大学物理18。19。20章计算答案

三、计算题

1、使一束水平的氦氖激光器发出的激光（632.8nm）垂直照射一双缝。在缝后 2.0m 处的墙上观察到中央明纹和第1级明纹的间隔为 14cm。（1）求两缝的间距；（2）在中央条纹以上还能看到几条明纹？

D2.0623.81099.0106m 6分 解：（1）dx0.14 （2）由于2，则kdsinD2.014.3 x0.14应该取14即能看到14条明纹。 6分 2、在双缝干涉实验装置中，用一块透明簿膜(n1.2)覆盖其中的一条狭缝，这时屏幕上的第四级明条纹移到原来的原零级明纹的位置。如果入射光的波长为500nm，试求透明簿膜的厚度。

解：加上透明簿膜后的光程差为： r1lnlr2(n1)l0 4分 因为第四级明条纹是原零级明纹的位置： 4 ， r1r2 4分 得到： (n1)l4  l4105m 4分 n13、澳大利亚天文学家通过观察太阳发出的无线电波，第一次把干涉现象用于天文观测。这无线电波一部分直接射向他们的天线，另一部分经海面反射到他们的天线，如图所示。设无线电波的频率为 6.0×107Hz，而无线电接收器高出海面 25m。求观察到相消干涉时太阳光线的掠射角的最小值。

解：如图所示，考虑到反射光线的半波损失，则反射光线和直射光线到达天线的相差为

题3图

22hsin 3分

干涉相消要求(2k1)， 3分 代入上式可得

sinkkc 3分 2h2h题3解图

当k1时，给出

min3108arcsinarcsin5.70 3分 72h26.01025c4、试求能产生红光(700nm)的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度。已知肥皂膜折射率为1.33,且平行光与法向成30°角入射。

解: 由薄膜干涉的光程差

222dn22n1sini2k(k1,2,3) 6分

二级干涉极大对应k2,将700nm，n2=1.33, n1=1, i=300,代入上

式，可得

d3700141.332()22426.3nm 6分

5、在折射率n11.52透镜表面通常镀一层如MgF2（n21.38）一类的透明物质薄膜，目的是利用干涉来降低玻璃表面的反射。为了使透镜在可见光谱的中心波长（550nm）处产生极小的反射,则镀层至少有多厚?

解：由于空气的折射率n1，且有nn1n2，因为干涉的互补性，波长为550nm的光在透射中得到加强，则在反射中一定减弱。对透射光而言，两相干光的光程差2n2d2， 4分

由干涉加强条件k， 2分

1可得 d(k) 3分

22n2取k1，则膜的最小厚度dmin99.64nm 3分

6、白光垂直照射到空气中一厚度为500nm折射率为1.50的油膜上。试问该油膜呈现什么颜色？

解：从油膜表面反射的两光线的光程差为： 2ne当k时，反射光加强，有亮纹出现： 2ne2 2分

2k  4ne 3分 2k1即：400nm4ne760nm  2.5k4.3 2k14ne600nm （橙） 3分 2k114ne429nm （紫） 3分

2k21得到： k13 ，1k24 ，2因此油膜上呈现紫橙色。 1分

7、 波长为400~760nm的可见光正射在一块厚度为1.2×10-6m,折射率为1.5玻璃片上,试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强。

解：由反射光产生亮纹的条件2nh可得：

k=1时，7.2×10m； k=5时，0.8×10m；k=6时，0.6545×10m； 3分

-6 -6 -6

k=7时，k=8时，k=9时，0.5538×10m；0.48×10m；0.4235×10

-6

-6

-6

2k， 2分

m； 3分

k=10时，0.3789×10-6 m。 3分 所以在可见光范围内，423.5nm,480.0nm,553.8nm,654.5nm四个波长的光反射光最强。 1分

8、一片玻璃（n1.5）表面附有一层油膜（n1.32），现用一波长连续可调的单色光束垂直照射油面。当波长为 485nm时，反射光干涉相消。当波长增为 679nm时，反射光再次干涉相消。求油膜的厚度。

解：由于在油膜上，下表面反射时都有半波损失现象，所以反射光干涉相消的条件是2ne(2k1)， 4分 2在波长连续可调的情况下，可得

2ne(2k1)1(2k1)2 4分 22e12679485643nm 4分

2n(21)21.32(679485)9、用迈克耳孙干涉仪可以测量光的波长，某次测得可动反射镜移动距离

L0.3220mm时，等倾条纹在中心处缩进1204 条条纹，试求所用光的波长。

解：由于L所以

N， 6分 22L20.32201035.349107534.9nm 6分 N120410、在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环。其第2级亮环与第3级亮环间距为1mm，求第19和20级亮环之间的距离。

1解：对于亮环，有 rk(k)R,(k1,2)， 3分

2所以

r23R2 ，

r35R 2分 2又根据题意可知 r3r2(523)R1mm 3分 2 两边平方得 分

所以 R14155315RR2R1 2224

故 rr20r19(

3937)R0.036cm 2分 2219 光的衍射

三、计算题

1、有一单缝宽b=0.10mm，在缝后放置焦距为50cm的会聚透镜，用波长= 546.1nm 的平行光垂直照射单缝，试求位于透镜焦平面处屏上中央明纹的宽度。

解：由单缝衍射中央明纹宽度公式x02f， 6分 bf250102(546.1109)可得x02 3b0.1105.46103m5.46mm 6分

2、 白光形成的单缝衍射图样中,其中某一波长的第3级明纹位置与波长为600nm的光波的第2级明纹位置重合，求该光波的波长。

解：明纹位置近似地由bsin(2k1)所以有

2确定， 4分

(231)1(221)2 4分 22525600428.6nm 4分 7713、一双缝的间距d=0.10mm，缝宽s= 0.02mm，用波长=480nm 的平行单色光垂直入射该双缝，双缝后放一焦距为50cm的透镜，试求：（1）透镜焦平面处屏上干涉条纹的间距；（2）单缝衍射中央亮纹的宽度。

解：（1）干涉条纹的间距

f50102480109x2.4103m 6分 3d0.1010（2）单缝衍射中央亮纹的宽度

f2501024801092x22.410m 6分 3s0.02104、 波长为 600nm 的单色光垂直入射在一光栅上，第 2，3 级明条纹分别出现在 sin0.20与 sin0.30处，第 4 级缺级。试求：（1）光栅常量；（2）光栅上狭缝宽度；（3）屏上实际呈现的全部级数。

解: （1）由题意，根据光栅方程公式 dsink(k0,1,2)，可知，

22600109光栅常量 d6.0106m 4分

sin20.2（2）由缺级条件知（3）由maxdd4，所以光栅上狭缝宽度为b1.5106m 3分 b4d2得，kmaxsinmax6.010610 3分 600109所以屏上实际呈现的全部级数k0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9，±10，（kmax±10不在屏上）。 2分 5、已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.84106弧度，它们都发出波长为5.5105cm的光。试问：望远镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星？

解：由分辨率公式：得到：D1.221.22 6分 D1.225.510513.86cm 6分 64.84106、一光栅的光栅常量为ba6106m，缝宽b1106m。当用波长为 600nm的单色光垂直照射此光栅时，在屏幕上最多能观察到多少级明条纹。

d解：当max时，由kmaxsinmax，dbb可知，屏幕上能观察到明条

2纹最大级数为

kmaxdsinmax6106sin10 6分 726.010所以屏上应呈现的全部级数k0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，±9（kmax±10应在无穷处）。 2分 又由缺级条件

d6，可知k±6缺级， 2分 b则在屏幕上最多能观察到17条明纹。 2分

7、某单色光垂直入射到每一厘米有6000条刻线的光栅上。如果第一级谱

线的方位角是200，试问入射光的波长是多少？它的第二级谱线的方位角是多少？

1021.667106m 2分 解：（1）光栅常数： ab6000由光栅方程：(ab)sink 3分 当k1时，(ab)sin1570nm 2分 （2）同理k2时，(ab)sin22  sin2得到：2arcsin2 3分 ab24309 2分 ab8、用波长为624nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b为0.012mm，

不透明部分的宽度b为0.029mm，缝数N为103条。求：(1)单缝衍射图样的中央角宽度；(2)单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？ 解：（1）单缝衍射图样的中央角宽度

226.240107210.410rad 6分 5b1.210(2) 单缝衍射图样包络下的范围内共有光谱级数由下列式子确定

d0.0413.42 b0.012式中dbb为光栅的光栅常数，所以看到的级数为3. 6分

9、在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距120cm，试问汽车离人多远的地方，眼睛恰可分辨这两盏灯？设夜间人眼瞳孔直径为5.0mm，入射光波长为550nm(这里仅考虑人眼圆形瞳孔的衍射效应)。

1.22解：由分辨率公式： 4分

D

1.2255010930.134210rad 4分 人眼可分辨的角度范围是：3510由关系tanll1.2l8.94km 4分 ， 得到：s3tan0.134210s10、如图10中所示的入射X射线束不是单色的，而是含有从0.095nm到

0.13nm这一范围的各种波长。设晶体的晶格常数a00.275nm，试问对图示的晶面能否产生强反射？

入射X射线 450 a0

图10

解：x射线的衍射条件为： 2dsink 3分

2dsin0.389nm得到： k 2分

由于：0.095nm0.13nm

得到：2.990.3894.1  2.99k4.1 3分

因此：k13 ，10.3890.13nm 2分 k10.3890.097nm 2分 k2 k24 ，2所以晶面对波长为0.097nm和0.13nm的x射线能产生强反射。

20章计算题

1、自然光通过两个偏振化方向间成 60°的偏振片，透射光强为 I1。今在这两个偏振片之间再插入另一偏振片，它的偏振化方向与前两个偏振片均成 30°角，则透射光强为多少？

解：设入射的自然光光强为I0，则透过第1个偏振片后光强变为

I0， 3分 2透过第2个偏振片后光强变为

I0cos2600I1， 3分 2由此得 I02I18I1 3分

cos2600上述两偏振片间插入另一偏振片，透过的光强变为

I2I09cos2300cos2300I12.25I1 3分 24

2、 自然光入射到两个互相重叠的偏振片上。如果透射光强为（1）透射光最大强度的三分之一,（2）入射光强度的三分之一，则这两个偏振片的偏振化方向间的夹角是多少？

解：（1）设入射的自然光光强为I0，两偏振片同向时，透过光强最大，为

1I当透射光强为I10时，有 2分

32I1I0Icos20 2分 26I0。2两个偏振片的偏振化方向间的夹角为

1arccos154044 2分 3（2）由于透射光强 I2I0Icos220 4分 23所以有 2arccos236016 2分 33、投射到起偏器的自然光强度为I0，开始时，起偏器和检偏器的透光轴方向平行．然后使检偏器绕入射光的传播方向转过30°，45°，60°，试分别求出在上述三种情况下，透过检偏器后光的强度是I0的几倍? 解：由马吕斯定律有

I1I03cos230oI0 4分 28I01cos245οI0 4分 24I01cos260οI0 4分 28I2I3311所以透过检偏器后光的强度分别是I0的,,倍．

8484、使自然光通过两个偏振化方向夹角为60°的偏振片时，透射光强为I1，今在这两个偏振片之间再插入一偏振片，它的偏振化方向与前两个偏振片均成30°，问此时透射光I与I1之比为多少? 解：由马吕斯定律

I1I0Icos260ο0 4分 28I09I02ο2οIcos30cos30 4分

232∴

I92.25 4分 I145、水的折射率为 1.33，玻璃的折射率为 1.50，当光由水中射向玻璃而反射时，起偏振角为多少？当光由玻璃射向水中而反射时，起偏振角又为多少？

这两个起偏振角的数值间是什么关系？

解：由布儒斯特定律 tani0起偏振角为

i0arctann21.50arctan48026 5分 n11.33n2可知，当光由水中射向玻璃而反射时，n1光由玻璃中射向水而反射时，起偏振角为

i0arctann11.33arctan41034 5分 n21.50由此，可见这两个起偏振角的数值间是互余关系，即i0i02。 2分

6、根据布儒斯特定律可以测定不透明介质的折射率。今测得釉质的起偏振角i0580，试求它的折射率。

解：由布儒斯特定律tani0n2 6分 n1可知，当光由空气（n11.00）中射向不透明介质而反射时，

n2tani0tan5801.60 6分

7、已知从一池静水（n1.33）的表面反射出来的太阳光是线偏振光，此时，太阳在地平线上多大仰角处？

解：由布儒斯特定律可知，太阳光由大气（n11.00）射向水面（n21.33）的入射角为

ii0arctann21.33arctan5304 6分 n11.00此时，太阳在地平线上的仰角为900530436056。 6分

8、平行放置两偏振片，使它们的偏振化方向成600的夹角。

(1) 如果两偏振片对光振动平行于其偏振化方向的光线均无吸收，则让自然

光垂直入射后，其透射光的强度与入射光的强度之比是多少？

(2) 如果两偏振片对光振动平行于其偏振化方向的光线分别吸收了10%的能

量，则透射光强与入射光强之比是多少？

解：（1）设入射光强为I0，自然光通过第一偏振片后，强度I1定律，通过第二偏振片后强度为： I2I1cos2600I0，由马吕斯2I0Icos26000 3分 28得到：

I210.125 3分 I08（2）当有10%的能量吸收时：I1I0(110%) 2分 2I2I1cos2600(110%)I0(110%)20.10125I0 2分 8得到：

I20.10125 2分 I09、 在两个正交的理想偏振片之间有一个偏振片以匀角速度绕光的传播方向旋转，若入射的自然光的光强为I0，求透射光强。

解：如图所示，两个正交的理想偏振片M、N之间插入偏振片P，由马吕斯定律可知，从M出射的光强为I1I0， 3分 2从P出射的光强为 I2I1cos2t

从N出射的光强为

II2cos2(I0cos2t 3分 22t)I0cos2tsin2t 2

I0(1cos4t) 6分 16 题9解图

10、两尼科耳棱镜的主截面间的夹角由300转到450

(1) 当入射光是自然光时，求转动前后透射光的强度之比； (2) 当入射光是线偏振光时，求转动前后透射光的强度之比。

解：（1）当入射光是自然光时： I1I2I1cos21I0 1分 2I03cos2300I0 2分 28III2I1cos220cos24500 2分

24得到：

I23/831.5 1分 1/42I2（2）当入射光是线偏振光时，通过第一个尼科耳棱镜后会分解为o光和e光，令此时线偏振光强为： I1kI0 ， k(0,1] 2分

I2I1cos21kI0cos23003kI0 1分 41I2I1cos22kI0cos2450kI0 1分

2得到：

I23/431.5 2分 1/22I2