时间序列及时间序列模型

1. 时间序列与时间序列模型 2. 序列的平滑，移动平移法 3. 趋势分量 4. 循环分量 5. 季节分量 6. 不规则分量

12.1 时间序列与时间序列模型

时间序列：变量随时间变化，按等时间间隔所取得的观测值序列，称时间序列。

Y： {y1，y2，…，yn}

时间间隔可以是一年，一月，一天，一小时等等。时间序列取值有两种方式。

（1）yt取观测时间点处的瞬时值，如：某城市每日中午的气温值。仓库月末的存储量。每年7月1日的人口数。每年开学学生在册人数。

（2）yt取相邻时间点期间的累积值。如：每年工农业总产值，某商场月销售额，年钢产量，年粮食产量。年某类商品贸易额。 上述时间序列取值有一个特点，即是离散型时间序列。当然也有连续型时间序列，如心电图，工业供电仪表记录结果，这里只讨论离

1

散型时间序列。

18001600140012001000800600197119721973197419751976Y2400220020001800160014001200Stock of shenzhen1000

100200300400500600

图12.1a 摩托车月注册数时间序列（file:TCSI） 图12.1b 深圳股市收盘价序列（file:stock）

0.8020.750.700-2-40.650.60-6DJPY-86000.558082848680929496980002

70080090010001100120013001400

图12.1c 中国物价指数（file:b1c1） 图12.1d 日元兑美元汇率收益率（file:jpyen）

对于时间序列，我们将主要讨论两类问题：（1）序列由何种成分组成，怎样分离出这些成分。（2）怎样用观测到的数据去预测未来。 时间序列通常认为含有四种成分（见380页）。

（1）长期趋势（Long term trend），T。描述序列中长期运动趋势 （2）循环分量（Cyclical component），C。描述序列中不同幅度的扩张与收缩，且时间间隔不同的循环变动。经济问题中常指一年以上的起伏变化。

2

1800TREND1600Y1.101.051400120010000.951.008006001971CYCLE0.90197119721973197419751976

19721973197419751976

图12.2 趋势分量 图12.3循环分量

（3）季节分量（Seasonal component），S。描述序列中一定周期

的重复变动，周期常为一年，一季，一周等。

（4）不规则分量（Irregular component），I。描述随机因素引起的变动，常带有偶然性由于各种因素引起变化相互抑制抵消，变动幅度常较小。

1.4Seasonal factor1.21.01.1Iregular factor1.00.90.80.80.61971197219731974197519760.7

197119721973197419751976

图12.4季节分量与不规则分量（S I）

经典的时间序列模型有两种： （1）加法模型 Y = T + S + C + I （2）乘法模型 Y = T S C I

对于一个时间序列，采用哪种模型分析，取决于各成分之间关系。一般来讲，若4种成分是相互的用加法模型，若相互有关联用乘法模型，对于社会经济问题主要使用乘法模型。下面介绍对时间序列

3

的分解。

12.2 序列的平滑（Smoothing），移动平均法（Method of Moving average）（求TC）

平滑是研究时间序列的一个基本方法，用它来平抑或削弱时间序列中的波动变化，从而获得序列变化趋势的信息。

平滑一组数据常用的方法为移动平均法。该方法是求原序列的一个k项平均数序列，

ytyt1...ytk1k, t = 1, 2, …, T- k +1

如3项平均，5项平均等。这样用k项平均数组成的新序列抑制和削弱了原序列中的波动性。这可以从下面一个例子中很好地反映出来。

具体计算见例12.1。

例12.1 某公司1967年至1981年各年利润如下表，并对其作5项平均

年 196

7 1968 1969 1970 1971 197

利润平均（Y） 值 2 4 5 7 8 6

5.2 6.0 6.8 8.0

4

5项移动平均

=24578

5=45786

5

2 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981

1800MA160014001200100080060019718 11 13 14 11 14 18 20 23

9.2 10.4 11.4 12.6 14.0 15.4 17.2

Y19721973197419751976

图12.3 序列的平滑

k的选择：从图上可以看出，k值越大平滑的效果越好。但损失掉的项数（k - 1）也越大，所以要在保持足够的数据与消除波动之间做出选择，一般取k与循环波动周期相一致，这样可有效地抑制循环变化。

当k为偶数时，如做12个月平均，4项平均等。则算出的平均数

5

只能对应在中心两项之间，这样很不方便，于是每两项再平均一次称作“中心化移动平均”（Centered moving average）

例12.2：

Yi 2

6 4 8 6 7 2

当k为偶数时，目前移动平均的最新计算公式是 MAt = MAt = 度数据）

序列平滑只是部分消除S，C，I变动，不一定是全部。移动平均MA一般是T和C分量的乘积。

MA = TC

注意：移动平均法在消除原有循环变化同时，有可能引入新的不存在的循环变化。

12.3趋势分量、循环分量、季节分量、不规则分量的求法 12.3.1趋势分量

求出移动平均序列，即TC，下一步确定趋势分量T (trend)。在

6

4项平均

5.0 6.0 6.25 5.75

4项中心化移动

平均

5.5 6.13 6.0

0.5Yt2Yt1YtYt10.5Yt2，

4 （用于季节数据）

0.5Yt6Yt5Yt4Yt3Yt2Yt1YtYt1Yt2Yt3Yt4Yt50.5Yt6，（用于月

12求趋势T之前，首先要观察趋势特征。这可以通过对原时间序列Y或移动平均序列TC观察，而获得初步信息。趋势可分为线性和非线性两种。以线性趋势为例介绍趋势分量T的求法。用移动平均TC对时间t回归，模型是

TC = 0 + 1 t + u。

则TC的拟合值TC就是趋势分量T。

ˆ= TC+uˆ TC =ˆ0+ˆ1t +u其中T =

ˆtˆ+TC=01

上例中的趋势显然是线性的，用回归分析方法求趋势如下，

T = TC= 0.73 + 1.29（t - 1966）， （t = 1967……1981）

根据实际情况，也可以用非线性回归求趋势。在非线性趋势中有一种可用Gompertz曲线描述。其形式是 Y = b0b1b2xt （0 b1  1，0 b2  1）

10.80.60.40.200102030405060 图12.5 Gompertz曲线

一项新技术或一种新产品的推广过程都属于这种类型。当b0事先已知时（根据实际问题可以预估），上式可变换为，

7

Y/ b0 =

b1b2xt，

b2xtLn (Y/ b0) = Ln b1 （把Gompertz曲线画在半对数格

纸上就是指数曲线。）

Ln(Ln (Y/ b0)) = xt Lnb2 + Ln(Ln (b1))， （Ln(Ln (Y/ b0)) 与

xt 是线性关系。）

除了上述线性和Gompertz方法求趋势外，还可以用虚拟变量方法、指数模型、对数模型、抛物线模型、滞后变量模型、分布滞后模型、差分模型以及广义差分模型进行趋势预测。

20615105000.511.522.5332

050100150200 图12.6 指数模型 图12.7 对数模型

13513012512011511010510000.511.5214000120001000080006000400020000

020406080 图12.8 双曲线模型 图12.9 多项式模型

12.3.2循环分量(C)

8

用移动平均法平滑序列，所得结果为趋势循环分量TC。用回归法求出趋势分量T。用T除TC得循环分量C。

C =

TCT

12.3.3季节分量(S)

在时间序列中含有季节分量是很常见的，如四季气候变化引起人们社会经济生活的一定变动，风俗习惯也呈现季节性变动（如春节期间肉销量大增）。季节分量常用季节指数（Seasoned index）表示，例如：S =1.04表示由季节因素影响，时间序列值Y约高出平均值4%，S = 0.93，序列值低于平均值7%。求季节性指数可分三步进行。 （1）用移动平均法平滑序列，所得结果为趋势循环分量TC。 （2）用趋势循环分量TC除序列值Y，得季节不规则分量，Y / TC = S I。

（3）用S I分量相同期的全部值求平均数，有时也可以用这些全部值的中位数（这样可以避免极端不规则值的影响）作为季节因子S的初步值。由于季节因子必须在一年内求得平衡，所以乘法模型中的季节因子的平均值应改为1。因为季节因子S的初步值的平均值通常不能保证为1，所以需要作最后调整。通过下表具体说明之。

表1 季节因子的调整方法

9

年

1976 1977 1978 1979 1980 1981

3.9988 中位数

4.0000 季节因

子

平均数 0.45996 1.026 1.78184 0.73244 4.00088 季节因0.45986 1.021 1.78145 0.73228 4.00000 子

注：（1）通过中位数求季节因子方法的调整因子是4.0000/3.9988=1.0003。例如第1季度季节因子0.4520的计算公式是SF1 = 0.45191.0003 = 0.4520。其余3个季节因子SF2、SF3、SF4的计算方法以此类推。

（2）通过平均数求季节因子方法的调整因子是4.0000/4.00088=0.99978。例如第1季度季节因子0.4520的计算公式是SF1 = 0.459960.99978 = 0.45986。其余3个季节因子SF2、SF3、SF4的计算方法以此类推。

季节分量（季节因子、季节指数）序列常用来评价一个具体时期与平均水平的差别。例如第3季度季节因子1.78的含义是第3季度的值平均高出年平均水平78%。

注意：若Y是年度数据，则Y中不含季节分量。 12.3.4不规则分量

不规则分量求法：用S除S I，可求出I。

时间序列的季节不规则混合分量值

1 2 3 4 1.8021 0.7117 0.4519 1.0461 1.7986 0.72 0.4680 0.9982 1.7724 0.7706 0.4333 1.0363 1.74 0.7496 0.4478 1.0402 1.7817 0.7014 0.4988 1.0124 0.4519 1.0363 1.7817 0.72 0.4520 1.0370 1.7820 0.7290

10

I =

SIS

12.4 用T与S相结合的方法对时间序列Y进行预测

用回归函数预测T，再与S相乘，即可用来预测Y。例如预测t +1期Y的值，

ˆt +1 = Tt +1 St+1 Y12.5 调整的时间序列（非季节时间序列） YSA = Y / S

YSA是从Y中剔除了季节分量（因子），所以称其为调整的时间序列。西方常发布这种数据。

12.6 案例分析（加拿大月人口出生数序列，1973-1983，file:birth） 加拿大月人口出生数（Yt）序列（1973:1-1983:12，见图12.10）存在非常明显的周期性变化规律。每年都是10-12月份出生人口数低，而其他月份出生人口数高。下面用时间序列乘法模型对加拿大月人口出生数序列进行分析与预测。

34000births of Canada320003000028000260007374757677787980818283

图12.10 加拿大月人口出生数序列（file:birth）

（1）求12期移动平均（见图12.11）

11

TC

12=

,

MAt =

0.5Yt6Yt5Yt4Yt3Yt2Yt1YtYt1Yt2Yt3Yt4Yt50.5Yt6

(t = 1973:1-1983:12)

34000TC32000Y3200034000trendY3000030000280002800026000737475767778798081828326000

7374757677787980818283

图12.11 原序列和12个月移动平均(TC) 图12.12 原序列和线性趋势(T)

（2）用TC对t回归，得到趋势分量T（见图12.12）。 T =TC= 28787.4 + 20.53 t， (1973:7-1983:6，1973:1，t = 1)

(512.4) (27.4) R2 = 0.86

TC的

Eviews计算方法是TC= TC -

ˆt。对于本例，也可以用对数函数u求趋势（见图12.13）。

T =TC= 26012.65 + 1034.76 Ln t， (1973:7-1983:6，1973:1，t = 1)

(211.7) (34.2) R2 = 0.91

（3）用T除TC，得到循环分量C（见图12.14）。

C =

TCT

12

34000TREND32000Y1.101.081.061.04CYCLE300001.021.00280000.980.962600073747576777879808182830.947374757677787980818283

图12.13 原序列和对数函数趋势（T）

图12.14 循环分量（C）

（4）用TC除Yt，得到季节不规则分量S I（见图12.15）。 S I = Yt / TC

1.10SI1.051.000.950.900.857374757677787980818283

图12.15 季节不规则分量（S I）

求S I中所有同期项的平均数。例如把S I中所有1月份的值相加求平均数。得S的一个循环周期如下（一年一个循环周期）， 0.967910, 0.919653, 1.049022, 1.025577, 1.0538, 1.012695, 1.044937,

1.020500,

1.018503, 1.001330, 0.940528, 0.956525

其中0.96791说明时间序列Y值在1月份平均比总平均值低3.2%，

13

1.049说明时间序列Y值在3月份平均比总均值低4.9%。12个周期拼接在一起就是S序列（见图12.16）。

（5）用S除S I，得到不规则分量I（见图12.17）。

I =

SI S1.10S1.051.000.950.90731.06Irregular1.041.021.000.980.960.9474757677787980818283

7374757677787980818283 节

分

量

图

图12.17 不规则分量

12.16 季

（6）求调整的时间序列YSA YSA = Y / S

由于剔除了季节分量（因子），YSA的波动幅度比原序列减少了很多。

14

34000Y3200032000YSA31000300003000029000280002800026000737475767778798081828327000

7374757677787980818283

图12.18 Y 图

12.19 调整的Y（非季节的Y） 附部分运算结果如下：

上表中必有下式成立。

Y = TREND  CYCLE  SEASON  IRRE 下面用T S分量预测。预测式是

ˆT +1 = TT +1 ST+1 Y

15

例如，预测1984年1月份的出生人数，若用线性趋势预测

ˆ133 = T133 S1 =28787.4 + 20.53 t =（28787.4 + 20.53 133）Y0.96791 = 30506 若用非线性趋势预测

ˆ133 = T133 S 1 = (26012.65 + 1034.76 Ln t) S1 Y= (26012.65 + 1034.76 Ln (133) ) 0.96791 = 30076

总结时间序列分析步骤如下：

1．通过数据平滑（如k期移动平均）把原序列Y分离为TC 和S I。（数据减少k-1个）

TC =

ytyt1...ytk1k, t = 1, 2, …, T- k +1

2．通过用趋势循环分量（TC）对时间t回归，求出长期趋势T。

T =

ˆt ˆ+TC=01用T除TC，求出循环分量C。（C =

TCT）从而把TC分离为T 和C。

3．用季节不规则分量S I各周期中相同期的值的平均数并进行调整之后作为S分量值。（如对于月度数据有12个S分量值，把它拼接成一个与季节不规则分量S I一样长的一个序列S）

4．用S除季节不规则分量S I，求出不规则分量I。从而把S I分离为S 和I。

I =

SI S5．用T S两个分量对Yt进行预测。

16

第4章 指数（Index number）

4.1 指数定义和类别 4.1.1 指数定义

指数：测量一个变量对一个特定变量的相对比率。

设有序列观测值y1，y2，…，yn 若选yj为特定变量（基期），则第i期指数 I i =

YiY100

j指数作用：用以衡量同一变量在不同时期变化的方向和幅度。76城镇消费者物价指数（1960 = 1）321CHINAJAPAN06065707580859095

图1 城镇消费者物价指数（1960 = 1）

76城镇居民消费水平指数（1960=1）321CHINAJAPAN06065707580859095

图2 城镇居民消费水平指数（1960 = 1）

17

4.1.2 指数简史

指数最初是从物价变动产生的，距今已有200年历史。18世纪，欧洲人发现美洲。于是金银大量从美洲流入欧洲。欧洲物价飞涨，引起社会不安。于是产生了反映物价变化程度的要求，这就产生了物价指数。

历史上最早使用指数的是英国人Vauphan。1675年（康熙14年）Vauphan以1352年为基年比较了1650年的物价。后来指数概念运用到经济领域各个方面。因此，指数的概念和使用范围也扩展了。现在反映各种动态的相对数都叫指数。如物价指数、生产指数、贸易指数、消费水平指数等。

4.1.3 指数分类

按研究对象中所含品种个数分类，指数分为： （1）单一指数（只考虑一类品种）；

（2）综合指数。综合指数又分为简单综合指数（求单一指数的简单平均）和加权综合指数（考虑多类品种，求单一指数的加权平均）。

按基准点指数分为：

（1）定基指数（以固定时期为基期）； （2）环比指数（逐次以上一时期为基期）

表1 中国定基物价指数，环比物价指数 年

中国定基物价中国环比物价

指数 指数

18

1952 1953 19 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 19 1965 1966

3.5 1.000000 1.0353 1.058081 1.068182 1.068182 1.085859 1.088384 1.098485 1.133838 1.315657 1.366162 1.2853 1.237374 1.2045 1.202020 1.000000 1.0353 1.021951 1.0097 1.000000 1.0168 1.002326 1.009281 1.032184 1.160356 1.038388 0.940850 0.962672 0.973469 0.997904

定基物价指数3.02.52.01.51.00.5环比物价指数

5560657075808590

图3 中国定基物价指数，环比物价指数

按性质分为： （1）价格指数； （2）数量指数。 4.2 指数计算 （1）单一指数

例1：我国1983年至1988年国民收入为

19

时期

国民收入 （亿元） 4736 5652 7040 79 9361

定基指数 （以1983年为基期）

473736环比指数 （以上一年为基期）

565247361983 1984 1985 1986 1987 1988

 100 =  100 =

100

56524736 100 =

119.34 119.34 7040 100 = 7040 100

47365652148. =124.56 79 100 = 79 100

47367040166.79 =112.20 9361 100 = 9361 100

473679197.66 =118.51 1177011770 100= 100 11770 47369361248.52 =125.73

基期要选择变量变化比较稳定时期，若没有合适基期可选取若干年平均数为基期。

（2）简单算术平均综合指数

有时要考虑商品类的价格指数。如蔬菜价格指数，要包括很多种蔬菜。

例3：现有三种家庭常用食品的价格与年消耗量。

1965 1975 商 价格（分/消 耗 价格（分/消 耗 品 单位） 量 单位） 量 26.7 360 37.1 350 牛奶（升） 12.3 80 20.3 90 面粉

20

（磅） 土豆（磅）

11.1 160 20.5 175 则以1965年为基期，1975年为报告期的3个单一价格指数为： I牛奶 = I面粉 = I土豆 =

37.126.7 100 = 138.95

20.3 100 = 165.04 12.320.5 100 = 184.68 11.1 则关于这3种商品的简单综合指数，即是计算简单算术平均。 I =

138.9165.04184.68= 162.87

3（3）简单几何平均综合指数（不讲）

（4）加权平均综合指数：（加权平均价格综合指数，加权平均数量综合指数）

① 加权平均价格综合指数：

由于算术平均综合指数没有考虑到销售额的影响，所以反映问题的实质不很准确。现已不常用。常用的为拉氏Laspeyres（18年德国人）指数和（Paasche）派氏（1874年德国人）指数。

拉氏价格指数是以基期销售量（或产值）为权数求综合价格指数。 I =

QPQP0n00 100 （拉氏价格指数）

其中：P0，Pn分别为基期、报告期的价格。Q0为基期的销售量。

派氏价格指数以报告期销售量（或产值）为权数求综合价格指数。

QnPn I = 100 （派氏价格指数）

QPn0 21

其中：P0，Pn分别为基期、报告期的价格。Qn为报告期的销售量。 例4：某地区粮食销售资料如下。求拉氏价格综合指数和派氏价格综合指数。

1965 1975 商 价格（元/销售量价格（元/销售量品 斤） （万斤） 斤） （万斤） 0.20 500 0.23 450 大 米 0.25 200 0.24 300 面 粉 0.15 50 0.16 55 玉米面

拉氏价格综合指数： Ip =

5000.232000.24500.16 100 = 108.57

5000.202000.25500.15派氏价格综合指数： Ip =

4500.233000.24550.16 100 = 106.38

4500.203000.25550.15例5：求如下3种商品的拉氏价格综合指数和派氏价格综合指数。

1965 1975 商 价格（分/消 耗 价格（分/消 耗 品 单位） 量 单位） 量 26.7 360 37.1 350 牛奶（升） 12.3 80 20.3 90 面粉（磅） 11.1 160 20.5 175 土豆（磅） In =

36037.18020.316020.5 100 = 147.6

36026.78012.316011.1 22

In =35037.19020.317520.5 100 = 148.4

35026.79012.317511.1拉氏，派氏指数各有不同作用。以价格指数为例，拉氏指数的特点是（1）计算方便，因不必收集报告期消耗量，只收集报告期价格即可。（2）因以基期销量为权，各报告期指数具有可比性。派氏指数的特点是，各报告期指数只能与基期相互比，与其它期相比无可比性。

当价格有上升趋势时，人们常多买一些价格低的商品，少买价格高的商品。这时拉氏指数要比实际值偏高，而派氏指数要比实际值偏低。为克服这个不足之处，Fisher又给出了理想价格指数（Fisher ideal price index）。 I =

拉氏指数派氏指数=147.6148.4= 148

② 加权平均数量综合指数：

拉氏数量指数是以基期价格为权数求综合数量指数。

P0Qn I = 100 （拉氏数量指数）

PQ00派氏数量指数是以报告期价格为权数求综合数量指数。 I =PnQnPnQ0 100 （派氏数量指数）

例6：求如下3种商品的拉氏数量综合指数和派氏数量综合指数。

1965 1975 商 价格（元/销售量价格（元/销售量品 斤） （万斤） 斤） （万斤） 0.20 500 0.23 450 大 米 0.25 200 0.24 300 面 粉 0.15 50 0.16 55 玉米面

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拉氏数量综合指数： Ip =

4500.203000.25550.15 100 = 110.

5000.202000.25500.15派氏数量综合指数： Ip =

4500.233000.24550.16 100 = 107.78

5000.232000.24500.16（5）加权平均指数：

① 加权算术平均指数（价格加权算术平均指数，数量加权算术平均指数）

若单种商品的价格指数为Pn/P0，则n种商品的价格加权算术平均指数为（wi为权数），

IP =

nPiPiwi0iwi

若单种商品的数量指数为Pn/P0，则n种商品的数量加权算术平均指数为（wi为权数），

IQ =

Qn

Qwii0iwi

i

4.3 指数的作用

（1）综合反映事物的变动方向和变动程度。因指数是无量纲的百分数，所以通过大于或小于100可知变化方向，通过比100大多少，小多少可知变动程度。

（2）研究事物长时间内变动趋势在连续编制的指数序列中，可反映事物发展变化趋势，这特别适用于有联系而性质又不同的数列之

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间的变动关系，解决了这种不可比的困难。如前面给出的中日居民消费水平指数。

我国现用的综合指数有：居民消费价格指数、商品零售价格指数（由500余种商品零售价格计算而成）、农产品收购价格指数、工业品出厂价格指数等。 4.4 基期的选择：

（1）基期应选择比较稳定的时期，如1950，1957，1965，1978等。

（2）基期的长短，变化快的取短些，否则取长些。 （3）基期不宜离开报告期太远。 4.5 基期变换与指数序列的拼接

当出于研究需要，要变换指数序列基期时，不需要重新用公式计算指数，只用新定基期的指数值去除指数序列即可。

例7：物价指数基期的变换

年 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 19

物价指数 物价指数 物价指数 （1978年为（1990年为（1978年为基期） 基期） 基期） 1.000 1.000 1.019 1.019 1.081 1.081 1.106 1.106 1.127 1.127 1.143 1.143 1.176 1.176 1.280 1.280 1.357 1.357 1.456 1.456 1.724 1.724 2.031 2.031

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1990 1991 1992 1993

2.075 1.000 1.029 1.085 1.228 2.075 2.135 2.251 2.8 4.6 国内外主要指数：

1．全国零售物价总指数。

全国零售物价总指数是对500种商品采用固定权重的加权算术平均价格指数

PnPwii0iwiiIP =

其中权数是固定不变的。

2．消费者物价指数（中国2000年起发布）

消费者物价指数是美国劳工部编制的零售物价指数，公式为， I =PnQtP0Qt

此公式是变形的拉氏物价指数。其特点是数量权数的基期与价格基期不同。一个是t期（Qt），一个是0期（P0）。

3．上证（深证）股票价格指数，恒生（hang seng）指数 其计算公式为， I =PnQ0P0Q0 100

其中Pn表示当日样本股票的收盘价。P0表示基期样本股票的收盘价。Q0表示基期样本股票的发行股数。

3．道琼斯工业股价平均指数（down jones industry average） 道琼斯工业股价平均指数是入选的30种股票价格的简单平均

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数。

I =i1

Pi3030

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