数 学
(全卷满分：120分 考试时间：90分钟)
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（ ） A．﹣4 B．2
C．﹣1 D．3
2．下列几何体中，正视图是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30° 4．若不等式组
无解，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
5．已知正比例函数y=（m+1）x，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m≥﹣1 D．m≤﹣1
6．如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AC，AE，若AB=AC，AE=CD，AD=CE，则图中的全等三角形有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
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7．如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相较于点E，F，若∠A=55°，∠E=30°，则∠F=（ ）
A．25° B．30° C．40° D．55°
8．若一次函数y=kx+b的图象经过（﹣1，1），（0，m），（1，﹣5）三点，则m的值为（ ） A．﹣1 B．﹣2 C．0
D．
9．如图，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，AE=3，则四边形AECF的周长为（ ）
A．22 B．18 C．14 D．11
10．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（ ）
A．b2＞4ac B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1 二、填空题（共5小题，每小题3分，计12分）
11．如图，A、B的坐标分别为（2，0）、（0，1），若将线段AB平移至A1B1，A1、B1的坐标分别为（3，1）、（a，b），则a+b的值为 3 ．
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12．如图，一人乘雪橇沿斜坡下滑AB=72米，且∠A=28°，则他下降的铅直高度BC为 33.8 米．（用科学计算器计算，结果精确到0.1）
13．如图，△ABO的面积为3，且AO=AB，反比例函数y=的图象经过点A，则k的值为 3 ．
14．将正方形与直角三角形纸片按如图所示方式叠放在一起，已知正方形的边长为20cm，点O为正方形的中心，AB=5cm，则CD的长为 20 cm．
三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程） 15．（5分）计算：
16．（5分）先化简，再求值：（
17．（5分）如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
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×﹣|1﹣|+cos45°．
+1）÷，其中a=．
18．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．
19．（7分）真情洒满校园，爱心传递温暖，西安市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心慈善捐款活动，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取了若干名学生的捐款数进行了统计、并绘制成如图所示的不完整的扇形统计图：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）求抽取的这若干名同学捐款的平均数；
（3）若该校有600名学生参与捐款，据此估计捐款15元的学生人数约为多少？
20．（7分）如图，A、B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在AB外选一点C，连接AC和BC，延长AC到D，使CD=AC，延长BC到E，使CE=BC，连接DE．若小吴测得DE的长为400米，根据以上信息，请你求出AB的长．
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21．（7分）谷歌人工智能AlphaGo机器人与李世石的围棋挑战赛引起人们的广泛关注，人工智能完胜李世石，某教学网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式： 收费方式 A B
月使用费/元 7 10
包时上网时间/h 25 50
超时费/（元/min） 0.6 0.8
设小明每月上网学习人工智能课程的时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为yA元，yB元． （1）当x≥50时，分别求出yA，yB与x之间的函数关系式；
（2）若小明3月份上该网站学习的时间为60小时，则他选择哪种方式上网学习合算？
22．（7分）陕西汉中有百万亩油菜花，每年春天，盛开的油菜花与青山绿水相互掩映，构成一道亮丽的风景，摄影爱好者小飞和小笑计划在油菜花节进行拍摄，但是由于油菜花海分布范围广泛，所以小飞和小笑决定采用抽签的方式在1﹣南郑，2﹣西乡，3﹣汉台，4﹣勉县，5﹣洋县这五个地方中选择两个地方进行拍摄，抽签规则如下：把五个地点分别写在五张背面相同的卡片上，小飞先随机抽取一张卡片，不放回，搅匀后，小笑再抽取一张． （1）小飞抽取到的地点是南郑的概率是多少？
（2）请用树状图或列表的方法，求小飞和小笑在勉县和汉台这两个地方进行拍摄的概率．
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23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，连接AD，BD． （1）求证：∠ADC=∠ABD； （2）若AD=2
，⊙O的半径为3，求MD的长．
24．（10分）如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，E点是BC的中点，F是AB延长线上一点且FB=1． （1）求经过点O、A、E三点的抛物线解析式；
（2）点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时△OAP的面积为2，请求出点P的坐标； （3）在抛物线上是否存在一点Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．
理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；
（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；
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（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用
圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．
模拟测试卷（解析版）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（ ） A．﹣4 B．2
C．﹣1 D．3
【考点】有理数大小比较．
【分析】根据有理数大小比较的法则直接求得结果，再判定正确选项． 【解答】解：∵正数和0大于负数， ∴排除2和3．
∵|﹣2|=2，|﹣1|=1，|﹣4|=4， ∴4＞2＞1，即|﹣4|＞|﹣2|＞|﹣1|， ∴﹣4＜﹣2＜﹣1． 故选：A．
【点评】考查了有理数大小比较法则．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．
2．下列几何体中，正视图是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】主视图是从物体正面看，所得到的图形． 【解答】解：A、球的正视图是圆，故此选项错误； B、圆柱的正视图是矩形，故此选项正确； C、圆锥的正视图是等腰三角形，故此选项错误；
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D、圆台的正视图是等腰梯形，故此选项错误； 故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30° 【考点】平行线的性质．
【分析】先根据直角三角形的性质求出∠D的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵FE⊥DB， ∵∠DEF=90°． ∵∠1=50°，
∴∠D=90°﹣50°=40°． ∵AB∥CD， ∴∠2=∠D=40°． 故选C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 4．若不等式组
无解，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2 【考点】解一元一次不等式组．
【分析】求出两个不等式的解集，根据已知得出m≤2，即可得出选项． 【解答】解：
∵解不等式①得：x＞2， 不等式②的解集是x＜m，
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，
又∵不等式组∴m≤2， 故选D．
无解，
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，关键是能根据已知得出关于m的不等式．
5．已知正比例函数y=（m+1）x，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m≥﹣1 D．m≤﹣1 【考点】正比例函数的性质．
【分析】根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式k+3＜0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵正比例函数 y=（m+1）x中，y的值随自变量x的值增大而减小， ∴m+1＜0， 解得，m＜﹣1； 故选A．
【点评】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k的关系．解答本题注意理解：直线y=kx所在的位置与k的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．
6．如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AC，AE，若AB=AC，AE=CD，AD=CE，则图中的全等三角形有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【考点】全等三角形的判定．
【分析】首先证明△ABE≌△AEC，再证明△AEC≌△ADC，△ABE≌△ADC． 【解答】解：在△ABE和△AEC中，
，
∴△ABE≌△AEC（SSS），
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在△AEC和△ADC中，
，
∴△ABO≌△ADO（SSS）， ∴△ABE≌△ADC， 故选D
【点评】考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相较于点E，F，若∠A=55°，∠E=30°，则∠F=（ ）
A．25° B．30° C．40° D．55° 【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BCF，根据三角形的外角的性质求出∠CBF，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BCF=∠A=55°，
∵∠CBF是△ABE的一个外角， ∴∠CBF=∠A+∠E=85°，
∴∠F=180°﹣∠BCF﹣∠CBF=40°， 故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和三角形的外角的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
8．若一次函数y=kx+b的图象经过（﹣1，1），（0，m），（1，﹣5）三点，则m的值为（ ）
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A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先利用待定系数法求出一次函数y=kx+b的解析式，再把（0，m）代入求出m的值即可． 【解答】解：∵点（﹣1，1），（1，﹣5）在一次函数y=kx+b的图象上， ∴
，解得
，
∴一次函数的解析式为y=﹣3x﹣2． ∵点（0，m）在此函数图象上， ∴m=﹣2． 故选B．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9．如图，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，AE=3，则四边形AECF的周长为（ ）
A．22 B．18 C．14 D．11
【考点】菱形的性质；平行四边形的判定与性质． 【专题】几何图形问题．
【分析】根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BAC=∠BCA，再根据等角的余角相等求出∠BAE=∠E，根据等角对等边可得BE=AB，然后求出EC，同理可得AF，然后判断出四边形AECF是平行四边形，再根据周长的定义列式计算即可得解． 【解答】解：在菱形ABCD中，∠BAC=∠BCA， ∵AE⊥AC，
∴∠BAC+∠BAE=∠BCA+∠E=90°， ∴∠BAE=∠E， ∴BE=AB=4， ∴EC=BE+BC=4+4=8，
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同理可得AF=8， ∵AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF的周长=2（AE+EC）=2（3+8）=22． 故选：A．
【点评】本题考查了菱形的对角线平分一组对角的性质，等角的余角相等的性质，平行四边形的判定与性质，熟记性质并求出EC的长度是解题的关键．
10．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（ ）
A．b2＞4ac B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；由于抛物线开口向上，有最小值则可对B进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对C进行判断；根据二次函数的对称性可对D进行判断．
【解答】解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；
B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；
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D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确． 故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点远近二次函数与不等式的关系．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计12分）
11．如图，A、B的坐标分别为（2，0）、（0，1），若将线段AB平移至A1B1，A1、B1的坐标分别为（3，1）、（a，b），则a+b的值为 3 ．
【考点】坐标与图形变化-平移．
【分析】先利用点A平移都A1得到平移的规律，再按此规律平移B点得到B1，从而得到B1点的坐标，于是可求出a、b的值，然后计算a+b即可．
【解答】解：∵点A（2，0）先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到点A1（3，1）， ∴线段AB先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到线段A1B1， ∴点B（0，1）先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到点B1， ∴a=0+1=1，1+1=b， ∴a+b=1+2=3． 故答案为：3．
【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
12．如图，一人乘雪橇沿斜坡下滑AB=72米，且∠A=28°，则他下降的铅直高度BC为 33.8 米．（用科学计算器计算，结果精确到0.1）
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【分析】根据正弦的概念列出算式，计算即可．
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【解答】解：sinA=，
则BC=AB•sinA=72×sin28°≈33.6， 则他下降的铅直高度BC为33.6米， 故答案为：33.8．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比和锐角三角函数的定义是解题的关键．
13．如图，△ABO的面积为3，且AO=AB，反比例函数y=的图象经过点A，则k的值为 3 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】过点A作OB的垂线，垂足为点C，根据等腰三角形的性质得OC=BC，再根据三角形的面积公式得到OB•AC=3，易得OC•AC=3，设A点坐标为（x，y），即可得到k=xy=OC•AC=3． 【解答】解：过点A作OB的垂线，垂足为点C，如图， ∵AO=AB， ∴OC=BC=OB， ∵△ABO的面积为3， ∴OB•AC=3， ∴OC•AC=3．
设A点坐标为（x，y），而点A在反比例函数y=（k＞0）的图象上， ∴k=xy=OC•AC=3． 故答案为：3．
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【点评】本题考查的是反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．同时考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征．
14．将正方形与直角三角形纸片按如图所示方式叠放在一起，已知正方形的边长为20cm，点O为正方形的中心，AB=5cm，则CD的长为 20 cm．
【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】根据题意四边形BOCE是正方形，且边长等于大正方形的边长的一半，等于10cm，再根据△DCE和△DOA相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【解答】解：如图， ∵点O为正方形的中心，
∴四边形BOCE是正方形，边长=20÷2=10cm， ∵CE∥AO， ∴△DCE∽△DOA， ∴即
，
，
解得DC=20cm． 故答案为：20．
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【点评】本题主要考查正方形各边都相等，每个角都是直角的性质和相似三角形对应边成比例的性质，需要熟练掌握并灵活运用．
三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程） 15．计算：
×
﹣|1﹣
|+
cos45°．
【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题．
【分析】根据特殊角的三角函数值和绝对值的意义得到原式=3进行二次根式的乘法运算后合并即可． 【解答】解：原式=3=9=8
+1﹣+2．
+1
×
+（1﹣
）+
×
×
+（1﹣
）+
×
，然后
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 16．先化简，再求值：（【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式=
•
+1）÷
，其中a=．
=•
==a﹣2，
•
当a=时，原式=﹣2=﹣．
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【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
17．如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
【考点】作图—复杂作图． 【专题】作图题．
【分析】先作线段AC=b，再过点C作AC的垂线，接着以点A为圆心，a为半径画弧交此垂线于B，则△ABC为所求． 【解答】解：如图，
△ABC为所求作的直角三角形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】证明题．
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
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【解答】证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°， 在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴BE=AF．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
19．真情洒满校园，爱心传递温暖，西安市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心慈善捐款活动，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取了若干名学生的捐款数进行了统计、并绘制成如图所示的不完整的扇形统计图：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）求抽取的这若干名同学捐款的平均数；
（3）若该校有600名学生参与捐款，据此估计捐款15元的学生人数约为多少？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数．
【分析】（1）利用捐款20元的6人除以所占的百分比求得总人数，进一步求得捐款5元和15元的人数，补全条形统计图即可；
（2）利用求平均数的方法得出答案即可；
（3）求得捐款15元的学生人数所占的百分比，乘学校人数即可得出答案． 【解答】解：（1）6÷15%=40（人） 40×25%=10（人） 40﹣10﹣16﹣6=8（人） 条形统计图如下：
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（2）抽取的这若干名同学捐款的平均数=（10×5+16×10+8×15+6×20）÷40=11.25（元）； （3）600×
=120（人）
答：估计捐款15元的学生人数约为120人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．如图，A、B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在AB外选一点C，连接AC和BC，延长AC到D，使CD=AC，延长BC到E，使CE=BC，连接DE．若小吴测得DE的长为400米，根据以上信息，请你求出AB的长．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】根据题意结合相似三角形的判定方法得出，△ABC∽△DEC，进而求出AB的长． 【解答】解：∵CD=AC，CE=BC， ∴
=
=，
∵∠ACB=∠ECD， ∴△ABC∽△DEC， ∴
=
=，
∴AB=800，
答：AB的长为800m．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出△ABC∽△DEC是解题关键．
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21．谷歌人工智能AlphaGo机器人与李世石的围棋挑战赛引起人们的广泛关注，人工智能完胜李世石，某教学网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式： 收费方式 A B
月使用费/元 7 10
包时上网时间/h 25 50
超时费/（元/min） 0.6 0.8
设小明每月上网学习人工智能课程的时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为yA元，yB元． （1）当x≥50时，分别求出yA，yB与x之间的函数关系式；
（2）若小明3月份上该网站学习的时间为60小时，则他选择哪种方式上网学习合算？ 【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据收取费用=月使用费+超时单价×超过时间，可找出yA、yB关于x的函数关系式； （2）将x=60分别代入yA、yB的表达式中得出y值进行比较，即可得出结论． 【解答】解：（1）当x≥50时，yA与x之间的函数关系式为： yA=7+（x﹣25）×0.6=0.6x﹣8，
当x≥50时，yB与x之间的函数关系式为： yB=10+（x﹣50）×0.8=0.8x﹣30．
（2）当x=60时，yA=0.6×60﹣8=28，yB=0.8×60﹣30=18， ∴yA＞yB．
故选择B方式上网学习合算．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据数量关系列出函数的表达式．本题属于基础题，难度很小，解决该题型题目时，寻找数量关系是关键．
22．陕西汉中有百万亩油菜花，每年春天，盛开的油菜花与青山绿水相互掩映，构成一道亮丽的风景，摄影爱好者小飞和小笑计划在油菜花节进行拍摄，但是由于油菜花海分布范围广泛，所以小飞和小笑决定采用抽签的方式在1﹣南郑，2﹣西乡，3﹣汉台，4﹣勉县，5﹣洋县这五个地方中选择两个地方进行拍摄，抽签规则如下：把五个地点分别写在五张背面相同的卡片上，小飞先随机抽取一张卡片，不放回，搅匀后，小笑再抽取一张． （1）小飞抽取到的地点是南郑的概率是多少？
（2）请用树状图或列表的方法，求小飞和小笑在勉县和汉台这两个地方进行拍摄的概率． 【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）由共五个地方：1﹣南郑，2﹣西乡，3﹣汉台，4﹣勉县，5﹣洋县，直接利用概率公式求解即可求得答案；
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（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小飞和小笑在勉县和汉台这两个地方进行拍摄的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵共五个地方：1﹣南郑，2﹣西乡，3﹣汉台，4﹣勉县，5﹣洋县， ∴小飞抽取到的地点是南郑的概率是：； （2）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，小飞和小笑在勉县和汉台这两个地方进行拍摄的有2种情况， ∴小飞和小笑在勉县和汉台这两个地方进行拍摄的概率为：
=
．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，连接AD，BD． （1）求证：∠ADC=∠ABD； （2）若AD=2
，⊙O的半径为3，求MD的长．
【考点】切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果； （2）由已知条件证得△ADM∽△ABD，即可得到结论． 【解答】证明：（1）连接OD，如图，
∵直线CD切⊙O于点D， ∴∠CDO=90°， ∵AB为⊙O的直径，
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∴∠ADB=90°，
∴∠ADC+∠ADO=∠ADO+∠ODB=90°， ∴∠ADC=∠ODB， ∵OB=OD， ∴∠ODB=∠ADB， ∴∠ADC=∠ABD；
（2）∵⊙O的半径为3，AB=6， ∵∠ADB=90°， ∴DB═
∵∠AMD=∠ADB=90°，∠ADC=∠ABD， ∴△ADM∽△ABD， ∴∴DM=2
，即．
，
【点评】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
24．如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，E点是BC的中点，F是AB延长线上一点且FB=1．
（1）求经过点O、A、E三点的抛物线解析式；
（2）点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时△OAP的面积为2，请求出点P的坐标； （3）在抛物线上是否存在一点Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）首先确定A和E的坐标，利用待定系数法即可求得函数解析式； （2）根据三角形的面积公式即可求得P的纵坐标，进而求得P的坐标；
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（3）分成A是直角顶点，F是直角顶点，Q是直角顶点三种情况进行讨论，确定若构成等腰直角三角形时，Q是否在抛物线上即可．
【解答】解：（1）A的坐标是（2，0），E的坐标是（1，2）． 设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c， 根据题意得：
，
解得：．
则抛物线的解析式是y=﹣2x2+4x；
（2）当△OAP的面积是2时，P的纵坐标是2或﹣2． 当﹣2x2+4x=2时，解得：x=1，则P的坐标是（1，2）； 当﹣2x2+4x=﹣2时，解得：x=1±此时P的坐标是（1+
，
，﹣2）；
，﹣2）或（1﹣
（3）AF=AB+BF=2+1=3．
OA=2，则A是直角顶点时，Q不可能在抛物线上； 当F是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；
当Q是直角顶点时，Q到AF的距离是AF=，若Q存在，则Q的坐标是（2﹣，），即（，），在抛物线上；
综上，抛物线上存在Q点满足题目要求．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，正确对等腰直角三角形进行讨论是本题的关键．
25．定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．
理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；
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（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；
（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=
，点A在BP边上，且AB=13．用
圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．
【考点】四边形综合题． 【专题】新定义．
【分析】（1）根据对等四边形的定义，进行画图即可；
（2）连接AC，BD，证明Rt△ADB≌Rt△ACB，得到AD=BC，又AB是⊙O的直径，所以AB≠CD，即可解答；
（3）根据对等四边形的定义，分两种情况：①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11；利用勾股定理和矩形的性质，求出相关相关线段的长度，即可解答．
【解答】解：（1）如图1所示（画2个即可）．
（2）如图2，连接AC，BD，
∵AB是⊙O的直径，
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∴∠ADB=∠ACB=90°， 在Rt△ADB和Rt△ACB中，
∴Rt△ADB≌Rt△ACB， ∴AD=BC，
又∵AB是⊙O的直径， ∴AB≠CD，
∴四边形ABCD是对等四边形． （3）如图3，点D的位置如图所示：
①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；
②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11， 过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F， 设BE=x， ∵tan∠PBC=∴AE=
，
，
在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2， 即
，
解得：x1=5，x2=﹣5（舍去）， ∴BE=5，AE=12， ∴CE=BC﹣BE=6，
由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12， 在Rt△AFD2中，∴
，
或12+
．
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， ，
综上所述，CD的长度为13、12﹣
【点评】本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念．在（3）中注意分类讨论思想的应用、勾股定理的应用
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