指数与指数幂的运算优秀教案

第一课时 根式

教案目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；

2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质； 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解 教案方法：学导式 教案过程： （I）复习回顾 引例：填空

（1）anaa（nN*)； a0=1（a0)； ann个a1(a0,nN*) na (2)amanamn (m,n∈Z)； (am)namn (m,n∈Z)； (ab)nanbn (n∈Z) （3）9_____； -9_____； 0______ （4）(a)2_____(a0)； a2________ （II）讲授新课

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1.引入：

（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为amana可看作aman,所以amanamn可以归入性质amanamn；又因为()n可看作

bananaa，所以()n可以归入性质(ab)nanbn(n∈Z)）,这是为下面学习分

bbmn数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n次根式（nN*）的概念。

（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：

22=4 ，（-2）2=4 2，-2叫4的平方根 23=8  2叫8的立方根；（-2）3=-8-2叫-8的立方根 25=32  2叫32的5次方根 … 2n=a 2叫a的n次方根 分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a的n次方根。由此，可有： 2.n次方根的定义：（板书）

一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根（n th root）,其中n1，且nN。 问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？xna是否正确？ 分析过程：

例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。（要求完整地叙述求解过程） 2 / 15

解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为(2)5=-32，所以-2是-32的5次方根；

因为(a2)3a6，所以a2是a6的3次方根。

结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为xna。

从而有：3273，5322，3a6a2

例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。 解：因为2416，(2)416，所以2和-2是16的4次方根；

因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。 结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个

na(a0) 且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：

其中na表示a的正的n次方根，na表示a的负的n次方根。

例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。 解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有0n=0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。

结论3：0的n次方根是0，记作n00,即na当a=0时也有意义。

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这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质： 3n次方根的性质：（板书）

nna,n2k1an叫根指数，a叫被 x(kN*)其中 叫根式，na,n2k开方数。

注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。

4.根式运算性质：（板书）

nn（a）a，即一个数先开方，再乘方（同次）①，结果仍为被开方数。

问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？

例4：求3(2)3，525，434，(3)2 由所得结果，可有：（板书）

②

na,n为奇数；an

|a|,n为偶数性质的推导如下：

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性质①推导过程： 当n为奇数时，xna,由xna得(na)na 当n为偶数时，xna,由xna得(na)na 综上所述，可知：(na)na 性质②推导过程： 当n为奇数时，由n次方根定义得：anan 当n为偶数时，由n次方根定义得：anan 则|a||nan|nan a,n为奇数nn(a)综上所述： |a|，n为偶数注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。 （III）例题讲解

例1．求下列各式的值： 32434 （4）(ab)2（a>b） （1）（－8）（2）（－10）（3）（3－）注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。 （III）课堂练习：求下列各式的值

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(1)532 (2)(3)4 (3)(23)2 (4)526 （IV）课时小结

通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。

（V）课后作业 1、书面作业： a.求下列各式的值

x1232（1）－27(2)a6（3）（－4）(4)() 3xb.书P82习题2.1 A组题第1题。 2、预习作业：

a.预习内容：课本P59—P62。 b.预习提纲：

（1）根式与分数指数幂有何关系？

（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？

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第二课时 分数指数幂

教案目标：

(一)教案知识点

1.分数指数幂的概念. 2.有理指数幂的运算性质. ( 二)能力训练要求

1.理解分数指数幂的概念. 2.掌握有理指数幂的运算性质. 3.会对根式、分数指数幂进行互化. (三)德育渗透目标

培养学生用联系观点看问题. 教案重点：

1.分数指数幂的概念. 2.分数指数幂的运算性质. 教案难点：

对分数指数幂概念的理解.

1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.

2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.

教案过程： （Ⅰ）.复习回顾

［师］上一节课，我们一起复习了整数指数幂的运算性质，并学习了根式的运算性质.

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整数指数幂运算性质 (1)a·a=a(m,n∈Z) 根式运算性质 mnm+n(2)(a)=amnm·na,n为奇数(m,n∈Z) a a,n为偶数nnnn(3)(a·b)=a·b(n∈Z) n［师］对于整数指数幂运算性质(2)，当a＞0，m，n是分数时也成立.

(说明：对于这一点，课本采用了假设性质(2)对a＞0，m,n是分数也成立这种方法，我认为不妨先推广了性质(2)，为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备.)

［师］对于根式的运算性质，大家要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性.

接下来，我们来看几个例子. 例子：当a＞0时 323①a5105(a)aa 123252105②a3123(a)aa 23323434③a(a)a ④a(a)a 12212［师］上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的

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整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义. （Ⅱ）.讲授新课

1.正数的正分数指数幂的意义

mnanam (a＞0,m,n∈N*,且n＞1)

［师］大家要注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.

另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 2.规定(板书) (2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. ［师］规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质. 3.有理指数幂的运算性质(板书) (1)ar·as=ar+s (a＞0,r,s∈Q) (2)(ar)s=ar·s (a＞0,r,s∈Q) (3)(a·b)r=ar·br (a＞0,b＞0,r∈Q) (1)amn1amn (a＞0，m,n∈N*,且n＞1) 9 / 15

［师］说明：若a＞0，P是一个无理数，则aP表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.

这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫.接下来，大家通过例题来熟悉一下本节的内容. 4.例题讲解

例2 求值： 8,100231213164,(),(). 4813分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质.

2323323解：8(2)212123224

100(10)21012()21011101()3(22)32(2)(3)2664 43316424(4)227()()()381338例3 用分数指数幂的形式表示下列各式： a2a,a33a2,aa (式中a＞0)

解：aaaaa2212212a a121133452a33a2a3a122312a323aa(aa)(a)a32

［师］为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质，我们来做一下练习题.

Ⅲ.课堂练习

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课本P51练习

1.用根式的形式表示下列各式(a＞０)

15343523a,a,a15,a

解：a5a

34a4a3aa355a33a215a31a2

2332.用分数指数幂表示下列各式：

(1)3x2 （2）4(ab)3（ａ＋ｂ＞０） （3）3(mn)2 （4）(mn)4（ｍ＞ｎ） (5)pq（ｐ＞０） (6) 2365m3m 解：(1)xx

3432(2)4(ab)(ab)

233(3)3(mn)2(mn)

12(4)(mn)(mn)＝（ｍ－ｎ）２

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(5)pq(p0)(pq)pqpq

6561526252352 (6)

m3mmm312m

523.求下列各式的值：

322333362252(1)25；（2）27；（3）()；（4）()

449（5）819； （6）2331.5612

323232432解：(1)25(5)523233232253125

(2) 27(3)3333329

33626226226363216（3）()[()]()()3

49777343725252252(2)5353238()[()]()()()(4) 4222253125333(5) 814932434[(32)]231423124343231421232164343

23(33)4(3)(3)13141433363

1332663(6) 231.51223()(32)

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233221113312131332(221613132)(333)131213163111236

236要求：学生板演练习，做完后老师讲评. （Ⅳ）.课时小结

［师］通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质.

（Ⅴ）.课后作业 （一）1.课本P53练习题

2.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)3a4a （2）aaa （3）3(ab)2 （4）4(ab)3 （5）3ab2a2b （6）4(a3b3)2 解：（1）3a4aaaa12112213141134a

12141811124878712(2) aaa[a(aa)]aaaa23a

(3) 3(ab)(ab)

342（4）4(ab)3(ab)

13（5）abab(abab)

3222213 / 15

（６）4(ab)(ab)(ab) 3.求下列各式的值： 1233232343132(1)2 ； （2）(126449)12； （3）10000341253) ；（4）(272解：（１）2(11)111112221211

164282282()87（2）()(2)()2()1

497787343434()4 (3)10000(10)4101030.001

2125353353353(3)59)(3)[()]()()2 (4)( 27333253222 4.用计算器求值(保留4位有效数字) 124311 (1)53 ；（2）3213；（3）732；（4）675；(5)832 ；（6）25·84 132312

解：（1）5＝1.710（2）321＝46.88（3）73

451234

＝0.1170

（4）67＝28.90（5）83＝2.881（6）8

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＝0.08735

板书设计

分数指数幂 1.正分数指数幂意义 3.有理指数幂性质 mnanam（ａ＞0，ｍ，ｎ∈N*，ｎ＞１） （1）ａｒ·ａｓ＝ａｒ＋ｓ （2）（ａｒ）ｓ＝ａｒｓ （ａ＞0，ｒ，ｓ∈Q） （3）（ａ·ｂ）ｒ＝ａｒ·ａｒ （ａ＞0，ｂ＞0，ｒ∈Ｑ） 2.规定 4.例题 mn(1)a1amn ［例1］ （ａ＞０，ｍ，ｎ∈N*，ｎ＞１）， ［例2］ (2)0的正分数指数幂等于0， 5.学生练习 (3)0的负分数指数幂无意义.

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