察雅县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 已知抛物线C：y4x的焦点为F，定点A(0,2)，若射线FA与抛物线C交于点M，与抛 物线C的准线交于点N，则|MN|:|FN|的值是（ ）

A．(52):5 B．2:5 C．1:25 D．5:(15) 2． fx2a2xa 在区间0,1上恒正，则的取值范围为（ ） A．a0 B．0a④0,正确的有（ ）个

A.个 B.个 C.个 D.个

4． 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ） A．akm A．

B．

B．

akm

D．

C．2akm

5． 正方体的内切球与外接球的半径之比为（ ）

C．

6． 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）

akm

D．

22 C．0a2 D．以上都不对

3． 下列给出的几个关系中：①a,b；②

a,ba,b；③a,bb,a；

A． B． C．

3

D．

7． 487被7除的余数为a（0≤a＜7），则A．4320 B．﹣4320 A．AB⊂α

C．20

D．﹣20

展开式中x﹣的系数为（ ）

8． 线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是（ ）

B．AB⊄α

D．以上都不对

C．由线段AB的长短而定

9． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A． 2 B．4 C．

48 D． 33第 1 页，共 15 页

【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.

10．已知函数f(x)2alnxx2x（aR）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ）

211 B． C． D． 42二、填空题

A．

11．命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为 ．

12．直线x2yt0与抛物线y216x交于A，B两点，且与x轴负半轴相交，若O为坐标原点，则

OAB面积的最大值为 . 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.

13．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．

2

14．M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M，N，F三点不共线，已知点F是抛物线y=4x的焦点，则△MNF

的重心到准线距离为 ．

15．在空间直角坐标系中，设A(m，1,3)，B(1,1,1)，且|AB|22，则m . 16．圆心在原点且与直线xy2相切的圆的方程为_____ .

【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题.

三、解答题

17．中国高铁的某个通讯器材中配置有9个相同的元件，各自独立工作，每个元件正常工作的概率为p（0＜p＜1），若通讯器械中有超过一半的元件正常工作，则通讯器械正常工作，通讯器械正常工作的概率为通讯器械的有效率

（Ⅰ）设通讯器械上正常工作的元件个数为X，求X的数学期望，并求该通讯器械正常工作的概率P′（列代数式表示）

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（Ⅱ）现为改善通讯器械的性能，拟增加2个元件，试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率．

18．已知在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项． （1）求数列{an}的通项公式；

19．（本小题满分12分）

中央电视台电视公开课《开讲了》需要现场观众，先邀请甲、乙、丙、丁四所大学的40名学生参加，各 大学邀请的学生如下表所示： 大学 人数 甲 8 乙 12 丙 8 丁 12

*

（2）若数列{bn}满足b1+2b2+3b3+…+nbn=an（n∈N），求{bn}的通项公式bn．

从这40名学生中按分层抽样的方式抽取10名学生在第一排发言席就座. （1）求各大学抽取的人数；

（2）从（1）中抽取的乙大学和丁大学的学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生来自同一所大学的 概率.

20．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．

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如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E，过E的切线与AC交于D.

（1）求证：CD＝DA；

（2）若CE＝1，AB＝2，求DE的长．

21．如图所示，已知

+

=1（a＞＞0）点A（1，

）是离心率为

的椭圆C：上的一点，斜率为

的直

线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求△ABD面积的最大值； 的值；否则说明理由．

（Ⅲ）设直线AB、AD的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得k1+λk2=0成立？若存在，求出λ

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22．（本小题满分12分）

如图（1），在三角形PCD中，AB为其中位线，且2BDPC，若沿AB将三角形PAB折起，使

PAD，构成四棱锥PABCD，且

（1）求证：平面 BEF平面PAB； （2）当 异面直线BF与PA所成的角为

PCCD2. PFCE时，求折起的角度. 3

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察雅县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D 【解析】

考点：1、抛物线的定义； 2、抛物线的简单性质.

【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.本题就是将M到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的. 2． 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数fx2a2xa在区间0,1上恒正，则

a0f(0)0，即，解得0a2，故选C. 2f(1)02aa0考点：函数的单调性的应用.

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3． 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意得，根据集合之间的关系可知：a,bb,a和0是正确的，故选C. 考点：集合间的关系. 4． 【答案】D

，

akm，

【解析】解：根据题意，

△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°， ∵AC=BC=akm，

∴由余弦定理，得cos120°=解之得AB=故选：D．

akm，

即灯塔A与灯塔B的距离为

【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A与灯塔B的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．

5． 【答案】C

【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长， 设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：故选C

6． 【答案】A

a，半径为：

a，

【解析】解：由已知中几何体的直观图，

我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确； 中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确； 而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确

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故A选项正确． 故选：A． 题的关键．

7． 【答案】B

﹣

+…+

﹣1，

【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问

解析：解：487=（49﹣1）7=∵487被7除的余数为a（0≤a＜7）， ∴a=6， ∴

展开式的通项为Tr+1=

，

令6﹣3r=﹣3，可得r=3， ∴

故选：B．. 8． 【答案】A

【解析】解：∵线段AB在平面α内， ∴直线AB上所有的点都在平面α内， ∴直线AB与平面α的位置关系： 直线在平面α内，用符号表示为：AB⊂α 故选A．

展开式中x﹣的系数为

3

=﹣4320，

【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．

9． 【答案】B

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10．【答案】A 【解析】

2x22x2a2试题分析：由题意知函数定义域为(0,)，f(x)，因为函数f(x)2alnxx2xx'2（aR）在定义域上为单调递增函数f(x)0在定义域上恒成立，转化为h(x)2x2x2a在(0,)恒

1成立，0,a，故选A. 1

4'考点：导数与函数的单调性．

二、填空题

11．【答案】﹣2

≤a≤2

2

【解析】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x﹣3ax+9≥0”，且为真命题， 则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立， 只需△=9a﹣4×2×9≤0，解得：﹣2

2

≤a≤2．

故答案为：﹣2≤a≤2

【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．

12．【答案】【

5123 9解

析

】

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13．【答案】12 【解析】

考

点：球的体积与表面积．

【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算，其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中仔细分析，得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键． 14．【答案】

2

【解析】解：∵F是抛物线y=4x的焦点，

．

∴F（1，0），准线方程x=﹣1， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6， 解得x1+x2=4，

∴△MNF的重心的横坐标为， ∴△MNF的重心到准线距离为． 故答案为：．

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【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．

15．【答案】1 【解析】 试题分析：AB2m12112312222，解得：m1，故填：1.

考点：空间向量的坐标运算 16．【答案】xy2

【解析】由题意，圆的半径等于原点到直线xy2的距离，所以rd|002|2，故圆的方程为2x2y22.

三、解答题

17．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由题意可知：X～B（9，p），故EX=9p． 在通讯器械配置的9个元件中，恰有5个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有6个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有7个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有8个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有9个元件正常工作的概率为：通讯器械正常工作的概率P′=

（Ⅱ）当电路板上有11个元件时，考虑前9个元件，

为使通讯器械正常工作，前9个元件中至少有4个元件正常工作． ①若前9个元素有4个正常工作，则它的概率为：此时后两个元件都必须正常工作，它的概率为：②若前9个元素有5个正常工作，则它的概率为：此时后两个元件至少有一个正常工作，它的概率为：③若前9个元素至少有6个正常工作，则它的概率为：此时通讯器械正常工作，故它的概率为： P″=

可得P″﹣P′=

，

p2+

p2+

+

﹣

，

；

． p2； ．

；

；

． ． ． ． ．

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==．

故当p=时，P″=P′，即增加2个元件，不改变通讯器械的有效率； 当0＜p当p

时，P″＜P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率降低； 时，P″＞P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率提高．

【点评】本题考查二项分布，考查了相互独立事件及其概率，关键是对题意的理解，属概率统计部分难度较大的题目．

18．【答案】 2a2=a1+a3﹣1，∴

2

∴2q=q，∵q≠0，∴q=2，

，

．

【解析】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，由a2是a1和a3﹣1的等差中项得：

∴；

（2）n=1时，由b1+2b2+3b3+…+nbn=an，得b1=a1=1． n≥2时，由b1+2b2+3b3+…+nbn=an ① b1+2b2+3b3+…+（n﹣1）bn﹣1=an﹣1② ①﹣②得：

，

∴

．

【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，解答的关键是想到错位相减，是基础题．

19．【答案】（1）甲，乙，丙，丁；（2）P【解析】

2. 5试题分析：（1）从这40名学生中按照分层抽样的方式抽取10名学生，则各大学人数分别为甲，乙，丙，丁；（2）利用列举出从参加问卷调查的40名学生中随机抽取两名学生的方法共有15种，这来自同一所大学的取法共有种，再利用古典慨型的概率计算公式即可得出.

试题解析：（1）从这40名学生中按照分层抽样的方式抽取10名学生，则各大学人数分别为甲2，乙3，丙2，丁3.

（2）设乙中3人为a1,a2,a3，丁中3人为b1,b2,b3，从这6名学生中随机选出2名学生发言的结果为{a1,a2}，

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{a1,a3}，{a1,b1}，{a1,b2}，{a1,b3}，{a3,a2}，{b1,a2}，{b2,a2}，{b3,a2}，{a3,b1}，{a3,b2}，{a3,b3}，

{b1,b2}，{b1,b3}，{b2,b3}，共15种，

这2名同学来自同一所大学的结果共6种，所以所求概率为P考点：1、分层抽样方法的应用；2、古典概型概率公式. 20．【答案】

【解析】解：（1）证明：

62. 155如图，连接AE， ∵AB是⊙O的直径， AC，DE均为⊙O的切线， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°， ∠DAE＝∠DEA＝∠B， ∴DA＝DE.

∠C＝90°－∠B＝90°－∠DEA＝∠DEC， ∴DC＝DE， ∴CD＝DA.

（2）∵CA是⊙O的切线，AB是直径， ∴∠CAB＝90°，

由勾股定理得CA2＝CB2－AB2， 又CA2＝CE×CB，CE＝1，AB＝2， ∴1·CB＝CB2－2，

即CB2－CB－2＝0，解得CB＝2， ∴CA2＝1×2＝2，∴CA＝2. 12

由（1）知DE＝CA＝，

222所以DE的长为.

221．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）∵

22∴b=c

，∴a=

c，

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∴椭圆方程为又点A（1，∴

2∴c=2 ∴a=2，b=

+=1

= …

=2﹣

）在椭圆上，

，

=1 …

=1，

∴椭圆方程为

=

﹣2

（Ⅱ）设直线BD方程为y=

2

与椭圆方程联立，可得4x+22

△=﹣8b+64＞0，∴﹣2

x+b，D（x1，y1），B（x2，y2）， bx+b2﹣4=0

=

，

＜b＜2

x1+x2=﹣∴|BD|=

b，x1x2=

设d为点A到直线y=∴△ABD面积S=

x+b的距离，∴d=

≤

当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为（Ⅲ）当直线BD过椭圆左顶点（﹣此时k1+k2=0，猜想λ=1时成立． 证明如下：k1+k2=

+

=2

，0）时，k1=

+m

，k2=

=2

﹣2

=0

当λ=1，k1+k2=0，故当且仅当λ=1时满足条件… 用，考查分析问题解决问题的能力．

22．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】

【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用，考查存在性问题的处理方法，椭圆方程的求法，韦达定理的应

2． 3试题分析：（1）可先证BAPA，再证CDFE,CDBE可得CDBAAD从而得到BA平面PAD，平面BEF,由CD//AB,可证明平面BEF平面PAB；（2）由PAD,取BD的中点G，连接FG,AG,可得PAG即为异面直线BF与PA所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1

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试题解析：

（2）因为PAD，取BD的中点G，连接FG,AG，所以FG//CD，FG1CD，又AB//CD，21ABCD，所以FG//AB，FGAB，从而四边形ABFG为平行四边形，所以BF//AG，得；同时，

22因为PAAD，PAD，所以PAD，故折起的角度.

3考点：点、线、面之间的位置关系的判定与性质．

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