分数计算计算(裂项、换元与通项归纳)

竞 赛 班

第一部分 裂项

.74.50.16111118【例1】 计算 () 1133.753.23153563379161111118290 ＝()

11331.2580.413355779371111111111 ＝46()

11312213355779323318 ＝

1242923 ＝

36

365791113【例2】计算 ＋＋＋＋＋＋

57612204230361111111111 ＝＋＋（＋）＋（＋）＋（＋） ＋（＋）＋（＋）

572334455667311611111111 ＝（＋＋）＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋＋）

555772443366 ＝4

5791113151719＋－＋－＋－＋

7256906122042301111111111 ＝1－（＋）＋（＋）－（＋）＋（＋）－（＋）

2334455667111111＋（＋）－（＋）＋（＋）

78899101111111111111111 ＝1－－＋＋－－＋＋－－＋＋－－＋＋

7889910233445566711 ＝1－＋

2103 ＝

5【例3】计算1－

1

【例4】计算：（此题用到公式

k11） nnknnk1－＝1－

3102－－……－

12391231011212123234510－－－－……－

4555133661010151111111111＝1－（－）－（－）－（－）－（－）－……－（－）

610361015451355111111111＝1－1＋－＋－＋－＋－……－＋

610101533645551＝ 55

【例5】计算： ﹝

11111﹞－

1200722006n(2008n)2006220071200711111×﹝﹞

20081200622005n(2007n)2005220061＝﹝

1120072200620082006220071﹞×－

20081200722006n(2008n)20062200711120062200520072005220061﹞×

20081200622005n(2007n)2005220061 ﹝

111111111111＝｛﹝＋＋＋＋＋＋……＋＋﹞－﹝＋＋＋

22006320052007220051200711200611111＋＋＋……＋＋﹞｝× 3200420062008112＝× 200720081＝ 2015028

【例6】计算：1223344556677889910________．

11111123234123910118910 33333191011330 3从这个题目我们可以归纳出一般性的结论。

1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋……＋n(n＋1)

2

11111×1×2×3＋(×2×3×4－×1×2×3) ＋(×3×4×5－×2×3×4) ＋……3333311＋ [n(n＋1)(n+2)－(n-1) n(n＋1)]

331 ＝ n(n＋1)(n+2)

3 ＝

11223nn1nn1n2 即：3

另外，例6还有另外一种解法：

根据 nn1n2n 所以

1223344556677889910

121222929 122292129

1191019910 62330

第二部分 换元

【例7】计算（

（

621739458621739458378739458378＋＋）×（＋＋）－（＋＋＋）×126358947126358947207358947207739458＋） 358947739458739458378解：设a＝＋ b＝＋＋

358947358947207621621 原式＝（＋a）b－（＋b）a

126126621621 ＝ b＋ab－ a－ab

126126621378 ＝× ＝9

126207

【例8】计算

111111111 （1＋＋＋……＋）×（＋＋……＋）－（1＋＋＋……＋）

232007232008232008111×（＋＋……＋）

232007111111解： 设a＝＋＋……＋ b＝＋＋……＋

232007232008 原式＝（1＋a）×b－（1＋b）×a ＝b＋ab－a－ab

3

＝b－a ＝

1 2008第三部分 通项归纳

121231234123450×××……× 223234234501(1n)n1234nn(n1)⑴归纳通项公式an＝＝2＝

1234n(n1)(n2)(2n)(n1)2121231234123450⑵ ×××……×

22323423450233450514556＝××××……× 144952253647324354505165＝××××……× 14495225364775350＝×＝ 12652【例9】计算

1111＋＋＋……＋ 12122312233412233491031⑴归纳通项公式an＝＝

n(n1)(n2)n(n1)(n2)31111⑵ ＋＋＋……＋

1212231223341223349103333 ＝＋＋＋……＋

12323434591011111111311＝×﹝－＋－＋－＋……＋－﹞ 2910101112232334344531811 ＝×﹝－﹞＝

2121011110【例10】计算

附加题

【例1】计算：13－13221122223＋13223322123233－1322343322212343＋……＋13222632212263

⑴归纳通项公式an＝132n2n321n(n1)(2n1)211＝26＝×（＋） 23nn1n(n1)44

⑵ 13－1322112223＋132233221233－1322343322212343＋……＋13222632212263

121111111×｛（＋）－（＋）＋（＋）－……－（＋）｝ 3334262712221＝×（1－） 32722652＝×＝ 32781＝

【例2】计算：＝＝

35124＋＋＋……＋

124523563467101113141234532＋

2345642＋

3456752＋……＋

1011121314122

15416427410144＋＋＋……＋

12345234563456710111213141516271014＝（＋＋＋……＋）＋

12345234563456710111213144444（＋＋＋……＋） 1234523456345671011121314111144＝（＋＋＋……＋）＋（＋

234345456111213123452345644＋＋……＋） 345671011121314111111111＝×﹝－＋－＋－＋……＋－﹞＋

23343456111212134545211111﹝－＋－＋……＋－ 1234234523453456101112131﹞

1112131411111＝×﹝－﹞＋﹝－﹞

23121312341112131421111＝－＋－ 1221213241112131475＝ 616

与竞赛零距离

计算：1155×﹝

571719＋＋……＋＋﹞

234345891091011 5

⑴归纳通项公式an＝⑵ 1155×﹝

n(n1)11＝＋ （n=2、3、4、…、9）

n(n1)(n2)(n1)(n2)n(n2)571719＋＋……＋＋﹞ 234345891091011111111＝1155×﹝＋＋＋＋……＋＋﹞

342445351011911

1111111＝1155×｛﹝＋＋＋……＋﹞＋﹝＋＋……＋﹞｝

344556101191124351111111＝1155×｛﹝－﹞＋﹝－＋－﹞×｝

31121031122188＝1155×｛＋﹝＋﹞×｝

52333331＝1155×

55＝651

家庭作业

11111＋＋＋＋ 10408815423811111 ＝＋＋＋＋

25588111114141711111111111 ＝×（－＋－＋－＋－＋－）

2558811111414173111 ＝×（－）

2173115 ＝×

3345 ＝

341、

193257111019＋＋＋

45782124353201111111325712 ＝＋＋＋＋＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋（＋）

457835345738711111322571 ＝ ×3＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋）＋（＋）

455788345772、 ＋＋＋＋＋

＝1＋1＋1＋1＋1 ＝5

6

3、

132－1＋

152－1＋

1

72－1＋

1

92－1＋

1112－1＋

1132－1

＝1124＋46＋111168＋810＋1012＋1214

＝（112－4＋111111111114－6＋6－8＋8－10＋10－12＋12－14）×2

＝（12－114）×12

＝61314×2 ＝14

4、(2008年西城实验考题)233445100101 ．

分析：本题可以直接采用结论，1223nn113nn1n2，则

原式1223344510010112

131001011022 343398

5、(10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)________．用换元法。令10.120.23a，0.120.23b，则

原式ab0.34a0.34b

ab0.34aab0.34b

0.34ab0.3410.34

6、13＋135＋1357＋……＋135721

解：先推导出通项公式。 ɑɑa111n＝357(2n1)＝2n13n2＝nn2

原式＝

111113＋124＋35＋146＋……＋911＋1012

＝（11111113＋35＋……＋911）＋（24＋46＋……＋1012）

＝111112×（1－11）＋2×（2－12）

＝1102×11＋12×512 ＝175264

7