为奇函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则函数为非奇

非偶函数．

例 判断下列函数的奇偶性：

（1）fxx3； （2）fx2x21； （3）fxx； （4）fxx1． 1 .判断下列函数的奇偶性： （1）fxx； （2）fx1； x2（3）fx3x1； （4）fx3x22

1、f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为偶函数，则m的值是（ ）

A、1 B、2 C、 3 D、 4

1.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________. 2．已知fx是偶函数，且f45，那么f4f4的值为（ ）。 （A） 5 (B) 10 (C ) 8 (D) 不确定

3 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于( )

A.－3

B.－1

4 已知函数f(x)是定义在(,)上的偶函数. 当x(,0)时，

f(x)xx4，则当x(0,)时，f(x) .

5. 已知函数yf(x)为奇函数，且当x0时f(x)x22x3，则当x0时，

f(x)的解析式为… （ ）

A. f(x)x22x3 B. f(x)x22x3 C. f(x)x22x3 D. f(x)x22x3

6.如果奇函数f(x)在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间7,3上是（ ）

A、增函数且最小值是5 C、减函数且最大值是5 3.周期性

B、增函数且最大值是5 D、减函数且最小值是5

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. 1若函数f(x)是周期为4的函数，且f(2)5,则f(2)

2 .已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于 ( ) A.－2

C.－98

B.2

3已知f(x)在R上是偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，当x(0,)时，f(x)＝2x2，则f(-7) ＝_______