11 光 学 习题解答

第十一章 光 学

11-1 在双缝干涉实验中，若单色光源S 到两缝S1 、S2 距离相等，则观察屏

上中央明条纹位于图中O 处，现将光源S 向下移动到图中的S′位置，则（ ）

（A） 中央明纹向上移动，且条纹间距增大

（B） 中央明纹向上移动，且条纹间距不变

（C） 中央明纹向下移动，且条纹间距增大

（D） 中央明纹向下移动，且条纹间距不变

分析与解 由S 发出的光到达S1 、S2 的光程相同，它们传到屏上中央O 处，光程差Δ＝0，形成明纹．当光源由S 移到S′时，由S′到达狭缝S1 和S2 的两束光产生了光程差．为了保持原中央明纹处的光程差为0，它会向上移到图中O′处．使得由S′沿S1 、S2 狭缝传到O′处的光程差仍为0．而屏上各级条纹位置只是向上平移，因此条纹间距不变．因此正确答案为（B）．

...

...

题11-1 图

11-2 如图所示，折射率为n2 ，厚度为e 的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n1 和n3，且n1 ＜n2 ，n2 ＞n3 ，若用波长为λ的单色平行光垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束的光程差是（ ）

A2n2eB2n2e2C2n2eD2n2e2n2

题11-2 图

分析与解 由于n1 ＜n2 ，n2 ＞n3 ，因此在上表面的反射光有半波损失，下表面的

...

...

反射光没有半波损失，故它们的光程差确答案为（B）．

2n2e2，这里λ是光在真空中的波长．因此正

11-3 如图（a）所示，两个直径有微小差别的彼此平行的滚柱之间的距离为L，夹在两块平面晶体的中间，形成空气劈形膜，当单色光垂直入射时，产生等厚干涉条纹，如果滚柱之间的距离L 变小，则在L 范围内干涉条纹的（ ）

（A） 数目减小，间距变大 （B） 数目减小，间距不变

（C） 数目不变，间距变小 （D） 数目增加，间距变小

题11-3图

分析与解 图（a）装置形成的劈尖等效图如图（b）所示．图中 d为两滚柱的直径差，

b 为两相邻明（或暗）条纹间距．因为d 不变，当L 变小时，θ 变大，L′、b均变小．由

图可得sinn/2bd/L，因此条纹总数NL/b2d/n，因为d和λn 不变，所以N 不

...

...

变．正确答案为（C）

11-4 在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为λ的单色光垂直入射在宽度为3λ的单缝上，对应于衍射角为30°的方向，单缝处波阵面可分成的半波带数目为（ ）

（A） 2 个 （B） 3 个 （C） 4 个 （D） 6 个

分析与解 根据单缝衍射公式

λ暗条纹2k 2bsinθk1,2,...2k1λ 明条纹 2

因此第k 级暗纹对应的单缝波阵面被分成2k 个半波带，第k 级明纹对应的单缝波阵面被分成2k ＋1 个半波带．由题意bsin3/2，即对应第1 级明纹，单缝分成3 个半波带．正确答案为（B）．

11-5 波长λ＝550 nm 的单色光垂直入射于光栅常数d ＝1.0 ×10-4 cm 的光栅上，可能观察到的光谱线的最大级次为（ ）

（A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1 分析与解 由光栅方程dsinθ2kλk0,1,...，可能观察到的最大级次为

...

...

kmaxdsinπ/21.82λ

即只能看到第1 级明纹，答案为（D）．

11-6 三个偏振片P1 、P2 与P3 堆叠在一起，P1 与P3的偏振化方向相互垂直，P2与P1 的偏振化方向间的夹角为45°，强度为I0 的自然光入射于偏振片P1 ，并依次透过偏振片P1 、P2与P3 ，则通过三个偏振片后的光强为（ ）

（A） I0/16 （B） 3I0/8 （C） I0/8 （D） I0/4

分析与解 自然光透过偏振片后光强为I1 ＝I0/2．由于P1 和P2 的偏振化方向成45°，所以偏振光透过P2 后光强由马吕斯定律得也成45°，则透过P3 后光强变为

I2I1cos245oI0/4．而P2和P3 的偏振化方向

I3I2cos245oI0/8．故答案为（C）．

11-7 一束自然光自空气射向一块平板玻璃，如图所示，设入射角等于布儒斯特角iB ，则在界面2 的反射光（ ）

（A） 是自然光

（B） 是线偏振光且光矢量的振动方向垂直于入射面

（C） 是线偏振光且光矢量的振动方向平行于入射面

（D） 是部分偏振光

...

...

题11-7 图

分析与解 由几何光学知识可知，在界面2 处反射光与折射光仍然垂直，因此光在界面2 处的入射角也是布儒斯特角，根据布儒斯特定律，反射光是线偏振光且光振动方向垂直于入射面．答案为（B）．

11-8 在双缝干涉实验中，两缝间距为0.30 mm，用单色光垂直照射双缝，在离缝1.20m 的屏上测得中央明纹一侧第5条暗纹与另一侧第5条暗纹间的距离为22.78 mm．问所用光的波长为多少，是什么颜色的光？

d2k1d2 决定，式中d′为双缝到屏的

分析与解 在双缝干涉中，屏上暗纹位置由

x距离，d为双缝间距．所谓第5 条暗纹是指对应k ＝4 的那一级暗纹．由于条纹对称，该暗纹到中央明纹中心的距离

x22.78mm2，那么由暗纹公式即可求得波长λ．此外，因双缝

xdd求入射光波长．应注意两个第5 条暗纹

x22.78mm9。

干涉是等间距的，故也可用条纹间距公式

之间所包含的相邻条纹间隔数为9（不是10，为什么？），故

...

...

解1 屏上暗纹的位置

xd22.782k1k4,x103m2d2，把以及d、d′值代入，可得

λ＝632.8 nm，为红光．

d'22.78xx103md，把9解2 屏上相邻暗纹（或明纹）间距，以及d、d′值代入，

可得λ＝632.8 nm．

11-9 在双缝干涉实验中，用波长λ＝546.1 nm 的单色光照射，双缝与屏的距离d′＝300mm．测得中央明纹两侧的两个第五级明条纹的间距为12.2mm，求双缝间的距离．

分析 双缝干涉在屏上形成的条纹是上下对称且等间隔的．如果设两明纹间隔为Δx，则由中央明纹两侧第五级明纹间距x5 －x-5 ＝10Δx 可求出Δx．再由公式Δx ＝d′λ／d 即可求出双缝间距d．

解 根据分析：Δx ＝（x5 －x-5）/10 ＝1.22×10-3 m

双缝间距： d ＝d′λ／Δx ＝1.34 ×10-4 m

11-10 一个微波发射器置于岸上，离水面高度为d，对岸在离水面h 高度处放置一接收器，水面宽度为D，且Dd,Dh，如图所示．发射器向对面发射波长为λ的微波，

且λ＞d，求接收器测到极大值时，至少离地多高？

分析 由发射器直接发射的微波与经水面反射后的微波相遇可互相干涉，这种干涉与劳埃德镜实验完全相同．形成的干涉结果与缝距为2d，缝屏间距为D 的双缝干涉相似，

...

...

如图（b）所示，但要注意的是和劳埃德镜实验一样，由于从水面上反射的光存在半波损失，使得两束光在屏上相遇产生的光程差为2dsinθλ/2，而不是2dsinθ．

题11-10 图

解 由分析可知，接收到的信号为极大值时，应满足

2dsinθλ/2kλk1,2,...

hDtanDsinD2k1/4d

取k ＝1 时，得hminD/4d．

11-11 如图所示，由光源S 发出的λ＝600 nm 的单色光，自空气射入折射率n＝1.23的一层透明物质，再射入空气．若透明物质的厚度为d ＝1.0 cm，入射角θ ＝30°，且SA ＝BC ＝5.0cm，求：（1） 折射角θ1 为多少？ （2） 此单色光在这层透明物质里的频率、速度和波长各为多少？ （3） S 到C 的几何路程为多少？光程又为多少？

...

...

解 （1） 由折射定律

sinnsin1可得

sin30osino1arcsin24arcsin1.23n

（2） 单色光在透明介质中的速度vn ，波长λn 和频率ν 分别为

c2.44108ms1nλλn4.88107m488nmncv5.01014Hzn vn（3） S 到C 的几何路程为

dBC0.111mcos1SCSAABBCSA

S 到C 的光程为

nDSA1ABnBC10.114m

ii...

...

题11-11 图

11-12 一双缝装置的一个缝被折射率为1.40的薄玻璃片所遮盖，另一个缝被折射率为1.70 的薄玻璃片所遮盖．在玻璃片插入以后，屏上原来中央极大的所在点，现变为第五级明纹．假定λ＝480nm，且两玻璃片厚度均为d，求d 值．

题11-12图

...

...

分析 本题是干涉现象在工程测量中的一个具体应用，它可以用来测量透明介质薄片的微小厚度或折射率．在不加介质片之前，两相干光均在空气中传播，它们到达屏上任一点P 的光程差由其几何路程差决定，对于点O，光程差Δ＝0，故点O 处为中央明纹，其余条纹相对点O 对称分布．而在插入介质片后，虽然两相干光在两介质薄片中的几何路程相同，但光程却不同，对于点O，Δ≠0，故点O 不再是中央明纹，整个条纹发生平移．这时，干涉条纹空间分布的变化完全取决于光程差的变化．因此，对于屏上某点P（明纹或暗纹位置），只要计算出

插入介质片前后光程差的变化，即可知道其干涉条纹的变化情况．

插入介质前的光程差Δ1 ＝r1 －r 2 ＝k1 λ（对应k1 级明纹），插入介质后的光程差Δ2 ＝[（n1－1）d ＋r1 ］－[（n2 －1）d ＋r2 ］＝k2 λ（对应k2 级明纹）．光程差的变化量为

Δ2 －Δ1 ＝（n2 －n1 ）d ＝（k2 －k1 ）λ

式中（k2 －k1 ）可以理解为移过点P 的条纹数（本题为5）．因此，对于这类问题，求解光程差的变化量是解题的关键．

解 由上述分析可知，两介质片插入前后，对于原中央明纹所在点O，有

21n2n1d5

将有关数据代入可得

...

...

d58.0μmn2n1

11-13 白光垂直照射到空气中一厚度为380 nm 的肥皂膜上．设肥皂的折射率为1.32．试问该膜的正面呈现什么颜色？ 背面呈现什么颜色？

分析 这是薄膜干涉问题，求正面呈现的颜色就是在反射光中求因干涉增强光的波长（在可见光范围），求背面呈现的颜色就是在透射光中求干涉增强（即反射减弱）光的波长．

解 根据分析对反射光加强，有

2ne/2kk1,2,...

4ne/2k1

在可见光范围，k ＝2 时，668.8nm（红光）

k ＝3 时，401.3nm（紫光）

故正面呈红紫色．同理，对透射光加强，有

2ne ＝kλ （k ＝1，2，…）

在可见光范围仅有k＝2 时，λ＝501.6 nm（绿光）．即背面呈绿色．

...

...

11-14 在折射率n3 ＝1.52 的照相机镜头表面涂有一层折射率n2 ＝1.38的MgF2 增透膜，若此膜仅适用于波长λ＝550nm的光，则此膜的最小厚度为多少？

分析 在薄膜干涉中，膜的材料及厚度都将对两反射光（或两透射光）的光程差产生影响，从而可使某些波长的光在反射（或透射）中得到加强或减弱，这种选择性使薄膜干涉在工程技术上有很多应用．本题所述的增透膜，就是希望波长λ＝550nm的光在透射中得到加强，从而得到所希望的照相效果（因感光底片对此波长附近的光最为敏感）．具体求解时应注意在d>0的前提下，k 取最小的允许值．

解1 因干涉的互补性，波长为550nm 的光在透射中得到加强，则在反射中一定减弱，两反射光的光程差Δ2 ＝2n2 d，由干涉相消条件

4n222k12 ，得

d2k1

取k ＝0，则dmin ＝99.6nm．

解2 由于空气的折射率n1 ＝1，且有n1 ＜n2 ＜n3 ，则对透射光而言，两相干光的光程差

12n2d2，由干涉加强条件Δ1 ＝kλ，得

d2k14n2

取k ＝1，则膜的最小厚度dmin ＝99.6nm．

...

...

11-15 利用空气劈尖测细丝直径．如图所示，已知λ＝589.3 nm，L ＝2.888 ×10-2m，测得30 条条纹的总宽度为4.259 ×10-3 m，求细丝直径d．

分析 在应用劈尖干涉公式

dL2nb 时，应注意相邻条纹的间距b 是N 条条纹的宽

度Δx 除以（N －1）．对空气劈尖n ＝1．

xN1，则细丝直径为

解 由分析知，相邻条纹间距

bd2nbLN12nx5.75105m

题11-15 图

11-16 集成光学中的楔形薄膜耦合器原理如图所示．沉积在玻璃衬底上的是氧化钽（Ta2O5）薄膜，其楔形端从A 到B 厚度逐渐减小为零．为测定薄膜的厚度，用波长λ＝632.8nm 的HeNe 激光垂直照射，观察到薄膜楔形端共出现11 条暗纹，且A 处对应一条暗纹，试求氧化钽薄膜的厚度．（Ta2O5 对632.8 nm激光的折射率为2.21）

...

...

题11-16 图

分析 置于玻璃上的薄膜AB 段形成劈尖，求薄膜厚度就是求该劈尖在A点处的厚度．由于Ta2O5 对激光的折射率大于玻璃，故从该劈尖上表面反射的光有半波损失，而下表面没有，因而两反射光光程差为Δ＝2ne ＋λ/2．由反射光暗纹公式2ne k ＋λ/2 ＝（2k ＋1）λ/2，k ＝0，1，2，3，…，可以求厚度ek ．又因为AB 中共有11 条暗纹（因半波损失B 端也为暗纹），则k 取10即得薄膜厚度．

解 根据分析，有

2ne k ＋λ/2 ＝（2k ＋1）λ/2 （k ＝0，1，2，3，…）

取k ＝10，得薄膜厚度e10 ＝10λ/2n ＝1.4 ×10-6m．

11-17 如图（a）所示，将符合标准的轴承钢珠a、b 和待测钢珠c 一起放在两块平板玻璃之间，若垂直入射光的波长λ＝580 nm，问钢珠c 的直径比标准小多少？ 如果距离d 不同，对检测结果有何影响？

分析 很显然，如钢珠c 与标准件a、b 相同，则呈现厚度相同的薄膜干涉；如钢珠与标准件不同，则为劈尖干涉．后者有等厚干涉条纹出现，a 与c 之间的条纹分布如图（b）

...

...

所示．由于相邻条纹的厚度差Δd ＝λ/2n．而空气的折射率n≈1，则两钢珠之间的直径差

xN2，式中N 为a 与c 之间的条纹间隔数目（注：条纹数目较多时，也可用条纹数

61目作近似计算），由图（a）知N 约为4．

改变钢珠间的距离d，将钢珠c 移至c′处，如图（c）所示，a 与c′之间条纹数并未改变，但由于相邻条纹间距变小，从而影响观测．

题11-17 图

解 钢珠c 和a、b 的直径不同，则两平板玻璃形成空气劈．由分析得，钢珠c的直径与标准件直径相差

2xN1.81106m

当距离d 稍微改变时，a、b 与c 之间条纹数目未变，故不影响检验结果．

...

...

11-18 折射率为1.60 的两块标准平面玻璃板之间形成一个劈形膜（劈尖角θ 很小）．用波长λ＝600nm 的单色光垂直入射，产生等厚干涉条纹．假如在劈形膜内充满n ＝1.40 的液体时的相邻明纹间距比劈形膜内是空气时的间距缩小Δl ＝0.5 mm，那么劈尖角θ 应是多少？

分析 劈尖干涉中相邻条纹的间距l≈λ/2nθ，其中θ 为劈尖角，n 是劈尖内介质折射率．由于前后两次劈形膜内介质不同，因而l 不同．则利用l≈λ/2nθ和题给条件可求出θ．

解 劈形膜内为空气时，l空/2

l液/2n劈形膜内为液体时，

则由

ll空l液//2n，得

11/n2l1.71104rad

11-19 如图所示的干涉膨胀仪，已知样品的平均高度为3.0 ×10-2m，用λ＝589.3 nm的单色光垂直照射．当温度由17 ℃上升至30 ℃时，看到有20 条条纹移过，问样品的热膨胀系数为多少？

...

...

题11-19 图

分析 温度升高ΔT ＝T2 －T1 后，样品因受热膨胀，其高度l 的增加量Δl ＝lαΔT．由于样品表面上移，使在倾角θ 不变的情况下，样品与平板玻璃间的空气劈的整体厚度减小．根据等厚干涉原理，干涉条纹将整体向棱边平移，则原k 级条纹从a 移至a′处，如图（b）所示，移过某一固定观察点的条纹数目N 与Δl 的关系为出热膨胀系数α．

lN2，由上述关系可得

解 由题意知，移动的条纹数N ＝20，从分析可得

2NlT

...

...

N则热膨胀系数

21.51105lT

11 －20 在利用牛顿环测未知单色光波长的实验中，当用已知波长为589.3 nm的钠黄光垂直照射时，测得第一和第四暗环的距离为Δr ＝4.00 ×10-3 m；当用波长未知的单色光垂直照射时，测得第一和第四暗环的距离为Δr′＝3.85 ×10-3 m，求该单色光的波长．

分析 牛顿环装置产生的干涉暗环半径rkR，其中k ＝0，1，2…，k ＝0，对应牛顿环中心的暗斑，k＝1 和k ＝4 则对应第一和第四暗环，由它们之间的间距

rr4r1R，可知r，据此可按题中的测量方法求出未知波长λ′．

解 根据分析有

rr

故未知光波长 λ′＝546 nm

11-21 在牛顿环实验中，当透镜与玻璃之间充以某种液体时，第10 个亮环的直径由1.40×10-2 m变为1.27 ×10-2 m，试求这种液体的折射率．

分析 当透镜与平板玻璃间充满某种液体（n2 ＞1），且满足n1 ＞n2 ，n2 ＜n3或

n1 ＜n2 ，n2 ＞n3 时，在厚度为d 的地方，两相干光的光程差为

...

2n2d2．由此可推

...

导出牛顿环暗环半径

rkRn21Rrk2n2和明环半径，这里明、暗环半径和充入的介质

折射率n2 有关．有兴趣的读者可自行推导．必须指出，在牛顿环中，若介质不均匀或分析的是透射光而不是反射光，那么关于暗环、明环半径的公式与教材中的公式是不同的，不能随意套用．

解 当透镜与玻璃之间为空气时，k 级明纹的直径为

1dk2rk2kR2 当透镜与玻璃之间为液体时，k 级明纹的直径为

1R2rk2kdk22 解上述两式得

dkn2d1.22k

211 －22 如图所示，折射率n2 ＝1.2 的油滴落在n3 ＝1.50 的平板玻璃上，形成一上表面近似于球面的油膜，测得油膜中心最高处的高度dm ＝1.1 μm，用λ＝600 nm 的单色光垂直照射油膜，求（1） 油膜周边是暗环还是明环？ （2） 整个油膜可看到几个完整的暗环？

...

...

题11-22 图

分析 本题也是一种牛顿环干涉现象，由于n1 ＜n2 ＜n3 ，故油膜上任一点处两反射相干光的光程差Δ＝2n2d．（1） 令d ＝0，由干涉加强或减弱条件即可判断油膜周边是明环．（2） 由2n2d ＝（2k ＋1）λ/2，且令d ＝dm 可求得油膜上暗环的最高级次（取整），从而判断油膜上完整暗环的数目．

解 （1） 根据分析，由

明条纹 k 2n2dk0,1,2,...2k1 暗条纹

油膜周边处d ＝0，即Δ＝0 符合干涉加强条件，故油膜周边是明环．

（2） 油膜上任一暗环处满足

2n2d2k1/2k0,1,2,...

...

...

令d ＝dm ，解得k ＝3.9，可知油膜上暗环的最高级次为3，故油膜上出现的完整暗环共有4 个，即k ＝0，1，2，3．

11-23 把折射率n ＝1.40 的薄膜放入迈克耳孙干涉仪的一臂，如果由此产生了7.0 条条纹的移动，求膜厚．设入射光的波长为589 nm．

分析 迈克耳孙干涉仪中的干涉现象可以等效为薄膜干涉（两平面镜相互垂直）和劈尖干涉（两平面镜不垂直）两种情况，本题属于后一种情况．在干涉仪一臂中插入介质片后，两束相干光的光程差改变了，相当于在观察者视野内的空气劈尖的厚度改变了，从而引起干涉条纹的移动．

解 插入厚度为d 的介质片后，两相干光光程差的改变量为2（n －1）d，从而引起N 条条纹的移动，根据劈尖干涉加强的条件，有2（n －1）d＝Nλ，得d＝ Nλ

N5.154106m2n1

d11-24 如图所示，狭缝的宽度b ＝0.60 mm，透镜焦距f ＝0.40m，有一与狭缝平行的屏放置在透镜焦平面处．若以单色平行光垂直照射狭缝，则在屏上离点O 为x ＝1.4 mm处的点P，看到的是衍射明条纹．试求：（1） 该入射光的波长；（2） 点P条纹的级数；（3） 从点P 看来对该光波而言，狭缝处的波阵面可作半波带的数目．

2，在观察点P 确定（即φ确定）后，

分析 单缝衍射中的明纹条件为

bsin2k1由于k 只能取整数值，故满足上式的λ只可取若干不连续的值，对照可见光的波长范围可

...

...

确定入射光波长的取值．此外，如点P 处的明纹级次为k，则狭缝处的波阵面可以划分的半波带数目为（2k ＋1），它们都与观察点P 有关，φ越大，可以划分的半波带数目也越大．

xd．根据单

解 （1） 透镜到屏的距离为d，由于d ＞＞b，对点P 而言，有缝衍射明纹条件

bsin2k1sin2，有

bx2k1d2

将b、d（d≈f）、x 的值代入，并考虑可见光波长的上、下限值，有

min400nm时,kmax4.75max760nm时,kmax2.27

因k 只能取整数值，故在可见光范围内只允许有k ＝４ 和k ＝３，它们所对应的入

射光波长分别为λ2 ＝466.7 nm和λ1 ＝600 nm．

（2） 点P 的条纹级次随入射光波长而异，当λ1 ＝600 nm时，k ＝3；当λ2 ＝466.7 nm时，k ＝4．

（3） 当λ1 ＝600 nm 时，k ＝３，半波带数目为（2k ＋1） ＝7；当λ2 ＝466.7 nm

...

...

时，k ＝4，半波带数目为9．

题11-24 图

11-25 单缝的宽度b ＝0.40 mm，以波长λ＝589 nm 的单色光垂直照射，设透镜的焦距f ＝1.0 m．求：（1） 第一级暗纹距中心的距离；（2） 第二级明纹距

中心的距离；*（3） 如单色光以入射角i ＝30°斜射到单缝上，则上述结果有何变动．

...

...

题11-25图

分析 对于问题（3）单色光倾斜入射单缝的情况，在入射光到达单缝时，其上下两列边界光线之间已存在光程差bsini（若为光栅，则为dsini），对应等光程的中央主极大将移至点O′（此时φ＝i ＝30°），屏上衍射条纹原有的对称性受到一定的破坏．

如图所示，对于点O′上方的条纹（此时入射光与衍射光位于法线两侧，且φ＞i），满足

明条纹2k1/2 bsinisin 暗条纹k

如令sin1，可求得最大条纹级次km1 ．对于点O 下方的条纹（此时入射光与衍射光位于法线同侧），满足

明条纹2k1/2 bsinisin 暗条纹k

如令sin1，可求得另一侧的最大条纹级次km2 ．对于点O′与O 之间的条纹（此时入射光与衍射光位于法线两侧，但φ＜i），满足

明条纹2k1/2 bsinisin 暗条纹k

需要说明的是，点O′与O之间的条纹与点O下方的条纹属于中央主极大同一侧的各级条纹，不同的是前者k 值较小，后者k 值较大，且k 值在点O附近连续变化．

...

...

解 （1） 由单缝衍射的暗纹条件bsin1k，得暗纹距中心的距离为

1sin1kb，则第一级（k ＝1）

x1ftan1f11.4710-3m

（2） 由明纹条件距中心的距离为

bsin22k12，得

2sin22k12b，则第二级（k ＝2）明纹

x2ftan2f23.6810-3m

在上述计算中，由于k 取值较小，即φ较小，故sintan．如k 取值较大，则应严格计算．

*（3） 斜入射时，中央主极大移至点O′，先计算点O′上方条纹的位置：对于第

b一级暗纹，有

，sin1bsin30osin10.5，该暗纹距中心的距离

ftan1ftanarcsin0.50.580mx1b

对于第二级明纹，有

bsin30osin255，sin20.522b，该明纹距中心的距离

...

...

5ftan2ftanarcsin0.50.583mx22b

再计算O′点下方条纹的位置（由于所求k 值较小，其条纹应在O′与O 之间）：对于第一级暗纹，有

，sin10.5bsin30osin1b，该暗纹距中心的距离

ftan1ftanarcsin0.5575mx1b

对于第二级明纹，有

bsin30osin2550.5，sin222b，该明纹距中心的距离

5ftan2ftanarcsin0.50.572mx22b

讨论 斜入射时，中央主极大移至点O′（此时φ＝i ＝30°），它距中心点O的距离为

x0ftan30o0.577m，由上述计算数据可知，此时衍射条纹不但相对点O 不对称，而且相

对中央主极大的点O′也不再严格对称了．

11-26 一单色平行光垂直照射于一单缝，若其第三条明纹位置正好和波长为600 nm的单色光垂直入射时的第二级明纹的位置一样，求前一种单色光的波长．

分析 采用比较法来确定波长．对应于同一观察点，两次衍射的光程差相同，由于衍射明纹条件

bsin2k12，故有2k1112k212，在两明纹级次和其中一种波长已知

的情况下，即可求出另一种未知波长．

...

...

解 根据分析，将2600nm,k22,k13代入（2k1112k212 ，得

12k2122k11428.6nm

11-27 已知单缝宽度b ＝1.0 ×10-4 m，透镜焦距f ＝0.5 m，用λ1 ＝400 nm和

λ2 ＝760 nm的单色平行光分别垂直照射，求这两种光的第一级明纹离屏中心的距离，以

及这两条明纹之间的距离．若用每厘米刻有1000条刻线的光栅代替这个单缝，则这两种单色光的第一级明纹分别距屏中心多远？ 这两条明纹之间的距离又是多少？

分析 用含有两种不同波长的混合光照射单缝或光栅，每种波长可在屏上独立地产生自己的一组衍射条纹，屏上最终显示出两组衍射条纹的混合图样．因而本题可根据单缝（或光栅）衍射公式分别计算两种波长的k 级条纹的位置x1和x2 ，并算出其条纹间距Δx ＝

x2 －x1 ．通过计算可以发现，使用光栅后，条纹将远离屏中心，条纹间距也变大，这是

光栅的特点之一．

解 （1） 当光垂直照射单缝时，屏上第k 级明纹的位置

2bx2k1f

当λ1 ＝400 nm 和k ＝1 时， x1 ＝3.0 ×10-3 m

当λ2 ＝760 nm 和k ＝1 时， x2 ＝5.7 ×10-3 m

...

...

其条纹间距 Δx ＝x2 －x1 ＝2.7 ×10-3 m

（2） 当光垂直照射光栅时，屏上第k 级明纹的位置为

kfd

x102d3m105m10而光栅常数

当λ1 ＝400 nm 和k ＝1 时， x1 ＝2.0 ×10-3 m

当λ2 ＝760 nm 和k ＝1 时， x2 ＝3.8 ×10-3 m

2xxx1.810m 21其条纹间距

11-28 迎面而来的一辆汽车的两车头灯相距为1.0 m，问在汽车离人多远时，它们刚能为人眼所分辨？ 设瞳孔直径为3.0 m m，光在空气中的波长λ＝500 nm．

分析 两物体能否被分辨，取决于两物对光学仪器通光孔（包括人眼）的张角θ 和光学仪器的最小分辨角θ0 的关系．当θ≥θ0 时能分辨，其中θ＝θ0 为恰能分辨．在本题中

01.22D为一定值，而

ld，式中l 为两灯间距，d 为人与车之间的距离．d 越大或l 越

小，θ 就越小，当θ ＜θ0 时两灯就不能被分辨，这与我们的生活经验相符合．

...

...

l1.22D，此时，人与车之间的距离为 解 当θ ＝θ0时， ddDl4918m1.22

11-29 老鹰眼睛的瞳孔直径约为6 mm，问其最多飞翔多高时可看清地面上身长为5cm的小鼠？ 设光在空气中的波长为600 nm．

解 根据上题的分析：θ0 ＝1.22λ／D．这里D 是鹰的瞳孔直径．而θ ＝L/h，其中

L 为小鼠的身长， h 为老鹰飞翔的高度．恰好看清时θ ＝θ0， 则由L/h ＝1.22λ/D，得

飞翔高度：h ＝LD/（1.22λ） ＝409.8 m．

11-30 一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束中包含有两种波长的光：λ1 ＝440 nm 和λ2 ＝660 nm．实验发现，两种波长的谱线（不计中央明纹）第二次重合于衍射角

φ＝60°的方向上，求此光栅的光栅常数．

分析 根据光栅衍射方程dsink，两种不同波长的谱线，除k ＝0 中央明纹外，同级明纹在屏上位置是不同的，如果重合，应是它们对应不同级次的明纹在相同衍射角方向上重合．故由dsin φ＝kλ1 ＝k′λ2 可求解本题．

解 由分析可知 dsink1k2 得 k/k2/13/2

...

...

上式表明第一次重合是λ1 的第3 级明纹与λ2 的第2级明纹重合，第二次重合是λ1 的第6 级明纹与λ2 的第4级明纹重合．此时，k ＝6，k′＝4，φ＝60°，则光栅常数

dk1/sin3.05106m3.05μm

11-31 用一个1.0mm 内有500 条刻痕的平面透射光栅观察钠光谱（λ＝589nm），设透镜焦距f ＝1.00 m．问：（1） 光线垂直入射时，最多能看到第几级光谱；*（2） 光线以入射角30°入射时，最多能看到第几级光谱；（3） 若用白光垂直照射光栅，求第一级光谱的线宽度．

103dmN分析 （1） 首先确定光栅常数，式中N 为刻痕数，然后由光线垂直照射

光栅时的衍射条件，即可解得结果．

(2) 如同光线倾斜入射单缝一样， 此时光栅衍射的明纹条件改变为dsinisink（详见题11-25 的分析），由于两侧条纹不再对称，令sin1，可求得km1 和km2 两个值，其中一个比垂直入射时的km 值小，另一个比km 值大，因而，在其他条件不变的情况下，倾斜入射时可以观察到较高级次的条纹．

（3） 用白光照射光栅，除中央明纹仍为白光外，其余处出现一系列光谱带，称为光栅光谱．每个光谱带是由同一级次不同波长的明纹依次排列而成．所谓第一级光谱的线宽度是指入射光中最小波长（取min400nm）和最大波长（取max760nm）的第一级明纹在屏上的间距，其余波长的第一级明纹均出现在此范围内．需要指出的是，对于较高级次的光谱会出现相邻光谱间的交错重叠的现象．

...

...

解 （1） 光波垂直入射时， 光栅衍射明纹的条件为dsink，令sin1，可得

dkm3.39

取整数km ＝3，即最多能看到第3级光谱．

（2） 倾斜入射时，光栅明纹的条件为

dsinisink

令sin1，可求得位于中央主极大两侧，能观察到条纹的最大km 值分别为km1 ＝5和km2 ＝1（已取整数值）．故在法线两侧能观察到的最大级次分别为五级和一级．

（3） 白光的波长范围为400 nm ～760 nm，用白光垂直照射时，由dsink可得第一级（k ＝1）光谱在屏上的位置．对应于λ1 ＝400 nm 和λ2 ＝760 nm 的明纹的衍射角为

1arcsin1d;2arcsin2d，利用

tanxf可得明纹的位置为

x1ftan10.2m,x2ftan20.41m

则第一级光谱的线宽度为

xx2x10.21m

...

...

11-32 波长为600 nm 的单色光垂直入射在一光栅上，第二级主极大出现在

sin0.20处，第四级缺级．试问（1） 光栅上相邻两缝的间距是多少？（2） 光栅上狭缝

的宽度有多大？ （3） 在－90°＜φ＜90°范围内，实际呈现的全部级数．

分析 （1） 利用光栅方程dsinbbsink，即可由题给条件求出光栅常数d（即两相邻缝的间距）．（2） 光栅衍射是多缝干涉的结果，也可看成是光透过许多平行的单缝衍射的结果．缺级就是按光栅方程计算屏上某些应出现明纹的位置，按各个单缝衍射计算恰是出现暗纹的位置．因此可以利用光栅方程dsinbbsink和单缝衍射暗纹公

'bsink计算缝宽和屏上缺级的情况，从而求出屏上条纹总数． 式

解 （1） 由题已知k ＝2 时，sin0.20，则由分析可得光栅常数：

dkλλsin6106m6μm

bbsinkk0,1,...（2） 由分析知缺级条件bsinkk0,1,...

则（b ＋b′）／b ＝k／k′＝m，k ＝m k′，即m k′级明纹缺级．

由题意k ＝4 缺级，即（b ＋b′）／b ＝4／k′

b1.5μm当k′＝1 时，m ＝4，b4.5μm，即±4， ±8， ±12，…级缺级．（符合题意）

当k′＝2 时，m ＝2，第±2， ±4， ±6，…级缺级．（第二级已存在，不符合题意，

...

...

舍

去）

当k′＝3 时，

m4,3b4.5μmb1.5μm，第±4， ±8， ±12，…级缺级．（符合题意）

当k′＝4 时，m ＝1，第±1， ±2， ±3， ±4，…级全部缺级．（不符合题意，舍去）

因此，狭缝宽度b 为1.5 μm 或者4.5μm，而缺级只发生在±4， ±8， ±12，…级． （3） 由光栅方程bbsink，可知屏上呈现条纹最高级次应满足

kbb/10，故考虑到缺级，实际屏上呈现的级数为：0， ±1， ±2， ±3，±5， ±6，

±7， ±9，共15 条．

11-33 以波长为0.11 nm 的X 射线照射岩盐晶体，实验测得X 射线与晶面夹角为11.5°时获得第一级反射极大．（1） 岩盐晶体原子平面之间的间距d为多大？ （2） 如以另一束待测X 射线照射，测得X 射线与晶面夹角为17.5°时获得第一级反射光极大，求该X 射线的波长．

分析 X 射线入射到晶体上时，干涉加强条件为２dsin θ ＝kλ（k ＝0，1，2，…）式中d 为晶格常数，即晶体内原子平面之间的间距（如图）．

解 （1） 由布拉格公式2dsinkk0,1,2,...

...

...

第一级反射极大，即k ＝1．因此，得

d1/sin10.276nm

（2） 同理，由2dsinθ2 ＝kλ2 ，取k ＝1，得

2dsin20.166nm

题11-33图

11-34 测得一池静水的表面反射出来的太阳光是线偏振光，求此时太阳处在地平线的多大仰角处？ （水的折射率为1.33）

...

...

题11-34 图

πi2．当反射光起

分析 设太阳光（自然光）以入射角i 入射到水面，则所求仰角偏时，根据布儒斯特定律，有

ii0arctann2n1θ（其中n1 为空气的折射率，n2 为水的折射率）．

解 根据以上分析，有

πnθarctan22n1i0i

则

2arctann236.9on1

11-35 使自然光通过两个偏振化方向相交60°的偏振片，透射光强为I1 ，今在这两个偏振片之间插入另一偏振片，它的方向与前两个偏振片均成30°角，则透射光强为多少？

分析 设入射自然光强为I0 ，偏振片I对入射的自然光起起偏作用，透射的偏振光光

I0强恒为2，而偏振片Ⅱ对入射的偏振光起检偏作用，此时透射与入射的偏振光强满足马吕

斯定律．若偏振片Ⅲ插入两块偏振片之间，则偏振片Ⅱ、Ⅲ均起检偏作用，故透射光强必须两次应用马吕斯定律方能求出．

解 根据以上分析，入射光通过偏振片Ⅰ和Ⅱ后，透射光强为

...

...

1I1I0cos260o2

插入偏振片Ⅲ后，其透射光强为

1I2I0cos230ocos230o2

两式相比可得 I22.25I1

11-36 一束光是自然光和线偏振光的混合，当它通过一偏振片时，发现透射光的强度取决于偏振片的取向，其强度可以变化5 倍，求入射光中两种光的强度各占总入射光强度的几分之几．

分析 偏振片的旋转，仅对入射的混合光中的线偏振光部分有影响，在偏振片旋转一周的过程中，当偏振光的振动方向平行于偏振片的偏振化方向时，透射光强最大；而相互垂直时，透射光强最小．分别计算最大透射光强Imax 和最小透射光强Imin ，按题意用相比的方法即能求解．

解 设入射混合光强为I，其中线偏振光强为xI，自然光强为（1－x）I．按题意旋转

1Imax1xxI2 偏振片，则有最大透射光强

1Imin1xI2 最小透射光强

...

...

按题意Imax/Imin5，则有

11xx511x22

解得 x ＝2/3

即线偏振光占总入射光强的2/3，自然光占1/3．

*11-37 试分别计算用方解石晶体制成的对波长为λ1 ＝589.3nm 的钠黄光和波长

为λ2 ＝546.1nm 的汞灯绿光的1/4波片的最小厚度为多少？

解 1/4 波片的最小厚度d 应满足n0ned/4，而方解石晶体中o 光和e光的折射率分别为n0 ＝1.658 和ne ＝1.486．故对λ1 和λ2 的1/4波片的最小厚度分别为

14n0ned1857nm,d224n0ne794nm,

*11-38 在偏振化方向相互平行的两偏振片间，平行放置一片垂直于光轴切割的石英

晶片．已知石英对钠黄光的旋光率为21.7（°）／mm。试问石英晶片的厚度为多大时，钠黄光不能通过第二个偏振片？

分析 按题意，第一个偏振片透射的线偏振光将沿光轴方向进入石英晶片．由于石英具有旋光性，光的振动方向将向右或向左旋转一个角度ψ．其大小与晶片厚度l 成正比，即ψ＝αl，比例系数α为晶体的旋光率．很显然欲使纳黄光不能通过第二个偏振片、旋光

...

...

角度ψ应90°．

解 根据分析，石英晶片的厚度为

4.15nm

l*11-39 一块厚0.025 mm 的方解石晶片，其表面与光轴平行，放置在两正交的偏

振片之间．已知第一个偏振片的偏振化方向与晶片的光轴成45°角．现用白光垂直入射第一个偏振片，问经第二个偏振片透射的可见光谱中，缺少了哪些波长？ 假定双折射率no－ne ＝0.172 可看作常量．

题11-39 图

分析 本题为偏振光的干涉问题．按题意作图，经方解石晶体透射的两束线偏振光（指o光与e 光），其振动方向相互垂直，再经第二个偏振片的检偏作用后成为相干光．其相

...

...

位差为

2πn0ned0或πλ，式中第一项为o光与e 光通过晶片时产生的相位差，第二项

Δ则

为两光的Ao 与Ae 在N2 （第二个偏振片的偏振化方向）上投影时有可能产生的附加相位差．由图知，本题应取π．在可见光范围内讨论，由干涉相消条件，可解得透射的可见光谱中少了哪些波长．

解 根据分析，有

2πn0nedπλ （1）

ΔΔ2k1π （2）

解上述两式可得

n0nedk

在可见光范围（400 nm ～760 nm）内讨论，解得

很显然，在

...

...

缺少了上述波长后，透射光不再是白光了．

讨论 若两偏振片的偏振化方向相互平行，情况会如何？

...