一、单选题(共8题；共24分)
11．（3分）若x的倒数是，那么x的相反数是（ ）3A．3B．-3
C．13D．-132．（3分）人民日报讯，2020年6月23日，中国成功发射北斗系统第55颗导航卫星，
至此中国提前半年全面完成北斗三号全球卫星导航系统星座部署．北斗三号卫星上配置的新一代国产原子钟，使北斗导航系统授时精度达到了十亿分之一秒．十亿分之一用科学记数法可以表示为（ ） A．1×10―10B．1×10―91093．（3分）如图是小明将5个大小相同的正方体块摆成的立体图形，它的主视图是（ ）
C．0.1×10―8D．1×
A．B．C．
D．
4．（3分）如图，菱形ABCD的顶点B，C，D均在⊙A上，点E在弧BD上，则∠BED
的度数为（ ）
A．90°B．120°C．135°D．150°
5．（3分）我市某一周的最高气温统计如下表：
最高气温（℃）天 数
251
261
272
283
则这组数据的中位数与众数分别是（ ）A．27，28
B．27.5，28
C．28，27
D．26.5，27
6．（3分）炎炎夏日，甲安装队为A小区安装60台空调，乙安装队为B小区安装50台
空调，两队同时开工且恰好同时完工。甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是A．60=50𝑥𝑥―2=50𝑥7．（3分）若方程x2-5x=0的一个根是a，则a2-5a+2的值为（ ）
B．60=50𝑥𝑥―2C．60=50𝑥𝑥+2D．60𝑥+2A．-2B．0C．2D．4
8．（3分）如图，把𝛥𝐴𝐵𝐶沿直线𝐵𝐷折叠，使点A恰好落在边𝐵𝐶上的点E处，若𝐶𝐸=𝐷𝐸
，∠𝐶=32°，则∠𝐷𝐵𝐸的度数为（ ）
A．52°B．46°C．42°D．38°
二、填空题(共8题；共24分)
9．（3分）计算： (―5𝑎4)⋅(―8𝑎𝑏2) =
.
. 10．（3分）若二次根式 2𝑥―1 在实数范围内有意义，则 𝑥 的取值范围是 11．（3分）二次函数y=3x2﹣6x﹣3图象的对称轴是
．
12．（3分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，前两次抛掷朝上一面点数都是3，那么第三
次抛掷朝上一面的点数为3的概率是 ．
13．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点𝑂，𝐴𝐶=4，𝐵𝐷=3，
𝐷𝐻⊥𝐴𝐵于点H，且DH与AC交于G，则OG长度为 ．14．（3分）圆锥底面半径为3cm，母线长3 2 cm则圆锥的侧面积为
cm2．
．
15．（3分）已知a+b=2，b≤2，y﹣a2﹣2a+2=0．则y的取值范围是
16．（3分）平面直角坐标系中，点A（a， 5 ），B（﹣1，﹣ 3 ），则线段AB的最
小值为 .
三、解答题(共11题；共82分)
317．（5分）(―2)0―|3―2|―8―2cos30°.
18．（5分）解不等式组
2(𝑥+3)>10
2𝑥+1>𝑥 ．
19．（6分）先化简，再求值：[(𝑥―2𝑦)2+(𝑥―2𝑦)(𝑥+2𝑦)―2𝑥(2𝑥―𝑦)]÷2𝑥，其中
𝑥=1，𝑦=1．
220．（6分）在 𝛥𝐴𝐵𝐶 中， 𝐴𝐷 为 𝛥𝐴𝐵𝐶 的角平分线.
图1 图2
（1）（2分）如图1， ∠𝐶=90° ， ∠𝐵=45° ，点 𝐸 在边 𝐴𝐵 上， 𝐴𝐸=𝐴𝐶 ，请直接写出图中所有与 𝐵𝐸 相等的线段.
（2）（4分）如图2， ∠𝐶≠90° ，如果 ∠𝐶=2∠𝐵 ，求证： 𝐴𝐵=𝐴𝐶+𝐶𝐷 .
21．（6分）今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九
年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题：
分组ABCDE
分数段（分）
36≤𝑥<4141≤𝑥<4646≤𝑥<5151≤𝑥<5656≤𝑥<61
频数2515m10
（1）（3分）求全班学生人数和𝑚的值.
（2）（3分）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率.
22．（8分）“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，某校为了解学生对共享
单车的使用情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将这次调查的结果绘制了以下两幅不完整的统计图.
根据所给信息，解答下列问题：（1）（2分）m＝ ；
（2）（2分）补全条形统计图；
（3）（2分）这次调查结果的众数是
；
（4）（2分）已知全校共3000名学生，请估计“经常使用”共享单车的学生大约有多
少名？
23．（8分）为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已
知斜坡AB长60 2 米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）．
（1）（4分）若修建的斜坡BE的坡比为 3 ：1，求休闲平台DE的长是多少米？ （2）（4分）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG＝33米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G，H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
24．（8分）点 𝑃(𝑥，𝑦) 在第一象限，且 𝑥+𝑦=8 ，点 𝐴 的坐标为 (6， 0) ，设 𝛥𝑂𝑃𝐴
的面积为 𝑆 .
（1）（3分）用含 𝑥 的表达式表示 𝑆 ，写出 𝑥 的取值范围，画出函数 𝑆 的图象；（2）（2分）当点 𝑃 的横坐标为5时， 𝛥𝑂𝑃𝐴 的面积为多少？ （3）（3分）𝛥𝑂𝑃𝐴 的面积能否大于24？为什么？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+6 （a、b都是
常数，且a<0）的图像与x轴交于点 𝐴(―2,0) 、 𝐵(6,0) ，顶点为点C.
（1）（3分）求这个二次函数的解析式及点C的坐标；
1（2）（3分）过点B的直线 𝑦=―2𝑥+3 交抛物线的对称轴于点D，联结BC，求∠CBD
的余切值；
（3）（4分）点P为抛物线上一个动点，当∠PBA=∠CBD时，求点P的坐标.
26．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx-4经过A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于
BC，点C．点P为线段AB上的一动点（不与点B重合），连接PC、将△BPC沿直线BC翻折得到△BP'C，P'C交抛物线于另一点Q，连接QB．
（1）（3分）求抛物线的解析式；
（2）（3分）求四边形QCOB面积的最大值：（3）（4分）当CQ：QP'=1：2时，求点Q的坐标．
27．（10分）如图①.已知𝐴𝑀∥𝐶𝑁，点B为平面内一点，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶于点B，过点B作
𝐵𝐷⊥𝐴𝑀于点D，设∠𝐵𝐶𝑁=𝛼.
（1）（3分）若𝛼=30°，求∠𝐴𝐵𝐷的度数；
（2）（3分）如图②，若点E、F在𝐷𝑀上，连接𝐵𝐸、𝐵𝐹、𝐶𝐹，使得𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐷、𝐵𝐹平分∠𝐷𝐵𝐶，求∠𝐸𝐵𝐹的度数；
（3）（4分）如图③，在（2）问的条件下，若𝐶𝐹平分∠𝐵𝐶𝐻，且∠𝐵𝐹𝐶=3∠𝐵𝐶𝑁，求∠𝐸𝐵𝐶的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
1【解析】【解答】解：∵3的倒数是3，
∴x=3，
∴x的相反数是﹣3．故选B．
1【分析】根据题意先求出3的倒数x，再写出x的相反数．
2．【答案】B
11【解析】【解答】 1000000000=109=1×10―9故答案为：B．
【分析】 将一个数表示成 a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】从物体正面看，左边1个正方形，中间2个正方形，右边1个正方
形．故答案为：D．
【分析】根据简单组合体的三视图可知，从物体正面看，左边1个正方形，中间2个正方形，右边1个正方形。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接AC
∴AC=AB=AD∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=AD=CD=AC∴△ABC、△ACD是等边三角形∴∠ACB=∠ACD=60°∴∠BCD=120°∵优弧𝐵𝐷=𝐵𝐷∴∠BED=∠BCD=120°.故答案为：B.
【分析】连接AC，则AC=AB=AD，根据菱形的性质可得AB=BC=AD=CD=AC，推出△ABC、△ACD是等边三角形，则∠ACB=∠ACD=60°，∠BCD=120°，然后根据圆周角定理进行解答.
5．【答案】A
【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或
两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】处于这组数据中间位置的那个数是27，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是27．
众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中28是出现次数最多的，故众数是28．故选A．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6．【答案】D
“两【解析】【分析】由乙队每天安装x台，则甲队每天安装x+2台，则根据关键描述语：队同时开工且恰好同时完工”，找出等量关系为：甲队所用时间=乙队所用时间，据此列60出分式方程：𝑥+2=50𝑥。故选D。
7．【答案】C
【解析】【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方
程解的定义就可以得到关于a的式子，就可求解．
【解答】把x=a，代入方程得：a2-5a=0．则a2-5a+2=0+2=2．故选C．
【点评】此题主要考查了方程解的定义，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相
等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵把𝛥𝐴𝐵𝐶沿直线𝐵𝐷折叠，使点A恰好落在边𝐵𝐶上的点E处，
∴∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐷=1∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴=∠𝐵𝐸𝐷，
2∵𝐶𝐸=𝐷𝐸，∠𝐶=32°
∴∠𝐶=∠𝐸𝐷𝐶=32°，∴∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐶+∠𝐸𝐷𝐶=64°，∴∠𝐴=64°，
∴∠𝐴𝐵𝐶=180°―∠𝐴―∠𝐶=180°―64°―32°=84°，∴∠𝐷𝐵𝐸=1∠𝐴𝐵𝐶=42°，
2故答案为：C．
【分析】根据等边对等角的性质可得∠𝐶=∠𝐸𝐷𝐶=32°，再利用三角形外角和及折叠的性质可得∠𝐴=∠𝐵𝐸𝐷=64°，利用三角形的内角和求出∠ABC的度数，最后利用折叠的1性质可得∠𝐷𝐵𝐸=2∠𝐴𝐵𝐶=42°。
9．【答案】40𝑎5𝑏2【解析】【解答】 (―5𝑎4)⋅(―8𝑎𝑏2) = 40𝑎5𝑏2 .故答案为 40𝑎5𝑏2 .
【分析】直接利用单项式乘单项式法则进行计算，单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
10．【答案】𝑥≥
12【解析】【解答】解：由二次根式 2𝑥―1 在实数范围内有意义可得：
2𝑥―1≥0 ，解得： 𝑥≥1 ；
21故答案为 𝑥≥2 .
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
11．【答案】直线x=1
𝑏【解析】【解答】解：对称轴是直线x= 2𝑎 =1，即直线x=1．
故答案为：直线x=1．
【分析】直接利用对称轴公式可求得对称轴．
12．【答案】
161【解析】【解答】解：根据概率公式P（向上一面点数是3）=1÷6= 6 ． 1故答案为： 6 ．
【分析】弄清骰子六个面上分别刻的点数，再根据概率公式解答就可求出点数是6的概率．
13．【答案】
98【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC，BD互相垂直平分∵𝐴𝐶=4，𝐵𝐷=3
2∴𝐶𝐷=22+(3)=522∵𝑆△𝐴𝐵𝐷=1𝐴𝐵⋅𝐷𝐻=1𝑂𝐴⋅𝐵𝐷
225即：2×𝐷𝐻=2×3
∴𝐷𝐻=1252∴𝐵𝐻=𝐵𝐷2―𝐷𝐻2=32―(12)=955∵∠𝐵𝐷𝐻=∠𝐵𝐷𝐻，∠𝐺𝑂𝐷=∠𝐵𝐻𝐷=90°∴△𝐷𝑂𝐺∽△𝐷𝐻𝐵
𝑂𝐺3𝑂𝐺𝐷𝑂29=12=∴，即：𝐻𝐵𝐷𝐻55∴𝑂𝐺=989故答案为：8【分析】由菱形的性质可得AC，BD互相垂直平分，在直角三角形COD中，用勾股定11理求得CD的值，用面积法S△ABD=2AB·DH=2BD·OA可得关于HD的方程，解方程可
求得HD的值，在直角三角形BDH中，用勾股定理求得BH的值，根据有两个角对应𝑂𝐺𝐷𝑂相等的两个三角形相似可得△DOG∽△DHB，于是可得比例式𝐻𝐵=𝐷𝐻求解.
14．【答案】9 2 π
【解析】【解答】解：圆锥的底面周长为：2π×3=6π，
∴圆锥侧面展开图的弧长为：6π，∵圆锥的母线长3 2 ，
∴圆锥侧面展开图的半径为：3 2∴圆锥侧面积为： 1 ×3 2 ×6π=9 2 π；
2故答案为：9 2 π；
【分析】根据题意可求出圆锥底面周长，然后利用扇形面积公式即可求出圆锥的侧面积．
15．【答案】y≥﹣2
【解析】【解答】解：由a+b=2，得：b=2﹣a，
∵b≤2，得：2﹣a≤2，解得：a≥0，∵y﹣a2﹣2a+2=0，
∴y=a2+2a﹣2=（a+1）2﹣3，
∵当a＞﹣1时，y随a的增大而增大，∴当a≥0时，y≥﹣2，故答案为：y≥﹣2．
【分析】根据a+b=2、b≤2求出a的取值范围，由y﹣a2﹣2a+2=0得y=a2+2a﹣2=（a+1）
2﹣3
，结合自变量a的取值范围可知y的范围．
16．【答案】5+3【解析】【解答】解：∵AB2= (𝑎+1)2+(5+3)
2∴当a=-1时，AB2的最小值为： (5+3) ，
2即：当a=-1时，线段AB的最小值为： 5+3 .故答案是： 5+3 .
【分析】根据勾股定理可得AB2= (𝑎+1)2+(5+3)，可得当a=-1时，AB2的值最小.
17．【答案】解：原式=1―(2―3)―2―2×322=1―2+3―2―3=―3
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，
然后计算加减法即可.
18．【答案】解：∵
2(𝑥+3)>10①①②
2𝑥+1>𝑥② ，∴解不等式得：x＞2，解不等式得：x＞
﹣1，∴不等式组的解集为：x＞2
【解析】【分析】分别解得不等式2（x+3）＞10和2x+1＞x，然后取得这两个不等式解
的公共部分即可得出答案． 本题主要考查了解一元一次不等式组的知识，要掌握解集
的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19．【答案】解：[(𝑥―2𝑦)2+(𝑥―2𝑦)(𝑥+2𝑦)―2𝑥(2𝑥―𝑦)]÷2𝑥
=[𝑥2―4𝑥𝑦+4𝑦2+𝑥2―4𝑦2―4𝑥2+2𝑥𝑦]÷2𝑥
=(―2𝑥2―2𝑥𝑦)÷2𝑥
=―𝑥―𝑦
1当𝑥=1，𝑦=2时，3原式=―𝑥―𝑦=―2．【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将x、y的值代入计算即可。20．【答案】（1）解：BE=DE=DC
（2）解：在AB上取点E，使得AE=AC，
𝐴𝐸＝𝐴𝐶在△AED和△ACD中 ∠𝐸𝐴𝐷＝∠𝐶𝐴𝐷
𝐴𝐷＝𝐴𝐷∴△AED≌△ACD（SAS），∴∠AED=∠C， ED=CD，∵∠C=2∠B，
又∠AED=∠B+∠BDE=2∠B，∴∠B=∠BDE，∴BE=DE，
∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD．
【解析】【解答】（1）解：∵𝐴𝐷 为 𝛥𝐴𝐵𝐶 的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，∵𝐴𝐸=𝐴𝐶 ，
𝐴𝐸=𝐴𝐶
在△AED和△ACD中， ∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷 ，
𝐴𝐷=𝐴𝐷∴△𝐴𝐸𝐷≅△𝐴𝐶𝐷 ，
∴∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐶𝐷=90° ， 𝐷𝐶=𝐷𝐸 ，∵∠𝐴𝐸𝐷=90° ，∴∠𝐵𝐸𝐷=90° ，∵∠𝐵=45° ，∴∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐵=45° ，∴𝐵𝐸=𝐷𝐸 ，∴𝐵𝐸=𝐷𝐸 = 𝐷𝐶 ；
【分析】（1）根据角平分线的性质结合已知条件可证得 △𝐴𝐸𝐷≅△𝐴𝐶𝐷 ，再证得 ∠𝐵=∠𝐵𝐷𝐸=45° ，从而证得 𝐵𝐸=𝐷𝐸 = 𝐷𝐶 ；（2）在AB上取点E，使得AE=AC，则可证得△AED≌△ACD，可得∠AED=∠C=2∠B，ED=CD，可证得△BDE为等腰三角形，所以有BE=DE=CD，可得结论．
21．【答案】（1）解：由题意可得：全班学生人数：15÷30%=50（人)，
𝑚=50―2―5―15―10=18（人)，∴全班学生人数50人，𝑚的值为18；
（2）解：如图所示：将男生分别标记为𝐴1，𝐴2，女生标记为𝐵1𝐴1𝐴2𝐵1𝐴1 𝐴2𝐵1(𝐴2，𝐴1)(𝐵1，𝐴1)
(𝐴1，𝐴2) (𝐵1，𝐴2)
(𝐴1，𝐵1)(𝐴2，𝐵1)
∴𝑃（一男一女）=4=2．63【解析】【分析】（1）先求出 全班学生人数 为50人，再求解即可；
（2）先列表，再求解即可。
22．【答案】（1）15%
（2）解：偶尔使用的人数为100﹣（25+15）＝60（人）， 补全条形统计图如下：
（3）偶尔使用
（4）解：估计“经常使用”共享单车的学生大约有3000×15%＝450（人）.
【解析】【解答】解：（1）∵被调查的学生总人数为25÷25%＝100（人），
∴经常使用的人数对应的百分比m＝ 15 ×100%＝15%，
100故答案为：15%；
（ 3 ）∵偶尔使用的人数最多，∴这次调查结果的众数是偶尔使用，故答案为：偶尔使用；
【分析】（1）根据扇形统计图及条形统计图中“从不使用”对应的数据求出调查的学生总人数，再用“经常使用”的人数除以总人数即可求出m.（2）利用总人数-“从不使用”的人数-“经常使用”的人数即可求出“ 偶尔使用”的人数.（3）一组数据中，出现次数最多的数据即为这组数据的众数，据此作出判断即可.（4） 利用“经常使用” 的百分比×3000求出即可.
23．【答案】（1） 解：∵AD＝BD＝30 2 米，
在Rt△ADP中，∵∠DAP＝45°，∴PA＝DP＝30米，∵四边形MGPD是矩形，∴GM=PD＝30米，
设GH＝x米，则MH＝GH﹣GM＝x﹣30（米），DM＝AG+AP＝33+30＝63（米），𝑥―30𝑀𝐻在Rt△DMH中，tan30°＝ 𝐷𝑀 ，即 63 ＝ 3 ，
3解得：x＝30+21 3 ，
答：建筑物GH的高为（30+21 3 ）米．（2）解：∵AD＝BD＝30 2 米， 在Rt△ADP中，∵∠DAP＝45°，∴PA＝DP＝30米，∵四边形MGPD是矩形，
∴GMPD＝30米，
设GH＝x米，则MH＝GH﹣GM＝x﹣30（米），DM＝AG+AP＝33+30＝63（米），𝑥―30𝑀𝐻在Rt△DMH中，tan30°＝ 𝐷𝑀 ，即 63 ＝ 3 ，
3解得：x＝30+21 3 ，
答：建筑物GH的高为（30+21 3 ）米．
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等得出 ∠BDF＝∠BAC＝45°， 根据线
段的中点的定义得出BD的长，然后根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 DF𝐵𝐹＝BD•cos∠BDF 算出DF的长，根据坡比的定义得出 𝐸𝐹 ＝ 3 ，从而得出EF的长，
1然后根据 DE＝DF﹣EF 即可算出答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出 PA＝DP＝30米， 根据矩形的对边相等得出 GM=PD＝30米， 设GH＝x米，DM＝AG+AP＝33+30则MH＝GH﹣GM＝x﹣30（米），＝63（米）， 在Rt△DMH中 ，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 tan30°𝑀𝐻＝ 𝐷𝑀 建立方程，求解即可算出x的值，从而得出答案。
24．【答案】（1）解：∵点A和点P的坐标分别是（6，0），（x，y），
∴S＝ 1 ×6×y＝3y.
2∵x＋y＝8，∴y＝8－x.
∴S＝3（8－x）＝24－3x.∴S＝－3x＋24.∵点P在第一象限，∴x＞0，y＞0，即x＞0，8－x＞0.
∴0＜x＜8.图象如图所示．
（2）解：当x＝5时，S＝－3×5＋24＝9. （3）解：能．理由：令S＞24， 则－3x＋24＞24.解得x＜0.
∵由（2）得0＜x＜8，∴△OPA的面积不能大于24.
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式列式，即可用含x的解析式表示S，然后根
据S>0及已知条件，可求出x的取值范围，根据一次函数的性质可画出函数S的图像；（2）将x=5代入（1）中所求解析式，即可求出△OPA的面积；（3）根据一次函数的性质及自变量的取值范围即可判断。
25．【答案】（1）解：将A（-2，0），B（6，0）代入y=ax2+bx+6，得：
4𝑎―2𝑏+6=0
36𝑎+6𝑏+6=0 ，
𝑎=―12 ，解得：
𝑏=2
∴二次函数的解析式为y=- 1 x2+2x+6，
2∵y=- 1 x2+2x+6=- 1 （x-2）2+8，
22∴点C的坐标为（2，8）
1（2）解：当x=2时，y=- 2 x+3=2，
∴点D的坐标为（2，2），
过点D作DE⊥BC，垂足为点E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F，如图1所示．
∵抛物线的顶点坐标为（2，8），∴点F的坐标为（2，0），∵点B的坐标为（6，0），∴CF=8，
CD=6，DF=2，BF=4，BC= 𝐶𝐹2+𝐵𝐹2 =4
5 ，
BD= 𝐷𝐹2+𝐵𝐹2 =2
5 ∴sin∠BCF= 𝐵𝐹𝐵𝐶 = 𝐷𝐸4𝐶𝐷 ，即 45 = 𝐷𝐸6 ，
∴DE= 655 ，∴BE=
𝐵𝐷2―𝐷𝐸2 = 855 ，
85∴cot∠CBD= 𝐵𝐸𝐷𝐸 =
565 = 435（3）解：设直线PB与y轴交于点M，如图2所示．
，
∵∠PBA=∠CBD，
∴cot∠PBA= 𝑂𝐵=4 ，即 6=4 ，
𝑂𝑀3𝑂𝑀3∴OM= 9 ，2∴点M的坐标为（0， 9 ）或（0，- 9 ）
22，设直线BP的解析式为y=mx+n（m≠0），
6𝑚+𝑛=09将B（6，0），M（0， 2 ）代入y=mx+n，得： 𝑛=9 ，
2𝑚=―34 ，解得： 9𝑛=2∴直线BP的解析式为y=- 3 x+ 9 ，
42993同理，当点M的坐标为（0，- 2 ）时，直线BP的解析式为y=- 4 x+ 2 ，
𝑦=3𝑥―942 或 联立直线BP与抛物线的解析式成方程组，得： 12𝑦=―𝑥+2𝑥+62𝑦=―3𝑥+942 ，12𝑦=―𝑥+2𝑥+62𝑥1=―7𝑥1=―1𝑥=62 ， 𝑥2=6 ，2 ， 2 解得： 或𝑦2=0𝑦2=0𝑦1=39𝑦1=―5788∴点P的坐标为（- 1 ， 39 ）或（- 7 ，- 57 ）
2828．
【解析】，B（6，0）代入y=ax2+bx+6 ，求得a，b的值，即【分析】（1）把 A（-2，0）
可.
（2）根据点D时直线 y=- 1 x+3=2与对称轴的交点，可得，点D的坐标为（2，2），过
2点D作DE⊥BC，垂足为点E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F ，由 ∴sin∠BCF=
𝐵𝐹 =
𝐵𝐶𝐷𝐸
𝐶𝐷，可知，
DE= 65 ，进而求出BE的值，即可，求得∠CBD的余切值；
5 （3） 设直线PB与y轴交于点M， 根据 ∠PBA=∠CBD ，可知， cot∠PBA= 𝑂𝐵=
𝑂𝑀4 99 ，进而求得OM的值， 可得点M的坐标为（0， ）或（0，- ）322，根据待定系数法，
可得，直线BP的函数解析式， 联立直线BP与抛物线的解析式成方程组， 求得方程组的解，即可得到点P的坐标.
126．【答案】（1）物线的解析式为𝑦=2𝑥2―𝑥―4
1（2）解：过点Q作QT⊥x轴交于点T，𝑦=2𝑥2―𝑥―4中，
令x=0.得y=-4，
∵C（0，-4），设直线BC的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑛(k≠0)，∵B（4，0），C（0，-4），∴
4𝑘+𝑛=0𝑘=1
，解得𝑛=―4𝑛=―4
∴直线BC的解析式为𝑦=𝑥―4∵P’C交抛物线于另一点Q
∴设𝑄(𝑡，1𝑡2―𝑡―4)，则T(t，t―4)21𝑡2―𝑡―4)=―1𝑡2+2𝑡22111∴𝑆四边形𝑄𝐶𝑂𝐵=𝑆△𝑂𝐵𝐶+𝑆△𝑄𝐵𝐶=×4×4+(―𝑡2+2𝑡)222∴𝑄𝑇=𝑡―4―(
=―𝑡2+4𝑡+8=―(t―2)2+12
∵-1<0，
∴𝑆四边形𝑄𝐶𝑂𝐵有最大值，且当t=2时，∴𝑆四边形𝑄𝐶𝑂𝐵的最大值=12
（3）解：过点Q作QE⊥y轴于点E，过点P′作P′F⊥y轴于点f，∵OB=OC=4，∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．∴∠OBP′＝90°．∵∠BOC由翻折，得∠CBP′＝∠OCB＝45°，＝∠OFP′＝90°，∴四边形BOFP′是矩形，∴FP′＝OB＝4． ∵∠CEQ＝∠CFP′＝90°，∴EQ∥FP′，∴∵CQ∶QP′＝1：2，∴CQ∶CP′＝1：3，
∴EQ∶FP′＝1：3，即EQ＝1𝐹𝑃′=1×4=4．当x＝4时，
3333𝑦=
∴𝑄(4，―40)
39【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-4经过A（-2，0）、B（4，0）两点，
𝐸𝑄𝐶𝑄=，𝐹𝑃𝐶𝑃′1𝑥2―𝑥―4=1×(4)2―4―4=―40223394𝑎―2𝑏―4=0
∴16𝑎+4𝑏―4=0，
𝑎=1∴2，𝑏=―1
∴抛物线的解析式为y=1x2-x-4；
2（2）如图， 过点Q作QT⊥x轴交于点T，
令x=0，则y=-4，∴C（0，-4），
设直线BC的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑛(k≠0)，∵B（4，0），C（0，-4），∴
4𝑘+𝑛=0
𝑛=―4，
𝑘=1解得𝑛=―4，
∴直线BC的解析式为𝑦=𝑥―4，∵P’C交抛物线于另一点Q，
∴设𝑄(𝑡，1𝑡2―𝑡―4)，则T(t，t―4)，
21𝑡2―𝑡―4)=―1𝑡2+2𝑡22111∴𝑆四边形𝑄𝐶𝑂𝐵=𝑆△𝑂𝐵𝐶+𝑆△𝑄𝐵𝐶=×4×4+(―𝑡2+2𝑡)222∴𝑄𝑇=𝑡―4―(
=―𝑡2+4𝑡+8=―(t―2)2+12
∵-1<0，
∴𝑆四边形𝑄𝐶𝑂𝐵有最大值，且当t=2时，𝑆四边形𝑄𝐶𝑂𝐵的最大值=12；（3）如图， 过点Q作QE⊥y轴于点E，过点P′作P′F⊥y轴于点F，
∵OB=OC=4，∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
由折叠的性质得∠CBP′＝∠OCB＝45°，∴∠OBP′＝90°，∵∠BOC＝∠OFP′＝90°，∴四边形BOFP′是矩形，∴FP′＝OB＝4，∵∠CEQ＝∠CFP′＝90°，
∴EQ∥FP′，∴
𝐸𝑄𝐶𝑄=，𝐹𝑃𝐶𝑃′∵CQ∶QP′＝1：2，∴CQ∶CP′＝1：3，∴EQ∶FP′＝1：3，
即EQ＝1𝐹𝑃′=1×4=4，333 当x＝4时，𝑦=1𝑥2―𝑥―4=1×(4)2―4―4=―40，333922∴𝑄(4，―40).39【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得出答案；
（2） 过点Q作QT⊥x轴交于点T， 先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC1的解析式为𝑦=𝑥―4，设𝑄(𝑡，2𝑡2―𝑡―4)，则T(t，t―4)，求出QT的长，利用S四边形
QCOB=S△OBC+S△QBC
得出S四边形QCOB=-（t-2）2+12，再根据二次函数的性质即可得出答案；
44（3） 过点Q作QE⊥y轴于点E，过点P′作P′F⊥y轴于点F， 求出EQ=3，再把x=3代
入抛物线的解析式求出y的值，即可得出答案.
27．【答案】（1）解：延长𝐷𝐵，交𝑁𝐶于点H，如图，
∵𝐴𝑀//𝐶𝑁，𝐵𝐷⊥𝐴𝑀，∴𝐷𝐻⊥𝑁𝐶.
∴∠𝐵𝐻𝐶=90°.∵∠𝐵𝐶𝑁=𝛼=30°，∴∠𝐻𝐵𝐶=90°―∠𝐵𝐶𝑁=60°.∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，∴∠𝐴𝐵𝐶=90°.
∴∠𝐴𝐵𝐷=180°―∠𝐴𝐵𝐶―∠𝐻𝐵𝐶=30°；（2）解：延长𝐷𝐵，交𝑁𝐶于点H，如图，
∵𝐴𝑀//𝐶𝑁，𝐵𝐷⊥𝐴𝑀，∴𝐷𝐻⊥𝑁𝐶.∴∠𝐵𝐻𝐶=90°.∵∠𝐵𝐶𝑁=𝛼，∴∠𝐻𝐵𝐶=90°―𝛼.∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，∴∠𝐴𝐵𝐶=90°.
∴∠𝐴𝐵𝐷=180°―∠𝐴𝐵𝐶―∠𝐻𝐵𝐶=𝛼.∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐷，∴∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐸=1𝛼.
2∵∠𝐻𝐵𝐶=90°―𝛼，
∴∠𝐷𝐵𝐶=180°―∠𝐻𝐵𝐶=90°+𝛼.∵𝐵𝐹平分∠𝐷𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐵𝐹=∠𝐶𝐵𝐹=1∠𝐷𝐵𝐶=45°+1𝛼.
22∴∠𝐸𝐵𝐹=∠𝐷𝐵𝐹―∠𝐷𝐵𝐸=45°+1𝛼―1𝛼=45°；
22（3）解：∵∠𝐵𝐶𝑁=𝛼，
∴∠𝐻𝐶𝐵=180°―∠𝐵𝐶𝑁=180°―𝛼.∵𝐶𝐹平分∠𝐵𝐶𝐻，
∴∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐻𝐶𝐹=1∠𝐻𝐶𝐵=90°―1𝛼.
22∵𝐴𝑀//𝐶𝑁，
∴∠𝐷𝐹𝐶=∠𝐻𝐶𝐹=90°―1𝛼.
2∵∠𝐵𝐹𝐶=3∠𝐵𝐶𝑁，∴∠𝐵𝐹𝐶=3𝛼.
∴∠𝐷𝐹𝐵=∠𝐷𝐹𝐶―∠𝐵𝐹𝐶=90°―7𝛼.
21由（2）知：∠𝐷𝐵𝐹=45°+2𝛼.
∵𝐵𝐷⊥𝐴𝑀，∴∠𝐷=90°.
∴∠𝐷𝐵𝐹+∠𝐷𝐹𝐵=90°.∴45°+1𝛼+90°―7𝛼=90°.
22解得：𝛼=15°.
∴∠𝐹𝐵𝐶=∠𝐷𝐵𝐹=45°+𝛼=52.5°.
∴∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐹𝐵𝐶+∠𝐸𝐵𝐹=52.5°+45°=97.5°.
【解析】【分析】（1）延长DB，交NC于点H，利用平行线的性质可求得∠BHC的度数，
根据直角三角形两锐角互余求出∠HBC的度数，再由平角的定义可求解；
（2）延长DB，交NC于点H，利用（1）中的方法求出∠DBA，再根据角平分线的定义和角的构成∠EBF=∠DBF-∠DBE可求解；
（3）由角平分线的定义和平行线的性质用α分别表示∠BFC，∠DFC和∠DBF，在△DBF中利用三角形的内角和定理可列关于α的方程，解方程可得α的值，再根据角的构成∠EBC=∠CBF+∠FBE可求解
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