宁波中考数学二次函数提高练习题压轴题训练

一、二次函数

1．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为

92，此时点P的坐8315，）． 24【解析】

标为（

【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；

（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；

②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论． 【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，

1bc0b2得，解得：，

93bc0c3∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；

（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，

∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴抛物线的对称轴为直线x=1，

当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形， ∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，

∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3）， ∴点M的坐标为（1，6）； 当t≠2时，不存在，理由如下：

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE， ∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0， ∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2， 又∵t≠2， ∴不存在；

（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F． 设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0）， 将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，

3mn0m1得，解得：，

n3n3∴直线BC的解析式为y=﹣x+3， ∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3）， ∴点F的坐标为（t，﹣t+3）， ∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

1927333PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+；

2222283②∵﹣＜0，

2273∴当t=时，S取最大值，最大值为．

28∴S=

∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）， ∴线段BC=OB2OC232，

27292， ∴P点到直线BC的距离的最大值为8832此时点P的坐标为（

315，）． 42

【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；

（3）符合条件的点P的坐标为（【解析】

分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；

（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标； （3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为

7201013，）或（，﹣）， 3939负倒数设直线PC的解析式为y=-

1x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为3y＝x22x31y=-x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物13y＝x33线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标． 详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）， 即y=ax2﹣2ax﹣3a， ∴﹣2a=2，解得a=﹣1， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3； 当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3）， 设直线AC的解析式为y=px+q， 把A（﹣1，0），C（0，3）代入得∴直线AC的解析式为y=3x+3； （2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4），

作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

pq0p3，解得，

q3q3

∵MB=MB′，

∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小， 而BD的值不变，

∴此时△BDM的周长最小， 易得直线DB′的解析式为y=x+3， 当x=0时，y=x+3=3， ∴点M的坐标为（0，3）； （3）存在．

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC的解析式为y=3x+3， ∴直线PC的解析式可设为y=﹣把C（0，3）代入得b=3， ∴直线PC的解析式为y=﹣

1x+b， 31x+3， 37y＝x22x3xx07203解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）； 120y339y＝x3y39过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b， 把A（﹣1，0）代入得

11+b=0，解得b=﹣， 3311x﹣， 33∴直线PC的解析式为y=﹣

10y＝x22x3xx1103解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣113y0y13y＝x33913）. 9综上所述，符合条件的点P的坐标为（

7201013，）或（，﹣）. 3939点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

3．如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°，得到△A1O1C1，点A、O、C的对应点分别是点A、O1、C1、若△A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A1的横坐标． 【答案】（1）y=-

123x+x+2；（2）存在，Q（3，2）或Q（-1，0）；（3）两个和谐221. 2点，A1的横坐标是1，【解析】 【分析】

（1）把点A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；

（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A1（x，y），则C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），

①当A1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是1； 当O1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是2； 【详解】

解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

将点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，

0abc∴016a4bc， 2c1a2∴，

3b2∴y=-

123x+x+2； 22（2）∵点C与点D关于x轴对称， ∴D（0，-2）．

设直线BD的解析式为y=kx-2． ∵将（4，0）代入得：4k-2=0， ∴k=

1． 21x-2． 2∴直线BD的解析式为y=

当P点与A点重合时，△BQM是直角三角形，此时Q（-1，0）；

当BQ⊥BD时，△BQM是直角三角形， 则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8， ∴-2x+8=-∴x=3；

∴Q（3，2）或Q（-1，0）； （3）两个和谐点； AO=1，OC=2，

设A1（x，y），则C1（x+2，y-1），O1（x，y-1）， ①当A1、C1在抛物线上时，

123x+x+2，可求x=3或x=4（舍） 22123yxx222∴，

13y1(x2)2x2222x1∴，

y3∴A1的横坐标是1； 当O1、C1在抛物线上时，

123y1xx222， 13y1(x2)2x2222x∴y12， 2181； 2∴A1的横坐标是

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．

4．函数y12xmx1x≥0,m>0的图象记为C1，函数21yx2mx1x0,m>0的图象记为C2，其中m为常数，C1与C2合起来的图象

2记为C.

（Ⅰ）若C1过点1,1时，求m的值； （Ⅱ）若C2的顶点在直线y1上，求m的值； （Ⅲ）设C在4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当【答案】（Ⅰ）m【解析】 【分析】

（Ⅰ）将点C的坐标代入C1的解析式即可求出m的值；

（Ⅱ）先求出抛物线C2的顶点坐标，再根据顶点在直线y1上得出关于m的方程，解之

3≤y0≤9时，求m的取值范围. 219；（Ⅱ）m2；（Ⅲ）1≤m≤. 22即可

（Ⅲ）先求出抛物线C1的顶点坐标，结合（Ⅱ）抛物线C2的顶点坐标，和x的取值范围，分三种情形讨论求解即可； 【详解】

解：（Ⅰ）将点1,1代入C1的解析式，解得m1. 2m21， （Ⅱ）抛物线C2的顶点坐标为m,2m2令11，得m2, 2∵m>0，∴m2.

m2m21，抛物线C2的顶点Qm,1， （Ⅲ）∵抛物线C1的顶点Pm,22当0m2时，最高点是抛物线G1的顶点

3m2∴y019，解得1m2. 22当2m4时，G1中（2，2m-1）是最高点，y02m-1 ∴

32m-19，解得2m4. 2394m-99，解得4m. 229即为所求. 2当m>4时，G2中（-4，4m-9）是最高点，y04m-9． ∴

综上所述，1m【点睛】

本题考查二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．

5．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y轴交于点C

.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、 Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ. ①若点P的横坐标为1，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D 的坐标； 2②直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.

【答案】（1）抛物线y=-x2+2x+3；（2）①点D（ ，）；②△PQD面积的最大值为8 【解析】

分析：（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）（I）由点P的横坐标可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+2x2+6x+

315245），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=-47，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； 2（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，进而可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 详解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：

ab3＝0a＝1，解得：， 9a3b3＝0b＝2∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3． （2）（I）当点P的横坐标为-∴此时点P的坐标为（-

17时，点Q的横坐标为，

221779，），点Q的坐标为（，-）．

2424设直线PQ的表达式为y=mx+n，

将P（-

1779，）、Q（，-）代入y=mx+n，得：

242471mn＝m＝124，解得：5，

79n＝mn＝442∴直线PQ的表达式为y=-x+

5． 4如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，

设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+∴DE=-x2+2x+3-（-x+∴S△DPQ=

5）， 475）=-x2+3x+， 44173DE•（xQ-xP）=-2x2+6x+=-2（x-）2+8．

222∵-2＜0， ∴当x=

3315时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（，）．

422（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，

∴点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3）， 利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．

设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3）， ∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t， ∴S△DPQ=

1DE•（xQ-xP）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8． 2∵-2＜0，

∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．

∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8． 点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-

2x2+6x+

7；（II）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t． 2

6．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设x1，x2是方程两根，且

111，求k的值． x1x2k1【答案】（1）k≥﹣【解析】 【分析】

11+5；（2）k＝． 42（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可. 【详解】

解：（1）△＝（2k+1）2﹣4k2＝4k2+4k+1﹣4k2＝4k+1 ∵△≥0 ∴4k+1≥0 ∴k≥﹣

1； 4（2）∵x1，x2是方程两根， ∴x1+x2＝2k+1 x1x2＝k2，

111又∵， x1x2k1x1x21∴， x1x2k1即

2k11 ， k2k11515， ,k222解得：k1又∵k≥﹣即：k＝

1 ， 415． 2【点睛】

本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于bc ，两根之积等于”是解题的关键. aa

7．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x元． （1）写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣10x+1000；w=﹣10x2+1300x﹣30000 （2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【解析】 【分析】

（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y＝600﹣10（x﹣40），再利用w= y•（x﹣30）即可表示出w与x之间的关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x＝46时有最大值，代入求值即可解题. 【详解】 解：

（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000

获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：w＝y•（x﹣30）＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000

（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46 w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250 ∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65 ∴当44≤x≤46时，y随x的增大而增大 ∴当x＝46时，w最大值＝8640元

即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.

8．如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点

（1）求抛物线和直线BC的解析式； （2）求证：△ABC是直角三角形；

（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出点E的坐标； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣2x，y＝﹣x+2；（2）详见解析；（3）E（

55,）；（4）符合条件24的点F的坐标（1，7）或（1，﹣7）或（1，2+7）或（1，2﹣7）． 【解析】 【分析】

（1）将B（2，0）代入设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，求得a，将B（2，0）代入y＝kx+2，求得k；

（2）分别求出AB2、BC2、AC2，根据勾股定理逆定理即可证明；

（3）作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．根据对称与三角形全等，求得A'（3，1），然后求出A'C解析式，与抛物线解析式联立，求得点E坐标；

（4）设F（1，m），分三种情况讨论：①当BF＝BD时，1m222，②当DF＝BD时，m24m522，③当BF＝DF时，1m2m24m5，m＝1，然后代入即可． 【详解】

（1）设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1， 将B（2，0）代入， 0＝a（2﹣1）2﹣1， ∴a＝1，

抛物线解析式：y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x， 将B（2，0）代入y＝kx+2， 0＝2k+2， k＝﹣1，

∴直线BC的解析式：y＝﹣x+2； （2）联立yx2， 2yx2xx11x22解得，，

y3y012∴C（﹣1，3），

∵A（1，﹣1），B（2，0）， ∴AB2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，

AC2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20， BC2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形；

（3）如图，作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．

∵∠BCE＝∠ACB，∠ABC＝90°， ∴点A与A'关于直线BC对称， AB＝A'B，

可知△AFB≌△A'HB（AAS）， ∵A（1，﹣1），B（2，0） ∴AG＝1，BG＝OG＝1， ∴BH＝1，A'H＝1，OH＝3， ∴A'（3，1）， ∵C（﹣1，3）， ∴直线A'C：y15x， 2215yx联立：22，

2yx2x5xx12解得或，

5y3y4∴E（

55，）； 24（4）∵抛物线的对称轴：直线x＝1， ∴设F（1，m），

直线BC的解析式：y＝﹣x+2； ∴D（0，2） ∵B（2，0），

∴BD＝

x1 x2BF(21)2(0m)21m2，

DF(10)2(m2)2m24m5，

①当BF＝BD时，1m222， m＝±7，

∴F坐标（1，7）或（1，﹣7） ②当DF＝BD时，m24m522， m＝2±7，

∴F坐标（1，2+7）或（1，2﹣7） ③当BF＝DF时，1m2m24m5， m＝1，

F（1，1），此时B、D、F在同一直线上，不符合题意．

综上，符合条件的点F的坐标（1，7）或（1，﹣7）或（1，2+7）或（1，2﹣7）．

【点睛】

考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

9．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣（3）点P（4，6）． 【解析】

12

x+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；2【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，

设P（t，﹣

12

t+2t+6），则N（t，﹣t+6），由2111PN•AG+PN•BM=PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数222S△PAB=S△PAN+S△PBN=的性质求解可得；

（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．

【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣

1， 212（x﹣6）（x+2）=﹣

所以抛物线解析式为y=﹣

12

x+2x+6； 2（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB解析式为y=kx+b，

将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：

b6， 6kb0解得：k1，

b6则直线AB解析式为y=﹣x+6，

12

t+2t+6）其中0＜t＜6， 2则N（t，﹣t+6），

111∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，

222∴S△PAB=S△PAN+S△PBN 11=PN•AG+PN•BM 221=PN•（AG+BM） 2设P（t，﹣

1PN•OB 211=×（﹣t2+3t）×6 223=﹣t2+9t

2327=﹣（t﹣3）2+，

22=

∴当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）如图2，

∵PH⊥OB于H， ∴∠DHB=∠AOB=90°， ∴DH∥AO， ∵OA=OB=6， ∴∠BDH=∠BAO=45°， ∵PE∥x轴、PD⊥x轴， ∴∠DPE=90°，

若△PDE为等腰直角三角形， 则∠EDP=45°，

∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，

12

x+2x+6=6， 2解得：x=0（舍）或x=4， 即点P（4，6）．

则当y=6时，﹣

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.

﹣，、10)B(3，、0)C(0，3). 10．如图，抛物线yax2bxc的图象过点A(

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得

SPAM＝SPAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2，2)，周长为：1032；（3）存【答案】（1）y-x2x3；（2）存在，点P(1，4) 在，点M坐标为(1【解析】 【分析】

（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点A，故可设交点式（﹣10，）、（B3，0）y＝（ax1）（﹣）x3，把点C代入即求得a的值，减小计算量．

（2）由于点A、B关于对称轴：直线x＝1对称，故有PA＝PB，则

CPAC＝ACPCPA＝ACPCPB，所以当C、P、B在同一直线上时，

CPAC＝ACCB最小．利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把

x＝1代入即求得点P纵坐标．

（3）由SPAM＝SPAC可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相等．又因为M在x轴上方，故有CM//PA．由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式．把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标． 【详解】

解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣10，）、（B3，0）ax1）（﹣）x3 ∴可设交点式y＝（（0，3）把点C代入得：﹣3a＝3

a＝﹣1

y＝-（x1）（﹣）＝﹣x3x22x3

∴抛物线解析式为y＝-x22x3

（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PAC的周长最小． 如图1，连接PB、BC

∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称

PA＝PB

CPAC＝ACPCPA＝ACPCPB

∵当C、P、B在同一直线上时，PCPB＝CB最小

QA（﹣10，）、（B3，0）、（C0，3）AC123210,BC323232

CPAC＝ACCB1032最小

设直线BC解析式为y＝kx3

把点B代入得：3k3＝0，解得：k＝﹣1 ∴直线BC：y＝﹣x3

yP＝﹣13＝2

∴点P使PAC的周长最小，最小值为1032． （1，2）（3）存在满足条件的点M，使得SPAM＝SPAC． ∵SPAM＝SPACS△PAM＝S△PAC ∴当以PA为底时，两三角形等高 ∴点C和点M到直线PA距离相等 ∵M在x轴上方

CM//PA

，设直线AP解析式为y＝pxd QA（﹣10，），（，P12）pd0p1 解得：

pd2d1∴直线AP：y＝x1

∴直线CM解析式为：y＝x3

yx3Q 2yx2x3x10x21解得：（即点C），

y3y412∴点M坐标为 （，14）

【点睛】

考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．

11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），

1x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． 4（1）求抛物线的解析式；

如图，直线y=

（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=定点F的坐标为（2，1）． 【解析】

1228x﹣x+1．（2）点P的坐标为（，﹣1）．（3）

134分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛

物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标

11-y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关22于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标． 详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y=a（x-2）2． ∵该抛物线经过点（4，1），

1∴1=4a，解得：a=，

411∴抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1．

44（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：

特征，即可得出（1-

1y＝xx1＝1x2＝44，解得：， 1，1y＝1y＝221y＝xx144∴点A的坐标为（1，

1），点B的坐标为（4，1）． 4作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．

∵点B（4，1），直线l为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．

设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将A（1，

1）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得： 4131k＝kb＝12，解得：， 44b＝4kb＝33∴直线AB′的解析式为y=-当y=-1时，有-解得：x=

28， 13134x+， 123134x+=-1， 123∴点P的坐标为（

28，-1）． 13（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等， ∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2， ∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1． ∵M（m，n）为抛物线上一动点， ∴n=

12

m-m+1， 4121m-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1， 44∴m2-2x0m+x02-2y0（整理得：（1-

11-y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0． 22∵m为任意值，

11122y0＝0∴22x02y0＝0， x2y22y3＝0000x0＝2∴，

y＝10∴定点F的坐标为（2，1）．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．

12．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A

1x﹣1交于点C． 2（1）求抛物线解析式及对称轴；

点的直线y=﹣

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y=点坐标为（1，﹣【解析】

121xx1，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P841）；（3）N点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 2分析：（1）由待定系数法求解即可；

（2）将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；

（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N坐标，表示点M坐标代入抛物线解析式即可．

详解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得

0＝4a2b1 0＝16a4b11a＝8 解得b＝14∴抛物线解析式为：y=

121x−x−1 841b4＝1 ∴抛物线对称轴为直线x=-12a28（2）存在

使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小

∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点．

设过点C′、O直线解析式为：y=kx ∴k=-

1 2∴y=-

1x 21） 2则P点坐标为（1，-

（3）当△AOC∽△MNC时，

如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E

∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90° ∴∠CDN=∠CAO 由相似，∠CAO=∠CMN ∴∠CDN=∠CMN ∵MN⊥AC

∴M、D关于AN对称，则N为DM中点 设点N坐标为（a，-由△EDN∽△OAC ∴ED=2a

∴点D坐标为（0，-∵N为DM中点 ∴点M坐标为（2a，把M代入y=a=4

则N点坐标为（4，-3）

当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM

∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N 由（2）N（2，-1）

∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）

点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三

1a-1） 25a−1） 23a−1） 2121x−x−1，解得 84角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．

13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc交x轴于点A4,0、

B2,0，交y轴于点C0,6，在y轴上有一点E0,2，连接AE.

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有

P点的坐标，若不存在请说明理由.

【答案】（1）二次函数的解析式为y面积取得最大值【解析】

分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；

（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；

（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可． 详解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），

3232xx6；（2）当x时，ADE的42350；（3）P点的坐标为1,1，1,11，1,219. 316a4bc0∴4a2bc0， c63a43解得：b，

2c6所以二次函数的解析式为：y=323xx6； 42（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=1x2， 2过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，

设D（m，∴DF=3231mm6），则点F（m，m2）， 42232313mm6﹣（m2）=m2m8， 422411×DF×AG+DF×EH 22∴S△ADE=S△ADF+S△EDF= = =

11×DF×AG+×DF×EH 221×4×DF 232 =2×（mm8）

4 =（m）∴当m=3223250， 3250时，△ADE的面积取得最大值为． 33323xx6的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣42 （3）y=2，AE=4，0），可求PA=9n2，PE=116425，分三种情况讨论： （n2）2，解得：n=1，此时P（﹣1，1）； 当PA=PE时，9n2=1（n2） 当PA=AE时，9n2=16425，解得：n=11，此时点P坐标为（﹣1，

11）；

2= 当PE=AE时，116425，解得：n=﹣219，此时点P坐标为：（n2）（﹣1，﹣219）．

综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，11），（﹣1，﹣219）． 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．

14．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．

（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；

（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由； （3）求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标．

【答案】（1）点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）当m=0

1；当m=3时，S取最大值，最大值为5．（3）满足224124∠MPO=∠POA的点M的坐标为（0，4）或（，）．

749【解析】

时，S取最小值，最小值为

【分析】（1）代入y=c可求出点C、P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，进而可得出点P的坐标及抛物线的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F的坐标，过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，由点M的横坐标可得出点M、E的坐标，进而可得出ME的长度，再利用三角形的面积公式可找出S=﹣的最大值及最小值；

（3）分两种情况考虑：①当点M在线段OP上方时，由CP∥x轴利用平行线的性质可得出：当点C、M重合时，∠MPO=∠POA，由此可找出点M的坐标；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA，设点D的坐标为（n，0），则DO=n，DP=1（m﹣3）2+5，由m的取值范围结合二次函数的性质即可求出S2n30422，由DO=DP可求出n的值，进而可得出点

D的坐标，由点P、D的坐标利用待定系数法即可求出直线PD的解析式，再联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M的坐标．综上此题得解． 【详解】（1）当y=c时，有c=﹣x2+bx+c， 解得：x1=0，x2=b，

∴点C的坐标为（0，c），点P的坐标为（b，c）， ∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3）， ∴OB=3，OA=1，BC=c﹣3，CP=b， ∵△PCB≌△BOA， ∴BC=OA，CP=OB， ∴b=3，c=4，

∴点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4； （2）当y=0时，有﹣x2+3x+4=0， 解得：x1=﹣1，x2=4， ∴点F的坐标为（4，0），

过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如图1所示， ∵点M的横坐标为m（0≤m≤4），

∴点M的坐标为（m，﹣m2+3m+4），点E的坐标为（m，﹣3m+3）， ∴ME=﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m2+6m+1，

1111OA•ME=﹣m2+3m+=﹣（m﹣3）2+5， 22221∵﹣＜0，0≤m≤4，

2∴S=

1；当m=3时，S取最大值，最大值为5； 2（3）①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴， ∴当点C、M重合时，∠MPO=∠POA， ∴点M的坐标为（0，4）；

∴当m=0时，S取最小值，最小值为

②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA，

设点D的坐标为（n，0），则DO=n，DP=∴n2=（n﹣3）2+16， 解得：n=

n30422，

25， 6∴点D的坐标为（

25，0）， 625，0）代入y=kx+a， 6设直线PD的解析式为y=kx+a（k≠0）， 将P（3，4）、D（

24k3ka47，解得：， 25100ka0a67∴直线PD的解析式为y=﹣

24100x+， 7724100y﹣x联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，得：77，

2yx3x424xx1327解得：，．

y14y124249∴点M的坐标为（

24124，）． 74924124，）． 749综上所述：满足∠MPO=∠POA的点M的坐标为（0，4）或（

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质求出b、c的值；（2）利用三角形的面积公式找出S=﹣（m﹣3）2+5；（3）分点M在线段OP上方和点M在线段OP下方两种情况求出点M的坐标．

15．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(3,0)，点c的坐标为(0,6).点P从点

O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以

每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止.设运动时间为t秒.

（1）当t2时，线段PQ的中点坐标为________； （2）当CBQ与PAQ相似时，求t的值；

2（3）当t1时，抛物线yxbxc经过P、Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶

点为K，如图2所示.问该抛物线上是否存在点D，使MQD出所有满足条件的D点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）PQ的中点坐标是(2.5,2)；（2）t1MKQ，若存在，求23935或t；（3）

4224240D1(,)，D2(,). 3939【解析】

分析：（1）先根据时间t=2，和速度可得动点P和Q的路程OP和AQ的长，再根据中点坐标公式可得结论；

（2）根据矩形的性质得：∠B=∠PAQ=90°，所以当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：

①当△PAQ∽△QBC时，可得t的值；

（3）根据t=1求抛物线的解析式，根据Q（3，2），M（0，2），可得MQ∥x轴，∴KM=KQ，KE⊥MQ，画出符合条件的点D，证明△KEQ∽△QMH，列比例式可得点D的坐标，同理根据对称可得另一个点D．

详解：（1）如图1，∵点A的坐标为（3，0）， ∴OA=3，

当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4， ∴P（2，0），Q（3，4）， ∴线段PQ的中点坐标为：（故答案为：（

PAQBPABC＝＝②△PAQ∽△CBQ，当时，，分别列方程AQBCAQQB52+30+4，），即（，2）； 2225，2）； 2（2）如图1，∵四边形OABC是矩形， ∴∠B=∠PAQ=90°

∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：

PAQB＝①当△PAQ∽△QBC时，， AQBC3t62t＝， 2t34t2-15t+9=0，

∴

3）=0， 43t1=3（舍），t2=，

4（t-3）（t-②当△PAQ∽△CBQ时，

PABC＝， AQQB3t3＝， 2t62tt2-9t+9=0，

∴t=935， 29+35＞7， 2∵0≤t≤6，∴x=

9+35不符合题意，舍去， 2综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是（3）当t=1时，P（1，0），Q（3，2），

39+35或； 42把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：

1bc＝0b＝3，解得：， 93bc＝2c＝2∴抛物线：y=x2-3x+2=（x-∴顶点k（

321）-， 2431，-）， 24∵Q（3，2），M（0，2）， ∴MQ∥x轴，

作抛物线对称轴，交MQ于E， ∴KM=KQ，KE⊥MQ，

∴∠MKE=∠QKE=如图2，∠MQD=

1∠MKQ， 21∠MKQ=∠QKE，设DQ交y轴于H， 2

∵∠HMQ=∠QEK=90°， ∴△KEQ∽△QMH， ∴

KEMQ＝， EQMH14＝3， ∴3MH2∴MH=2， ∴H（0，4）， 2+易得HQ的解析式为：y=-

2x+4， 32y＝x4则， 32y＝x3x2x2-3x+2=-

2x+4， 32， 3解得：x1=3（舍），x2=-∴D（-

240，）； 39同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM=

1∠MKQ=∠QKE， 2

由对称性得：H（0，0）， 易得OQ的解析式：y=

2x， 32y＝x则， 32y＝x3x2x2-3x+2=

2x， 32， 3解得：x1=3（舍），x2=∴D（

24，）； 3924024，）或（，）． 3399综上所述，点D的坐标为：D（-

点睛：本题是二次函数与三角形相似的综合问题，主要考查相似三角形的判定和性质的综合应用，三角形和四边形的面积，二次函数的最值问题的应用，函数的交点等知识，本题比较复杂，注意用t表示出线段长度，再利用相似即可找到线段之间的关系，代入可解决问题．