(完整)平面向量的线性运算

平面向量线性运算

知识梳理：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，有二个要素：大小、方向．

2．向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a,b等表示;③平面向量的坐标表示:分别取与x轴、y轴

方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj,(x,y)叫做向量a的（直角)坐标,记作a(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在

y轴上的坐标, 特别地，i(1,0),j(0,1),0(0,0).|a|x2y2；若A(x1,y1),B(x2,y2)，则

AB(x2x1,y2y1)，|AB|(x2x1)2(y2y1)2．

3．零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量,记为0； ②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量。

（注：

a|a|4．平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.向量a,b,c平行，记作a//b//c.共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量． 5．相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量． 6．向量的加法、减法：

①求两个向量和的运算，叫做向量的加法．向量加法的三角形法则和平行四边形法则．②向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：aba(b)； 差向量的意义： OAa,OBb,则BAab．

就是单位向量）．



③平面向量的坐标运算:若a(x1y1),b(x2,y2),则ab(x1x2,y1y2),a(x,y). ④向量加法的交换律:abba；向量加法的结合律：(ab)ca(bc)． 7．实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作：a

aa（1)|a||||a|;(2）>0时a与方向相同；<0时a与方向相反；=0时a=0；

（3）运算定律 (a)()a,()aaa,(ab)ab. 练习：

(完整)平面向量的线性运算

111．化简[(2a8b)(4a2b)]的结果是

32A．2ab

B．2ba

 （ ) D．ab

C．ba

2．已知正方形ABCD边长为1，ABa,BCb,ACc,则abc的模等于（ ） A．0

B．3

C．22 D．2

a与be3．已知a22,b3,的夹角为，则以5a2b,fa3b为邻边的平行四边形的一条对角线长为

4（ ）

A. 15 B。 15 C。 14 D. 16 4．O是ABC所在平面内一点，满足OBOCOBOC2OA ，则ABC为（ ） A、直角三角形 B、等腰直角三角形 C、斜三角形 D、等边三角形 5．已知点C在线段AB的延长线上，且2BCAB,BCCA,则等于(

）

11B． C．3 D．

336．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若错误!＝2错误!，错误!＝错误!错误!＋

A．3

则λ＝（ )．

A。错误! B.错误! C．－错误! D．－错误!

λ错误!，

7．平面上不共线的4个点A，B，C，D。若(错误!＋错误!－2错误!)·（错误!－错误!)＝0，则△ABC是（ ）． A．直角三角形

B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

8．向量(ABMB)(BOBC)OM化简后等于 （ ） A．BC

B．AB

C．AC

D．AM

9．在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则 MAMBMC等于

A．O B．4MD C．4MF

( ） D．4ME

10．已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上（不包括端点A、C）,则AP（ ） A．(ABAD).(0,1) B．(ABBC).(0,2) C．

2(ABAD).(0,1) D． (ABBC).(0,2) 211．如左图，在△ABC中，ABBC3，ABC30，AD是边BC上的高,则ADAC的值等于 （ ) A．0

B．

94C．4

D．

9412．已知向量a(2,3),ab(1,4),则b在a方向上的投影等于（ ） A．21313 B． C． D．2

21313(完整)平面向量的线性运算

13．已知OA1，OB3，OAOB0，点C在AOB内部，且AOC300.设

m ( ) n OCmOAnOB(m,nR)，则

31A。 B. C。 3 D。 3

33

14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F. 若ACa,

BDb,则AF（ ）

1121abab2 B。 33 A．411ab4 C. 212ab3 D。 315．O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足

OPOA( A．外心

ABAC),[0,),则P的轨迹一定通过△ABC的 |AB||AC|B．内心

C．重心

D．垂心

→

16．(文）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若OB，＝a100错误!＋a101错误!，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200等于________．

17．已知a、b是非零向量,指出下列等式成立的条件： ①abab

成立的条件是__________；②abab成立的条件是_________；

③abab成立的条件是 ________； ④abab成立的条件是_____________。 18．已知平面上三点A、B、C满足AB3,,CA5，ABBCBCCACAAB= 19．已知A(1,5),B(4,2)，直线l:xy10,直线AB与l交于点P，则点P分AB所成的比=

20．已知e1，e2是两个不共线的向量，a2e1e2，bke1e2．若a与b是共线向量，求实数k的值． 21．如图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中与OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且｜OA｜＝|OB｜＝1，｜OC| ＝23，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）,μ的值.

22．（1)如图,OA,OB不共线,APtAB(tR)用,OA,OB表示OP.

（2)设,OA,OB不共线，点P在O,A,B所在的平面内,且

求λ+

OP(1t)OAtOB(tR).求证：A,B,P三点共线.

