2013高考百天仿真冲刺卷【数学(理)卷六】(含答案)

数 学(理) 试 卷（六）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项. 1. 已知集合A{xZx5}，B{xx20}，则AB等于

（A）(2,5) （B）[2,5) （C）{2,3,4} （D）{3,4,5} 2．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是

（A）y2 （B）yx2x （C）y2x （D）yx3 3. 设alog23，blog43，c0.5，则

（A）cba （B）bca （C）bac （D）cab 4．设向量a(1,sin)，b(3sin,1)，且a//b，则cos2等于

x（B）（C）（D）

3 3 3 35. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为

开始 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7

S1,i1 6.已知函数①ysinxcosx，②y22sinxcosx，则下列结论

（A）正确的是

（A）两个函数的图象均关于点(,0)成中心对称

4（B）两个函数的图象均关于直线x成中心对称

4（C）两个函数在区间(,)上都是单调递增函数

44（D）两个函数的最小正周期相同 7．已知曲线C:yi ① 是 否 SS2i ii1 输出S 结束 1(x0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2x10.过A1，A2分x别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3(x3,0)，那么

xx（A）x1,3,x2成等差数列 （B）x1,3,x2成等比数列

22（C）x1,x3,x2成等差数列 （D）x1,x3,x2成等比数列

8．如图，四面体OABC的三条棱OA,OB,OC两两垂直，OAOB2,OC3，D为四面体OABC外一点.给出下列命题.

①不存在点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形

C ②不存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥

③存在点D,使CD与AB垂直并且相等

④存在无数个点D,使点O在四面体ABCD的外接球面上

其中真命题的序号是

（A）①② （B）②③ （C）③ （D）③④

1

D O

A B

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

B • 2i9. 在复平面内，复数对应的点到原点的距离为_____.

1i10.如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA22，PC4，圆心O到BC的距离为3，则圆O的半径为_____.

11.已知椭圆C:C O P A xcos,1(R)经过点(m,)，则m______，离心率

2y2sin3 3 4 3 e______.

12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____.

13.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.

14.已知数列{an}的各项均为正整数，对于n1,2,3,，有

正(主)视图 侧(左)视图

3 4 3an5,an为奇数，当a111时，an1an,an为偶数.其中k为使an1为奇数的正整数2k俯视图

a100______；

*若存在mN，当nm且an为奇数时，an恒为常数p，则p的值为______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）

设ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB（Ⅰ）当a4,b2. 55时，求角A的度数；（Ⅱ）求ABC面积的最大值. 3 16．（本小题满分13分）

甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为

111,,p.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为. 234（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；

（Ⅱ）求p的值；

（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望EX.

2

17.（本小题满分13分）

如图, ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，

AF//DE，DE3AF，BE与平面ABCD所成角为600.

(Ⅰ)求证：AC平面BDE；

(Ⅱ)求二面角FBED的余弦值；

（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM//平面BEF，并证明你的结论.

18. （本小题满分14分）

已知函数f(x)a(x1)x2，其中a0. （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若直线xy10是曲线yf(x)的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g(x)xlnxx2f(x)，求g(x)在区间[1,e]上的最大值.

（其中e为自然对数的底数）

3

E F D C

A

B

19. （本小题满分14分）

已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A,B两点，其中点A在第一象限.

（Ⅰ）求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；

11（Ⅱ）若FA1AP,BF2FA,1[,]，求2的取值范围.

242

20.（本小题满分13分）

定义(a1,a2,,an)|a1a2||a2a3||an1an|为有限项数列{an}的波动强度.

（Ⅰ）当an(1)n时，求(a1,a2,,a100)；

（Ⅱ）若数列a,b,c,d满足(ab)(bc)0，求证：(a,b,c,d)(a,c,b,d)； （Ⅲ）设{an}各项均不相等，且交换数列{an}中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{an}一定是递增数列或递减数列.

4

2013高考百天仿真冲刺卷

数学(理)试卷（六）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

题号 1 2 3 4 5 答案 C B A D B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

6 C 7 A 8 D 9. 2 10. 2 11. 153， 4212. 12 13. 60，48 14.62；1或5

注：11题，13题，14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.

15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为cosB43，所以sinB. „„„„„„„„2分 555ab1因为a，b2，由正弦定理可得sinA. „„„„„„„4分

3sinAsinB2

因为ab，所以A是锐角，

所以A30. „„„„„„„„6分

o（Ⅱ）因为ABC的面积S13acsinBac， „„„„„„„„7分 21022所以当ac最大时，ABC的面积最大.

222因为bac2accosB，所以4ac228ac. „„„„„„„„9分 5因为ac2ac，所以2ac8ac4， „„„„„„„„11分 5所以ac10，（当ac10时等号成立） „„„„„„„„12分 所以ABC面积的最大值为3. „„„„„„„„13分

16.（本小题满分13分）

解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件A1,A2,A3，依题意有

11P(A1),P(A2),P(A3)p,且A1,A2,A3相互独立.

23（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为

1221P(A1A2)1. „„„„„„„3分

233（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B，则有

121pP(B)P(A1A2A3)＝(1p)， „„„„„„„5分

2335

1p11

，p. „„„„„„„„7分 344

（Ⅲ）X的所有可能取值为0,1,2,3. „„„„„„„„8分

1所以P(X0)，

4P(X1)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)

111312111， 423423424P(X2)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)

1131211111， 23423423441111P(X3)=P(A1A2A3)＝ . „„„„„„„„11分

23424X分布列为： 3 0 X 1 2 11111 P 424424所以

„„„„„„„„12分

所以，E(X)01111113123. „„„„„„„„13分 42442412z E

17.（本小题满分13分）

(Ⅰ)证明： 因为DE平面ABCD，

所以DEAC. „„„„„„„„2分 因为ABCD是正方形， 所以ACBD，

从而AC平面BDE. „„„„„„„„4分 (Ⅱ)解：因为DA,DC,DE两两垂直，

所以建立空间直角坐标系Dxyz如图所示.

因为BE与平面ABCD所成角为60，即DBE60，„„5分

0ED3. 所以DBA 由AD3可知DE36，AF6. „„„6分

x 则A(3,0,0)，F(3,0,6)，E(0,0,36)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，

所以BF(0,3,6)，EF(3,0,26)， „„„7分

nBF03y6z0设平面BEF的法向量为n(x,y,z)，则，即， nEF03x26z0令z6，则n(4,2,6). „„„„„„„8分

BDEBDEAC因为平面，所以CA为平面的法向量，CA(3,3,0)，

nCA613所以cosn,CA. „„„„„„„9分 13nCA3226F D C M B y6

因为二面角为锐角，所以二面角FBED的余弦值为(Ⅲ)解：点M是线段BD上一个动点，设M(t,t,0).

则AM(t3,t,0)， 因为AM//平面BEF，

13.„„„„„„10分 13所以AMn0， „„„„„„„11分 即4(t3)2t0，解得t2. „„„„„„„12分

1此时，点M坐标为(2,2,0)，BMBD，符合题意. „„„„„„„13分

3

18. （本小题满分14分）

a(2x)，（x0）， „„„„„3分 x3在区间(,0)和(2,)上，f(x)0；在区间(0,2)上，f(x)0.

所以，f(x)的单调递减区间是(,0)和(2,)，单调递增区间是(0,2).„„„4分

a(x01)y0x02（Ⅱ）设切点坐标为(x0,y0)，则x0y010 „„„„„7分（1个方程1

a(2x)013x0解：（Ⅰ）f(x)分）

解得x01，a1. „„„„„8分 （Ⅲ）g(x)xlnxa(x1)，

则g(x)lnx1a， „„„„„„„9分 解g(x)0，得xe所以，在区间(0,ea1a1，

)上，g(x)为递减函数， a1在区间(e,)上，g(x)为递增函数. „„„„„10分 a1当e1，即0a1时，在区间[1,e]上，g(x)为递增函数，

所以g(x)最大值为g(e)eaae. „„„„„„11分 a1当ee，即a2时，在区间[1,e]上，g(x)为递减函数，

所以g(x)最大值为g(1)0. „„„„„„12分 a1当1eg(e)g(1)aeae0，解得a，

e1e所以，1a时，g(x)最大值为g(e)eaae， „„„„„„„13分

e1ea2时，g(x)最大值为g(1)0. „„„„„„„14分 e1ee综上所述，当0a时，g(x)最大值为g(e)eaae，当a时，g(x)e1e1的最大值为g(1)0.

7

19. （本小题满分14分）

p,0),设A(x1,y1)，则y122px1， 22xpy12xp,)，圆心到y轴的距离为1圆心坐标为(1， „„„„„„„2分 424FA12xpp圆的半径为， „„„„„„„4分 x1()12224所以，以线段FA为直径的圆与y轴相切. „„„„„„„5分

（Ⅱ）解法一：设P(0,y0),B(x2,y2)，由FA1AP,BF2FA,得

ppp(x1,y1)1(x1,y0y1)，(x2,y2)2(x1,y1)， „„„„„„„6分

222p所以x11x1,y11(y0y1)，

2ppx22(x1),y22y1， „„„„„„„8分 222由y22y1，得y222y12.

解：（Ⅰ）由已知F(22又y12px1，y22px2，

2所以 x22x1. „„„„„„„10分

pppppx22(x1)，得22x12(x1)，(12)x12(12)， 22222p整理得x1， „„„„„„„12分

22pppp代入x11x1，得1，

2222221所以11， „„„„„„„13分

代入

22411因为1[,]，所以2的取值范围是[,2]. „„„„„„„14分

3242解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2)，AB:xmy将xmyp， 2p代入y22px，得y22pmyp20， 2所以y1y2p2（*）， „„„„„„„6分 由FA1AP，BF2FA，得

ppp(x1,y1)1(x1,y0y1)，(x2,y2)2(x1,y1)，„„„„„„„7分

222p所以，x11x1,y11(y0y1)，

2ppx22(x1),y22y1， „„„„„„„8分 228

将y22y1代入（*）式，得y所以2px1代入x121p22， „„„„„„„10分

p22，x1p221. „„„„„„„12分

p1x1，得11. „„„„„„„13分 222411因为1[,]，所以2的取值范围是[,2]. „„„„„„„14分

324220．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：(a1,a2,,a100)|a1a2||a2a3||a99a100| „„„„„„1分

222299198. „„„„„„3分

（Ⅱ）证明：因为(a,b,c,d)|ab||bc||cd|，

(a,c,b,d)|ac||cb||bd|，

所以(a,b,c,d)(a,c,b,d)|ab||cd||ac||bd|. „„4分 因为(ab)(bc)0，所以abc，或abc. 若abc，则

(a,b,c,d)(a,c,b,d)ab|cd|ac|bd|cb|cd||bd|

当bcd时，上式cbcd(bd)2(cb)0， 当bdc时，上式cbdc(bd)2(db)0， 当dbc时，上式cbdc(db)0，

即当abc时，(a,b,c,d)(a,c,b,d)0. „„„„„„6分

若abc，

则(a,b,c,d)(a,c,b,d)ba|cd|ca|bd|，

bc|cd||bd|0.（同前）

所以，当(ab)(bc)0时，(a,b,c,d)(a,c,b,d)成立. „„„„„7分

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理）

下面来证明当a1a2时，{an}为递减数列.

（ⅰ）证明a2a3.

若a1a3a2，则由引理知交换a2,a3的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾. 若a３a１a2，则

(a1,a2,a３)|a1a2||a2a３||a1a2||a1a３|(a2,a1,a３)，与已知矛盾.

所以，a1a2a3. „„„„„„9分 （ⅱ）设a1a2ai(3in2)，证明aiai1.

若ai1ai1ai，则由引理知交换ai,ai1的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.

若ai1ai1ai，则(ai2,ai1,ai,ai1)(ai2,ai,ai1,ai1)，与已知矛盾.

所以，aiai1. „„„„11分 （ⅲ）设a1a2an1，证明an1an. 若anan1，考查数列an,an1,,a2,a1，

则由前面推理可得anan1an2a2，与a1a2an1矛盾.

9

所以，an1an. „„„„„12分 综上，得证.

同理可证：当a1a2时，有{an}为递增数列. „„„„„„13分

10