第六章样本及样本函数的分布§3 样本函数及其概率分布看例3.2P143 运用Fnmax(x)=[F(x)]证明: E[X]=μ,D(X)=σ2n.P140证明:nnE[X]=E⎡⎢1⎣n∑X⎤11ii=1⎥⎦=n∑E(Xi)=i=1nnμ=μD[X]=D⎡⎢1⎣n∑nX⎤1ii=1⎥⎦=n2∑nD(X2i)=1nnσ=1i=1nσ22E[Xi]=E[X]=μV[Xi]=V[X]=σ2看例3.1 P142运用niX=∑Xi=1n,2=1n2Sn−1∑(Xi−X)i=14. (相关结果) 设总体X, 有E(X)=μ,D(X)=σ2存在,X1,X2,LXn是来自总体X的样本,令1n2X=2n∑Xi,S=11∑n(Xi−X),B=1i=1n∑n(X2i=1n−2i−X).i=1证明:E(X)=μ2D(X)=σnE(S2)=σ2E(B−12)=nnσ2 (<σ2)P141 E(S2)=σ2的证明中的几点说明.nn1)∑(X2i−X)=∑X2i−nX2证明i=1:i=1∑nnn(X22i−X)=2Xi=1∑Xi−i=1∑Xi+nX2i=1nni=∑X2=1i−2nX∑Xii=1n+nX2∑n2n=XnX2+nX2=∑X2i−2i−nX2i=1i=112) E(X2)=D(X)+(E(X))2由于 D(X)=E(X2)−(E(X))2.同理有 E(X22i)=D(Xi)+(E(Xi)).E(X2)=D(X)+(E(X))2.证明:E(S2)=σ2. P141E(S2)=E⎡⎢1n⎣n−1∑(Xi−X)2⎤ =1E⎡nX2⎤i−nXi=1⎥⎦n−1⎢⎣∑2i=1⎥⎦=1⎡nn-1⎢⎣∑E(X2nE(X2)⎤i)−i=1⎥⎦=1⎧nn-1⎨⎩∑{D(X(E(X2}{X)+(E(X))2}⎫i)+i))−nD(⎬i=1⎭=1⎛2n-1⎜⎜⎝nσ2+nu2−n⋅σn−nu2⎞⎟⎟⎠=σ2定理3.1 若 X~N(μ,σ2), 则 X~N(μ,σ2n).P144相关问题:若X~N(μ,σ2n),求解P(a≤X≤b)=Φ(b−μa−μσ/n)−Φ(σ/n)3)E(Xi)=μ, D(Xi)=σ22 E(X)=μ, D(X)=σn证明 E(B−12P1422)=nnσ.证明: 由于S2=1n2n−1∑(Xi−X),B2=1n(Xi−X)2i=1n∑i=1故Bn−122=nS.从而E(B=E(n−1nS2)=n−1n−122)nE(S2)=nσ.例3.3设X~N(30,16),P144(1)样本容量n=25,求P(X−30<1).解:由X~N(30,16),n=25,知X~N(30,1625).P(X−30<1)=P(29
6).解:由X~N(20,5210),Y~N(10,2252228),知X−Y~N(10,10+8).P(X−Y>6)=1−Φ(6−105222)=1−Φ(−2.31)10+8=Φ(2.31)=0.9896.课后练习:P 158—5,6,7,8,12.χ2(n)的密度曲线f(x)n=1n=4n=10X随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称.定理3.2 设X~N(μ221,σ1),Y~N(μ2,σ2),从中独立抽样,2则有X−Y~N(μ1σ221−μ2,σn+).P1451n22证明:由X~N(μ1σ221,σn),Y~N(μ2,与Y相互独立,1n),X2知X−Y~N(μσ2121−μ2,n+σ21n).2相关问题:求解 P(a≤X−Y≤b)=Φ(b−(μ1−μ2)1−μ2)σ22)−Φ(a−(μ).12σ21n+σ+σ221n2n1n2§4χ2分布chi squared distribution定义设X的样本,1, X称统计量2,…Xn是来自标准正态总体N(0,1)χ2=X221+X2+L+X2n为自由度为n的χ2分布记作χ2~χ2(n).课后练习: P157-4性质P1471.若χ2~χ2(n),则E(χ2)=n,D(χ2)=2n.2.可加性 设X~χ2(n21),Y~χ(n2),且X与Y相互独立,则X+Y~χ2(n1+n2).3.若χ2~χ2(n),当n→∞时,χ2~&N(n,2n)3χ2分布的上α分位点P148 设χ2~χ2(n),对于给定的α(0<α<1),称满足P(χ2>χ22α(n))=α的点χα(n)为χ2(n)分布的上α分位点.f(x)(1)若P(X>λαλ=χ2)= ,则α(n)(1)若P(X<λ)= ,α则1−αλ=χ2α1−α(n)χ2α(n)X练习查表求下列答案P344χ20.05(7)=?14.067χ20.95(9)=?3.325如果 χ2α(7)=14.067,则 α=?0.05服从χ2分布的统计量 1P148Th4.1 设XN(μ,σ21, X2,…Xn来自正态总体)的样本,则随机变量nχ2=1σ2∑(Xi−μ)2~χ2(n)i=1略证：由X2Xi−μi~N(μ,σ),易见σ~N(0,1)故χ2∑nn=(Xi−μ1σ)2=σ2∑(Xi−μ)2~χ2(n),i=1i=1练习:X~χ2(10),P(X>λ1)=0.025,P(X<λ2)=0.05,求λ1,λ2.解: λ21=χ0.025(10)λ2=χ20.95(10)根据χ20.05(7)=14.067,请回答：P(χ2>14.1)=?P(χ2<14.1)=?0.05, 0.95问题:利用1n2σ2∑(Xi−μ)2~χ(n)i=1n求∑(Xi−μ)2的概率i=14例4.1设X1, X2,…Xn来自正态总体N(0,0.09的样本,求n)P(∑X2i>1.44).i=1证明:由Xi~N(0,0.09),知Xi−00.3~N(0,1),10 故χ2=∑(Xi−0)2=11022Xi~χ2(10)i=10.30.3∑i=1nP(∑X21n2.44i>1.44)=P(2i>10.32)=P(χ2>16),i=10.3∑Xi=1 由χ20.1(10)=15.987≈16,知P(χ2>16)≈0.1课后练习:P 158—13.n问题:利用(n−1)S2σ2=1σ2∑(Xi−X)2~χ2(n−1),i=1n求S2的概率,及∑(X2i−X)的概率，i=1课后练习:P158—9.服从χ2分布的统计量 2P149Th4.2 设X1, X2,…Xn来自正态总体N(μ,σ2)的样本,样本均值和样本方差分别为X和S2.则n1)(n−1)S21σ2=σ2∑(Xi−X)2~χ2(n−1),i=12)X与S2相互独立.n比较12σ2∑(Xi−μ)~χ2(n)i=1例4.3设总体X服从N(μ,32),样本容量为16求P(S2<16.5).P149:由于χ2=(16−1)S25S2解32=3~χ2(15),故P(S2<16.5)=P(5S23<5×16.53)=P(χ2<27.5) =1−P(χ2≥27.5) 由χ20.025(15)=27.488≈27.5,知P(S2<16.5)≈1−0.025=0.975.2n利用(n−1)S(Xi−X)2σ2=∑)i=1σ2~χ2(n−1例4.2 设X来自正态总体N(μ,σ21, X2,…Xn)的样本, 样本方差为S2.P149则(S2)=2σ4Dn−1 证明:由于(n−1)S2σ2~χ2(n−1), 及D((n−1)S2(n−1)S2−1)2σ2)=2(n−1), 又D(σ2)=(nσ4D(S2),4 得D(S2)=2σn−1.5有用结论1.任意总体X,μ,σ2,样本X1,L,Xn,X,S2,则 E(X)=μ,2 D(X)=σn, E(S2)=σ2.2.若X~N(μ,σ2),则还有 D(S2)=2σ4n−1.t分布的密度曲线:f(x)X特点关于y轴对称;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线.t分布的上α分位点P150设t~t(n),对于给定的α(0<α<1),称满足P(X>tα(n))=α的点tα(n)为t(n)分布的上α分位点.f(x)由对称性知，t1−α(n)=−tα(n)αtα(n)X§5 t分布 t distribution定义 设X~N(0,1),Y~χ2(n),X与Y相互独立,称随机变量t=XY/n服从自由度为n的t分布,记作t~t(n).性质 若t~t(n)，当n>45时，t~&N(0,1).Standard练习查表P342求下列答案t0.025(8)=?2.306t0.975(8)=−t0.025(8)-2.306如果 tα(8)=2.306,则 α=?0.0256根据 t0.025(8)=2.306,请回答：如果 t~tα(8),则P(t>2.31)=?如果 t~tα(8),则P(t<2.31)=?0.025, 0.975服从t分布的统计量P151Th5.1 设X1, X2,…Xn来自正态总体N(μ,σ2)的样本,样本均值和样本方差分别为X和S2则.t=X−μS/n~t(n−1)比较u=X−μσ/n~N(0,1).例5.1设X1, X2,…X2n, Xn+1来自正态总体P152N(μ,σ)的样本, 记1nX1nn=2n∑Xi, Sn=(Xi−i=1n−1∑Xn)2,i=1证明:n⋅Xn+1−Xnn+1S~t(n−1)n回顾:定义 设X~N(0,1),Y~χ2(n),X与Y相互独立,称随机变量t=XY/n服从自由度为n的t分布,记作t~t(n).证明:往证 t=X−μS/n~t(n−1)X−μX−μt=X−μS/n=σ/nS/σ=σ/nS2/σ2u=X−μX−μσ/n~N(0,1). =σ/nu(n−1)S2=χ2~t(n−1)由于X与S2σ2n−1相互独立,n−1故u与χ2相互独立.(n−1)S2σ2~χ2(n−1)证明:Xn+1与Xn相互独立，且X2n+1~N(μ,σ),Xn~N(μ,σ2n),(n+1)σ2所以Xn+1−Xn~N(0,n)故Xn+1−Xn−0=Xn+1−Xnnn+1σn+1~N(0,1)σn7由于Xn+1−Xnnσn+1~N(0,1),XnXn+1−Xnn故n+1−Xnσn+1n+1S=).nSn/σ~N(0,1Xn+1−Xnn =σn+1=u(n−1)S2nχ2~t(n−1)n−1由于X2σ2n+1与Sn相互独立,n−1故u与χ2相互独立.(n−1)S2σ2~χ2(n−1)§6 F分布 F distribution定义 设X~χ2(n1),Y~χ2(n2),X与Y相互独立,称随机变量F=X/n1Y/n2服从第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布,记作F~F(n1,n2).易知此时1F=Y/n2X/n~F(n2,n1).1查表P347回答下列问题F0.025(9,6)=?5.52F0.05(8,9)=?3.23F0.975(6,10)=?无课后练习:P158—11,14 (1) 书后有答案.F分布的上α分位点P154设F~F(n1,n2),对于给定的α,(0<α<1),称满足 P(F>Fα(n1,n2))=α的点Fα(n1,n2)为分布F(n1,n2)的上α分位点.f(x)αFα(n1,n2)X性质P154F1−α(n1,n2)=1Fα(n2,n1)于是F0.975(6,10)=1F0.025(10,6)8证明F11−α(n1,n2)=证明:Fα(n2,n1)设F~F(n1,n2),P(F>F1−α(n1,n2))=1−α,则有111F~F(n2,n1),及P(FF)=α1−α(n1,n2)知1F为F(n2,n1)的上α分位点Fα(n2,n1),1−α(n1,n2)即1F,n=F,n1α(n21)，即F1−α(n1,n2)=,n.1−α(n12)Fα(n21)服从F分布的统计量P156 Th6.2 设从两个正态总体N(μσ221,1)和N(μ2,σ2)中分别独立地各抽取一个样本,样本容量分别为n221和n2,样本均值分别为X和Y,样本方差为S1和S2,则S21/σ2F=1S22~F(n1−1,n2−1)2/σ2课后练习P158 14 (2).书后有答案.服从F分布的统计量P155 定理6.1 了解即可证明:利用(n−1)S2σ2~χ2(n−1)~χ2(n1−1)(n1−1)S21S2σ21F=1/σ21n1−1S2/σ2=−1)S222(n22~χ2(n2−1)σ22n2−12由于S22相互独立, =χ1/n1−1~F(n1与S2χ21−1,n2−1)222/n2−1故χ1与χ2相互独立.问题:利用F=S21/σ21S22~F(n1−1,n2−1)，2/σ2求S2 1S2的概率.29例6.1分别独立地从正态总体N(μ1,4)和N(μ2,2)中抽取容量为10和9的样本,样本方差分别为S221和S2.2求P(0.3663.39)=?因为F0.05(9,8)=3.390,故P(F>3.39)=0.05.f(x)0.1833.39X22解:利用F=S1/σ1S2σ2~F(n1−1,n2−1)2/2由于F=S21/4S2S22=12S2~F(9,8),2/2故P(0.3660.183)−P(F>3.39) =0.99−0.05=0.040.1833.39Xf(x)详解若F~F(9,8),P(F>0.183)=?0.1833.39X因为0.183离原点很近,故可设P(F>0.183)=1−α 从而0.183=F11−α(9,8)=F9),α(8,故Fα(8,9)=10.183=5.47,查表得α=0.01.从而P(F>0.183)=1−α=0.99.10
