第二十二章 数据特征的测度

第二十二章 数据特征的测度

第一节、集中趋势的测度

学习要求：

1、 掌握众数的计算方法、特点和应用范围

2、 掌握中位数的计算方法、特点和应用范围

3、 掌握简单算术平均数和加权平均数的计算方法;掌握算术平均数的特点和应用范围;熟悉算术平均数的计算方法和主要用途。

4、 掌握简单几何平均数的计算方法和主要用途

具体内容：

集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。

集中趋势的测度，主要包括：

位置平均数----众数、中位数等

数值平均数----算术平均数和几何平均数等

【例题1：2004年单选题】以下属于位置平均数的是( )。

A.几何平均数

B.算术平均数

C.众数

D.极差

答案：C

解析：众数及中位数均属于位置平均数。

(一)、众数

1、涵义：众数是一组数据中出现频数最多的那个数值，用M0表示。

2、用众数反映集中趋势，非常直观，不仅适用于品质数据，也适用于数值型数据。众数是一个位置代表值，不受极端值的影响，抗干扰性强。

【例题2：课后题第5题】下面是抽样调查的10个家庭住房面积(单位：平方米)：55;75;75;90;90;90;90;105;120;150。这10个家庭住房面积的众数为( )

A 90

B 75

C 55

D 150

答案：A

(二)中位数

1、涵义：把一组数据按从小到大的顺序进行排列，位置居中的数值叫做中位数，用Me表示。中位数将数据分为两部分，其中一半的数据小于中位数，另一半数据大于中位数。

2、中位数计算：

根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置，n为数据的个数，其公式为：

n为奇数：中位数位置是(n+1)/2，该位置所对应的数值就是中位数数值。

n为偶数：中位数位置是介于n/2和(n/2+1)之间，中位数数值就是n/2所对数值和(n/2+1)所对应数值的算术平均数。

具体计算见教材例题：

3、中位数主要用于顺序数据，也适用于数值型数据，但不适用于分类数据，中位数也是一个位

置代表值，不受极端值的影响，抗干扰性强。

【例题3：2004单选题】2003年，某市下辖六个县的棉花种植面积按规模由小到大依次为800公顷、900公顷、1100公顷、1400公顷、1500公顷、3000公顷，这六个县棉花种植面积的中位数是( )公顷。

A.1450

B.1250

C.1100

D.1400

答案：B

解析：n为偶数，中位数是介于数列中间的两个数的算术平均数。

中位数=(1100+1400)/2=1250(公顷)

【例题4：2008单选题】某小学六年级8个班的学生人数由少到多依次为34人、34人、34人、34人、36人、36人、37人、37人，其中位数为( )

A 34

B 35

C 36

D 37

答案：B

解析：n为偶数，中位数=(34+36)/2=35.

【例题5：课后题第8题】下面一组数据为9个家庭的人均月收入数据(单位：元)：750;780;850;960;1080;1250;1500;1650;2000;则中位数为( )

A 750

B 1080

C 1500

D 2000

答案：B

解析：n为奇数，中位数位置为5，所对应的数值为1080。

(三)算术平均数

1、涵义：算术平均数是全部数据的算术平均，又称均值，用X表示。是集中趋势中最主要的测

度值。主要适用于数值型数据，但不适用于品质数据。

2、计算公式：

(1)简单算术平均数

简单算术平均数主要用于处理未分组的原始数据。

Xi——各组的组中值

fi——各组的频数

3、计算和运用算术平均数注意事项：

(1)算术平均数同时受到两个因素的影响：各组数值的大小、各组分布频数的多少。频数在算术平均数中起着权衡轻重的作用。

(2)算术平均数易受极端值的影响。极端值的出现，会使平均数的真实性受到干扰。

【例题6：2003年单选】集中趋势最主要的测度值是( )。

A.众数

B.中位数

C.均值

D.几何平均数

答案：C

解析：算术平均数也称为均值，是集中趋势最主要的测度值。

(四)几何平均数

1、涵义： n个观察值连乘积的n次方根就是几何平均数。

2、计算公式：

3、主要用途：

(1)对比率、指数等进行平均

(2)计算平均发展速度。

【例题7：08年单选】下列数据特征的测度值中，受极端值影响的是( )

A中位数

B 众数

C加权算术平均数

D位置平均数

答案：C

解析：中位数、众数均属于位置平均数，不受极端值的影响。

【例题8：2005年、2007年多选题】下列数据特征的测度值中，易受极端值影响的有( A.加权算术平均数

B.简单算术平均数

C.极差

)。

D.众数

E.中位数

答案：ABC

【例题9：2005、2006、2007年单选】下列集中趋势中，适用于品质数据的是( A.众数

B.简单算数平均数

C.标准差

D.加权算术平均数

【答案】A

【例题10：08年单选】算术平均数与众数、中位数具有共同特点是( )

A都适用于分类数据

B都适用于顺序数据

C都不受极端值的影响

)。

D都适用于数值型数据

答案：D

解析：众数、中位数、算术平均数均适用于数值型数据。

【例题11：2007年单选题】某连锁超市6个分店的职工人数有小到大排序后为57人、58人、58人、60人、63人、70人其算术平均数、众数分别为( )。

A.59、58

B.61、58

C.61、59

D.61、70

【答案】B.

【解析】出现频数最多的数值为众数，即58人

算术平均数=(57+58+58+60+63+70)/6=61人

【例题12：2006年多选题】对于经分组整理的数据，其算术平均数会受到( )等因素的影响。

A.各组数值的大小

B.各组分布频数的多少

C.组数

D.数据个数

E.极端值

答案：ABE

【例题13：2008年多选】下列统计指标中，可以采用算术平均数方法计算平均数的有()

A、产品产量

B、可支配收入

C、产品合格率

D、销售额

E、考试分数

答案：ABDE

解析：C属于相对指标，适用几何平均数方法计算平均数。

第二节、离散程度的测度

学习要求：

1、掌握测度离散程度的指标

2、掌握极差的含义和计算方法

3、掌握标准差和方差的计算方法和应用

4、掌握离散系数的计算方法和具体应用

具体内容：

离散程度是指数据之间的差异程度或频数分布的分散程度。

集中趋势的测试值是对数据一般水平的一个概括性变量，它对一组数据的代表程度，取决于该组数据的离散水平。数据的离散程度越大，集中趋势的测试值对该组数据的代表性就越差，离散程度越小，其代表性就越好。

离散程度的测度，主要包括极差、方差和标准差、离散系数等。

(一)极差

1、含义：极差是最简单的变异指标。它就是总体或分布最大的标志值与最小的标志值之差，又称全距，用R表示。

3、极差反映的是变量分布的变异范围或离散幅度，在总体中任何两个单位的标志值之差都不可能超过极差。极差计算简单，含义直观，运用方便。但它仅仅取决于两个极端值的水平，不能反映其间的变量分布情况，同时易受极端值的影响。

(二)标准差和方差

1、含义：方差：总体所有单位标志值与其平均数离差之平方的平均数。

标准差：方差的平方根，用表示。

2、计算：

(1)未整理的原始数据

标准差和方差是应用最广泛的统计离散程度的测度方法。

见教材207页例题。

(三)离散系数(标准差系数)

1、极差、标准差、方差都是反映数据分散程度的绝对值，其数值大小收到变量值水平高低和计量单位的影响。

2、为消除变量值水平高低和计量单位不同对离散程度测度值的影响，需要计算离散系数。

离散系数通常是就标准差来计算的，因此也称标准差系数。它是一组数据的标准差与其相应的算术平均数之比，是测度数据离散程度的相对指标，用

表示。

离散系数主要是用于比较对不同组别数据的离散程度。离散系数大的说明数据的离散程度也就大，离散系数小的说明数据的离散程度也就小。

【例题14：2008年单选题】标准差系数是一组数据的标准差与其相应的()之比。

A算数平均数

B极值

C众数

D几何平均数

答案：A

【例题15：2004年单选题】某学校学生的平均年龄为20岁，标准差为3岁;该校教师的平均年龄为38岁，标准差为3 岁。比较该校学生年龄和教师年龄的离散程度，则( )。

A.学生年龄和教师年龄的离散程度相同

B.教师年龄的离散程度大一些

C.教师年龄的离散程度是学生年龄离散程度的1.9倍

D.学生年龄的离散程度大一些

答案：D

解析：平均值不同的情况下，用离散系数比较离散程度。

学生年龄的离散系数=3/20*100%=15%

教师年龄的离散系数=3/38*100%=7.89%

离散系数大的说明数据的离散程度也就大，离散系数小的说明数据的离散程度也就小。

【例题16：2005年、2004年单选题】如果两组数据是以不同计量单位来表示的，则比较其离散程度的测度值是( )。

A.离散系数

B.标准差

C.方差

D.极差

答案：A

解析：为消除变量值水平高低和计量单位不同对离散程度测度值的影响，需要计算离散系数

【例题17：课后题第15题】反映数据离散程度的绝对值的指标是( )

A算术平均数

B 极差

C方差

D 离散系数

E 标准差

答案：BCE