泰勒公式及其应用论文

学 士 学 位 论 文

泰勒公式及其应用

姓 名 院 系 专 业 年 级 学 号 指导教师

2012年5月18日

毕业论文(或毕业设计)开题报告 姓名 性别 学院 数学与信息学院 年级 学号

题 目 课题来源 教师推荐 课题类别 泰勒公式及其应用 应用研究 选题意义（包括目的,在微分中的重要性,研究意义,列出主要参考文献目录）: 研究目的:泰勒公式在数学研究中有着广泛应用,泰勒公式的研究有很重要的现实意义.泰勒公式在微积分的各个领域都有重要的应用,集中体现了微积分的核心.对泰勒公式的研究主要包括以下几个方面:（1）求函数的极值,（2）证明根的唯一性,(3)求泰勒函数在某点的高阶导数,（4）利用泰勒函数求函数的近似值和误差,（5）求证函数的敛散性. 研究意义:在高等数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式. 泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数,是高等数学中重要部分.泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来求近似函数在这一点的领域中的值以及多项式和实际函数值之间的偏差. 研究主要内容 本文通过对泰勒公式的介绍,并归纳整理了其在求极限与导数、不等式证明、求函数的极限等方面的应用,本文将从以下几个内容研究泰勒公式及其应用: 1. 应用泰勒公式求函数的近似值及误差估计 2. 利用泰勒公式证明不等式 3. 泰勒公式在计算中的应用及在研究函数的极值的应用 4. 用泰勒公式求函数在某点的高阶导数值 5. 总结

主要参考文献 [1]陈传章 金福林:《数学分析》 北京: 高等教育出版社, 1986. [2]张白兰 崔福荫:《高等数学证题方法》 陕西: 陕西科学出版社, 1985. [3]陈向东:《数学分析的概念和方法》 上海: 上海科学技术出版社, 1989. [4]同济大学数学教研主编.高等数学[M].北京: 人民教育出版社, 1999. 指导教师意见（对论文选题的意义、学术性、可行性、进度与计划等内容进行评价,填写审核结果：同意开题、修改后再开题、不同意开题）： 该课题对泰勒公式应用问题做了一些系统的归纳与总结。该论文的选题将解决有关泰勒公式应用的求法问题，对于学好《数学分析》这门基础课程将有一定的促进的作用，同时也为进一步学习多元微积分有关知识有关概念和方法奠定了基础。建议继续查找有关资料。收集有关泰勒公式应用的大量例子，从中总结出泰勒公式应用方法。在每一种方法中，应说明用到的最重要的知识级应该注意的有关问题，然后就每种方法举出例子。 论文组织的整体感较强, 结构清晰明了, 内容详实, 同意开题。 签名： 年3月16 日 院（系）毕业论文（设计）领导小组意见： 同 意 开 题 （签章） 年3月20日 毕业论文结题报告 姓名 性别 院系 年级 泰勒函数及其应用 教师推荐 课题类别 应用研究 学号 题 目 课题来源 本课题完成情况介绍（包括） 首先通过认真查阅学习文献, 理解与此课题相关的基本概念, 然后对相关概念或举例说明或进行详细介绍, 再利用这些知识针对交通流这一实际问题进行研究, 举例说明.举例说明泰勒公式的应用. 指导教师评语： 在高等数学中，泰勒公式是一个 用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，是高等数学中重要部分。该生首先通过查阅学习文献，理解与此课题相关的基本理念，然后对相关概念或举例说明或进行详细介绍，再利用这些知识针对这一实际问题进行研究，举例说明了泰勒公式的应用。 经审阅，该论文是一篇较好的学士学位论文，同意结题。 签名： 年5月18日 院（系）毕业论文（设计）领导小组意见： 同 意 结 题 （公章） 年5月18日 指导教师 评定成绩 毕业论文成绩评定表

院（系）：数学与信息学院 学号： 姓 名 总成绩： 泰勒公式及其应用 题 目 论文组织的整体感较强, 结构清晰明了, 内容详实。论文研究了泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，在高等数学中不等式，极限，极值及凹凸性和拐点中的应用，评 阅 人 评 语 然后对相关概念或举例说明或进行详细介绍，再利用这些知识针对这一实际问题进行研究，举例说明了泰勒公式的应用。 经审阅, 该论文是一篇较好的学士学位论文。 评定成绩： 签名： 年5月25日 答 辩 小 组 评 语 答辩成绩： 组长签名： 年 月 日

v

独 创 声 明

本人在此声明：本篇论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议．尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明．

此声明的法律后果由本人承担．

作者签名: 二〇一二年 五月 十八日

毕业论文使用授权声明

本人完全了解鲁东大学关于收集、保存、使用毕业论文的规定． 本人愿意按照学校要求提交论文的印刷本和电子版，同意学校保存论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存论文；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布论文的部分或全部内容，允许他人依法合理使用．

（保密论文在解密后遵守此规定）

论文作者（签名）：

二〇一二年 五月 十八日

目 录

1.引言 .................................................................. 1 2. 泰勒公式及其应用 ..................................................... 1 2.1 预备知识 ............................................................ 1 3 泰勒公式的应用 ........................................................ 3 3.1利用泰勒公式求极限 ................................................... 3 3.2 利用泰勒公式求不等式 ................................................ 3 3.3利用泰勒级数判断级数的敛散性 ......................................... 4 3.4利用泰勒公式证明根的唯一性 ........................................... 5 3.5利用泰勒公式判断函数的极值 ........................................... 5 3.6利用泰勒公式求初等函数的幂级展开式 ................................... 6 3.7利用泰勒公式进行近似计算 ............................................. 6 3.8利用泰勒公式判断函数的凸凹性和拐点 ................................... 7 3.9 利用泰勒公式求高阶导数在某点的数 .................................... 8 参考文献 ................................................................ 8 致 谢 ................................................................... 8

I

泰勒公式及其应用

（数学与信息学院 数学与应用数学 2008级数本2班20082112010）

摘要：在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义，内容 ，并介绍

了泰勒公式的9个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯一性等一系列泰勒函数的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.

关键词：泰勒公式 皮亚诺余项 拉格朗日余项 应用

Taylor formula and it’s application

Abstract:In the mathematical analysis Taylor formula is a important content. This paper

give an example. Use Taylor formula for inequality, please limit, folding proof scattered sex, the

(20082112010 Class 2 Grade 2008 Mathematics & Applied Mathematics School of Mathematics & Information)

discusses the definition of Taylor formula, content, and introduces the Taylor formula nine application and uniqueness of root, a series of Taylor function of application, make us more clearly know the importance of Taylor formula.

Keywords: Taylor’s formula The emaining of the Piano The remaining of the Lagrangian

Application

1.引言

泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数,是高等数学中重要部分.

作者通过查阅一些参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真计算，其中部分难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳总结.由于本文的主要内容是介绍泰勒公式的应用,所以,本文以例题为主进行讲解说明.

2. 泰勒公式及其应用

2.1 预备知识

定义2.1 若函数f在t0存在n阶导数,则有

1ft0ft02ftft0tt0tt01!2!

1

fntnnnttnott0

n!

（1）

这里ott0为皮亚诺余项,称（1）f在点t0的泰勒公式.

当t0=0时,（1）式变成

f0f02ftf0tt1!2!fn0ntotn称

n!n此式称为（带皮亚诺余项的）麦克劳林公式.

定义2.2 若函数f在t0某邻域内为存在直至n+1阶的连续导数,则

ft0ft02ftft0tt0tt01!2!fntnnttnRn(t)（2）

n!fn1()这里R（n）为拉格朗日余项Rn（2）为f在(tt0)n1,其中在t与t0之间,称

n1!t0的泰勒公示.

f0f02tt当t0=0时,（2）式变成ftf01!2!fn0ntRn(t)

n!称此式为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.

其中,常见函数的展开式:

a2e1a2!aanen1n1an!(n1)!t2n1(1)o(t2n2)2n1!nt3t5sintt3!5!t2t4costt2!4!t2n(1)o(t2n)2n!n

n1t2t3ntln1xt(1)o(tn1)23n111tt2tntn1t定理2.1 （介值定理）设函数g在闭区间[x1,x2]上连续。且f（x1）f（x2）,

1若0介于f（x1）与f（x2）之间的任何数,则至少存在一点x0[x1,x2],使得

f（x0）=0

2

3 泰勒公式的应用

3.1利用泰勒公式求极限

利用泰勒公式简化极限运算,可用该项的泰勒展开式来代替,使原来函数的极限转化

为接近多项式有理的极限,便能简洁方便的求出该极限运算.

ete例1 求极限limx0t4t22

2t0分析:极限为型，由题意可知用罗比达法求解很麻烦,故将cost和e2分别用泰勒公

0示展开代替,则可简化此式.

t2t4 解 由cost1ot4,

2!4!t22et2t21o(t4)

222得

costet22(t221112)t4o(t4)t4o(t4) 4!22!12于是 lim

eex0x4t14to(t4)1lim124 x0t123.2 利用泰勒公式求不等式

利用泰勒公式可以方便简洁的证明不等式是含有多项式和初等函数的混合式.其

方法一般是作一个辅助函数并用泰勒公示代替.

3

1例2 当a0时,证明sinaaa3.

61 证明 取gasinaaa3,a00,则

6g00,g00,g00,ga1cosa,ga0. 带入泰勒公式,其n=3,得

ga0001cosa3a 01 3!故

a0时, sinaa13a. 63.3利用泰勒级数判断级数的敛散性

利用泰勒公式将通项表达式是由不同类型函数构成的繁难形式的级数的通项简化成统一形式,以便利用级数收敛准则. 例3 讨论级数(a111_ln)的敛散性.

a1a1 a 解 lna111111ln1234aaa2a3a4a  ln 即

a11 a1a11 _lna1a 所以该级数是正项级数

1a111111111又 ln23o3233aaa2a3aaa4aa2a2  a113 a2a2111111_ln() 33a1aaa2a22a232  a112a收敛,由正项级数比较判别法知(a111_ln)收敛.

a1a

4

3.4利用泰勒公式证明根的唯一性

例4 设 tx 在 [a,)上可导，且ta0,ta0,对 xa,,t0,证明:

t0 在a,内存在唯一实根.

解析:  tx是抽象函数,直接讨论 tx0的根麻烦

故 tx 在 [a,)上二阶可导且ta0 , ta0 ,可考虑将 tx在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用介值定理证明. 证明:  tx0,tx单调递减,

又ta0,因此x>a时, txta0,故 tx 在 a,上严格单

调递减

在a点展开一阶泰勒公式有

txtataxat2ta at 2x由题设 ta0, t0,于是有 lim 从而必存在b>a,使得 tb0 ,又因为 ta0

在[a,b]上应用连续函数的介值定理,存在x0 a,b,使 tx0o ,由

tx的严格单调性知x0唯一,因此方程txo在a,内存在唯一实根.

3.5利用泰勒公式判断函数的极值

例5（极值的第二充分条件）设f在x0的某邻域二阶可导,且fx00,fx00,

, .

(1)若 fx00 ,则 f 在 x0取得极大值. （2）若 fx00 ,则 f 在 x0取得极小值. 证明: 由题意,可得 f 在 x0处的二阶泰勒公式

x0;内一阶可可导,在xx0处

5

fxfx0fx0fx022xx0xx0oxx0 1!2! f0 ,

fx02 fxfx0o1xx0 （*）

2又 fx00 ,

存在正数  ,当 xx0; 时,

11fx0 与 fx0o1 同号. 22当fx00 时,（*）取负值,从而对任意 xx0;有fxfx00

即f 在 x0 取得最大值.同样对 fx00 ,可得 f在x0 取得最小.

3.6利用泰勒公式求初等函数的幂级展开式

1的幂级展开式 21aa例6 求解:

1a1a3a6a91aa3a4a6a7a9a1011a2333334aaa1aa21a32222322n1na33n0

3.7利用泰勒公式进行近似计算

函数的近似计算式和一些数值的近似计算可以利用泰勒公式得到. 函数的近似计算式:ftf0f0f0式)

其误差是余项Rnn.

例7 求e的近似值，误差106 解析:fxfx0fx0(xx0)

6

fnn!0tn (麦克劳林展开公

111e解: e2 （介于0到1之间）

2!3!n!n1!ee3 误差为 n1n1n1! 当n=9时 113106 10!112.718285 2!9!3.8利用泰勒公式判断函数的凸凹性和拐点

例8.1 求yex的凸凹性及拐点

解:fx2xex, f2x2e2x2ex2ex(2x21)

222222 令fx0,则x=

x 22

2, 22 2222,2 2 22 ,2 fx  fx 凸函数 0 - 0 拐点 1凹函数 222,e拐点 凸函数 fx在,2222,上为凹函数 ,为凸函数, fx在,2222112222fx的拐点为2,e和2,e

例9.1判断（0,4）是否是gxexex2cosx 的拐点? 解:gxexex2sinx, g00 gxexex2cosx, g00 gxexex2sinx, g00

7

g4exex2cosx, g40

n=4

（0,4）不是gxexex2cosx的拐点.

3.9 利用泰勒公式求高阶导数在某点的数

在gx泰勒公式已知，且通项中的加项xxn的系数正是

n1ngx0可直接求高阶n!导数的数值,不必再一次求导.

例9 设gxx2ln1x,求gn0,n3

nx2x3n1x1o(xn) 解: ln1xx23nnx2x3n1x gxxx1oxn, x0

23n2nx4n2x1oxn, x0 =x2n23(1)n3 g0n!

nn参考文献

[1]陈传章 金福林:《数学分析》 北京: 高等教育出版社, 1986.

[2]张白兰 崔福荫:《高等数学证题方法》 陕西: 陕西科学出版社, 1985. [3]陈向东:《数学分析的概念和方法》 上海: 上海科学技术出版社, 1989. [4]同济大学数学教研主编.高等数学[M].北京: 人民教育出版社, 1999.

[5]冯平,石永延,泰勒公式在求解高等数学问题中的应用[J].新疆职业大学学报,2003(04):4-11.

[6]王三宝,泰勒公式的应用举例[J].高等函授学报(自然科学版),新疆职业大学学报,2005（03）:3-19.

致 谢

经过几个月的查资料、整理材料、写作论文，今天终于可以顺利的完成论文了. 随着论文的完成，终于可以让大学的生活划下一个完美的句点．论文得以完成，要感谢的

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人实在太多了，首先要感谢我的指导老师－孙梅娜老师，感谢她能够在论文的选题和写作过程中提供宝贵的指导性意见．孙梅娜老师指导我的论文的写作的方向和架构，指正出其中误谬之处，使我有了思考的方向，使我克服了在论文写作过程中的困难．在此，谨向孙梅娜老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！同时，论文的顺利完成，离不开其它各位老师、同学和朋友的关心和帮助．在整个的论文写作中，各位老师、同学和朋友积极的帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意见，在他们的帮助下，论文得以不断的完善，最终帮助我完整的写完了整个论文．

另外，要感谢在大学期间所有传授我知识的老师，是你们的悉心教导使我有了良好的专业课知识，这也是论文得以完成的基础．

感谢所有给我帮助的老师和同学，谢谢你们.

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