西藏山南第二高级中学2021届高三第一次高考模拟考试试题 理科数学【含答案】

西藏山南第二高级中学2021届高三第一次高考模拟考试试题 理科数

学【含答案】

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

21．已知集合Axx3x40，Bxx0，则AB( )

A．x|0x4 B．x1x0 C．x1x4 D．xx 2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,1)，则

z( ) iA．1i B．1i C．1i D．1i 3．等差数列an中，若a26，a43，则a5( )

A．9 B．3 C．

6

93 D． 224．在（﹣x）的二项式展开式中，常数项为( )

A．160 B．-160 C．60 D．-60

5．右图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为( )

A．10

6．已知点(a,b)(a0,b0)在直线xy1上，则

B．9

C．8

D．10

1a

的最小值为( ) ab

A．1 B．2 C．3 D．4

7．某实验室研发新冠疫苗，试验中需对x，y两项指标进行对照试验．已经进行的连续五次试验所测得

的指标数据如下表：

ˆa已知y与x具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为yˆbxˆ．根据该回归

ˆ的值为( ) ˆ106.2，则b方程，预测下一次试验中当x150时，yA．0.48

B．0.5

C．0.52

D．0.54

8．执行如图所示的程序框图，若输入N6，则输出的S( )

5678 B． C． D． 6789x2y29. 已知双曲线221(a0,b0)的两条渐近线均和

abA．

圆C:x2y26x50相切,则该双曲线离心率等于( ) A.

35653 B. C. D. 5252的图象上各点的纵坐标不变，

10．将函数

横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴 方程可以是( ) A．x

11．函数y=2|x|sin2x的图象可能是( )

A． B． C．

12．已知定义在R上的可导函数

为偶函数，A.

B.

，则不等式

C.

的导函数为

D．

，且

3 B. x2 C. x D. x 31212，满足

的解集为( ) D.

第II卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

x013．已知实数x、y满足约束条件y0，则目标函数z2xy的最大值为_____

xy2014．已知向量a1,2，b2,2，c1,。若c//2ab，则 15．已知2x3ya，若

111，则a______ xy16．已知函数fxsinxsin2x，x0,2π.下列有关fx的说法中，正确的是___(填写你认为正

确的序号).

①不等式fx0的解集为x0xπ3πxπ； 或44②fx在区间0,2π上有四个零点； ③fx的图象关于直线xπ对称； ④fx的最大值为43； ⑤9fx的最小值为3；

2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)、必做题：共60分。

17．(12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asin(AB)csin（1）求A； （2）已知b1，c3，且边BC上有一点D满足SABDBC． 23SADC，求AD．

18．(12分)第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键

期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口 发展战略和政策体系､促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和 住户的基本情况。某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进 行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数 的比为7:2，住校生中男生占体户户主进行人口普查登记.

（1）应从住校的男生､女生中各抽取多少人？

（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训：

4，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集 7

① 求这3人中既有男生又有女生的概率；

② 用X表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量X的分布列与数学期望. 19．(12分)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，AD//BC，ABC2，

ABBC1AD2，且PAa，E，F分别为PC，PB的中点. 2（1）若a2，求证：PB平面ADEF；

（2）若四棱锥PABCD的体积为2，求二面角APDC的余弦值.

x2y220．(12分)椭圆C：221(ab0)的左焦点为2,0，且椭圆C经过点P0,1，

ab直线ykx2k1(k0)与C交于A，B两点（异于点P）. （1）求椭圆C的方程；

（2）证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值，并求出这个定值. 21．(12分)已知函数f(x)x2ax2lnx（aR）.

（1）当a2时，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；

（2）若函数g(x)f(x)axm在,e上有两个零点，求实数m的取值范围.

e(二)、选做题：共10分。

请考生从给出的22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选的题号 涂黑，注意所做题目必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分。 [选修4-4：坐标系与参数方程]：

11x2mm22．(10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(m为参数)，以坐标原点O为

1y2mm极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos(（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

（2）若直线l与曲线C相交于点P，求圆心在极轴上，且经过极点和点P的圆的直角坐标方程. [选修4-5：不等式选讲]：

23．(10分)已知函数f(x)x2x2.

4)2.

（1）求不等式f(x)2x4的解集；

（2）若f(x)的最小值为k，且实数a,b,c，满足a(bc)k，求证：2a2b2c28.

答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.（请将正确答案序号涂写在答题卡上）. 第Ⅱ卷

题号 选项 1 A 2 B 3 D 4 B 5 D 6 C 7 D 8 B 9 A 10 B 11 C 12 A 答题卡（非选择题，共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13、 4 14、

三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17、【答案】（Ⅰ）A1 15、 6 16、 ③④ 233；（Ⅱ）AD. 34解：（Ⅰ）由ABC可得：

sin(AB)sin(C)sinC，sinBCsinAcosA，

222BCA，得asinCccos， 22A由正弦定理得sinAsinCsinCcos，

2又asin(AB)csin因为sinC0，所以sinAcosA， 2所以2sinAAAAAcoscos，因为0，所以cos0，

222222

AA1，即，所以A． 22263所以sin（Ⅱ）设BDA，则ADC，

在ABC中，由c3，b1及余弦定理可得：a2b2c22bccosA，所以a因为S7，

ABD3SADC，可知BD3DC37， 4在△ABD中，AB2BD2AD22BDADcos， 即96337AD2ADcos(1) 162在ADC中，177AD2ADcos()， 162即177AD2ADcos(2)， 162(1)3(2)得，AD33．

418、【答案】（1）男生､女生就分别抽取4人，3人；

（2）①

96；②分布列答案见解析，数学期望：. 7743，则女生占，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此男生､女

77解：（1）由已知住校生中男生占生就分别抽取4人，3人.

（2）①设事件A为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”，设事件B为“抽取的3名户主中男生有1人，女生有2人”；事件C为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，

1221C4C312C4C3186P(A)P(B)P(C)P(B)P(C)=，=，故， 3335357C7C7所以，事件A发生的概率为

6. 7②随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，

3kC3kC4P(xk)(k0,1,2,3).随机变量X的分布列为 3C7

X P 0 1 2 3 4 3518 3512 351 35随机变量X的数学期望E(X)04181219123. 35353535719、【答案】（1）详见解析；（2）

2. 6解：（1）当a2时，APAB，点F是BP的中点，AFBP， 又

AP平面ABCD，ADAP，且ADAB，APABA，

AD平面PAB，BP平面PAB，ADBP，

又AFADA，BP平面ADEF；

111SABCDAP242AP2， 332（2）VPABCD解得：AP1，

如图，以A为原点，AB,AD,AP，为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

A0,0,0，P0,0,1，C2,2,0，D0,4,0，

PC2,2,1，PD0,4,1，

设平面PCD的法向量mx,y,z，

mPC02x2yz0则，即，令y1，则x1,z4，

4yz0mPD0m1,1,4，

显然AB平面PAD，设平面PAD的法向量n1,0,0，

cosm,nmn12，

2mn61142. 6二面角APDC是锐二面角，二面角APDC的余弦值是

x220、【答案】（1）（2）证明见解析，定值为1. y21；

3解：（1）由题意得：c2,b1则a2b2c23

x2椭圆方程为y21；

3ykx2k1（2）解法一（常规方法)：设Ax1,y1,Bx2,y2，联立x2 2y1322化简可得：3k1x6k2k1x12kk10，

、B两点0, 直线ykx2k1(k0)与椭圆C交于A23k212k148kk10 解得：0k1 即12由韦达定理x1x26k2k13k21,x1x212k(k1) 23k1kPAkPBy11y212kx1x22k2x1x2x1y2x2y1x1x2 x1x2x1x26k6k2k112kk112k212k1 12k212k直线PA、PB得斜率和为定值1．

解法二（构造齐次式)：由题直线ykx2k1(k0)恒过定点2,1 ①当直线AB不过原点时，设直线AB为mxny11* 则2mx2n1即mn11有mn 22x222由y21有x23y16y10 则x23y16y1mxny10

3整理成关于x,y1的齐次式： 36ny16mxy1x2 0，

2y1y1进而两边同时除以x2，则36n6m10

xx26ny1y1y16mk令则21 12kkPAPBxx1x236n36n②当直线AB过原点时，设直线AB的方程为y11x,Ax0,y0,Bx0,y0 2

y01y012y0121 x0x0x02kPAkPB综合①②直线PA与直线PB的斜率之和为定值1． 21、

2222、【答案】（1）l:xy20，C:x2y28；（2）(x)y5325. 91x2mm解：（1）曲线C的参数方程为(m为参数)，

1y2mm两式平方相减得曲线C的普通方程为：x2y28. 直线l的极坐标方程为cos(4)2，则(coscossinsin)2

44转换为直角坐标方程为xy20

x2y28x3（2）由得，所以点P的直角坐标为(3,1)

y1xy20

设圆心为(a,0)，则a2(a3)21，解得：a22所以，圆的直角坐标方程为：(x)y5 35325. 9

23、【答案】（1）(,0]；（2）证明见解析.

解：（1）①当x2时，不等式即为2x2x4，解得x1,x2； ②当2x2时，不等式即为42x4，x02x0； ③当x2时，不等式即为2x2x4，x. 综上，不等式f(x)2x4的解集为(,0].

（2）由绝对值不等式的性质可得：|x2||x2||(x2)(x2)|4

当2x2时，f(x)取最小值4，即k4,a(bc)4，即abac4 2a2b2c2a2b2a2c22ab2ac8

当且仅当abc2时等号成立.