常微分方程在数学建模中的应用 (2)

常微分方程在数学建模中的应用

欧阳瑞１

（１．周口师范学院

河南周口・

孙要伟２

河北秦皇岛・

４６６００１；２．燕山大学０６６００４）

摘【要】应用微分方程理论建立实际问题的数学模型，越来越受到人们的关注。本文介绍了利用常微分方程理论建立传

微分方程

传染病模型

新产品推广模型

染病模型，新产品推广模型的过程。

关键词】数学建模【

中图分类号】【０１７２

文献标识码】【Ａ

文章编号】【１００９－８５３４（２００８）０２－０１４６－０２

一、引言

数学建模（Ｍａｔｈｍａｔｉｃａｌ

到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄

Ｍｏｄｅｌｉｎｇ）是用数学方法解决各向人类袭来。２０世纪８０年代艾滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延；２００３年春来历不明的ＳＡＲＳ病毒突袭人间，给人民的生命财产造成极大的危害；２００５年禽流感病毒爆发，再次威胁人民生命财产安全。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。

模型１．在这个最简单的模型里，设时刻ｔ的病人数ｘ（ｔ）是连续、可微函数，并且每天每个病人有效接触（足以使人致病的接触）的人数为常数!，考察ｔ到ｔ＋△ｔ病人人数的增加，就有ｘ（ｔ＋△ｔ）－ｘ（ｔ）＝!ｘ（ｔ）△ｔ

再设ｔ＝０时有ｘ个病人，即得微分方程

种实际问题的桥梁，随着计算机的发明和计算机技术的飞速发展，数学的应用日益广泛，数学建模的作用也越来越重要，而且已经渗透到各个领域，可以毫不夸张的说，数学和数学建模无处不在。数学建模的分类方法有许多种，按照建模所应用的数学方法不同，可分为：初等模型，运筹学模型，微分方程模型，概率统计模型，控制论模型等。

在数学建模中，数学模型的建立尤为重要，只有建立了模型，才能进行其他的工作。微分方程作为数学科学的中心学科，已经有３００多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵，微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段。对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组来表示。

二、常微分方程在数学建模中的应用

当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来状态、研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析做出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。下面我们就通过几个例子来说明这一过程。

ｄｘ＝!ｘ，ｘ（０）＝ｘ

０

ｄｔ方程（１）的解为ｘ（ｔ）＝ｘ０ｅ!ｔ

这显然是不符合实际的。

（１）（２）

结果表明，随着时间ｔ的增加，病人的人数ｘ（ｔ）无限增长，建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群里，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型里必须区别这两种人。

模型２（ＳＩ模型）假设条件为：

其一，在疾病传播期内所考察地区的总人数Ｎ不变，既不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者（Ｓｕｓｃｅｐｔｉｂｌｅ）和已感染者（Ｉｎｆｅｃｔｉｖｅ）两类，以下简称健康者和病人。时刻ｔ这两种人在总人数中所占比例分别记作ｓ（ｔ）和ｉ（ｔ）。

其二，每个病人每天有效接触的平均人数是常数!，!称为日接触率。当病人和健康者有效接触时，使健康者受感染变成病人。

１．传染病模型

随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾肆虐全球的传染性疾病已经得

\"［收稿日期］２００８－２－３

［作者简介］欧阳瑞（１９７９－），男，河南许昌人，燕山大学在读硕士研究生，周口师范学院数学与信息科学系助教；主要从事微分方

程与差分方程理论研究。

孙要伟（１９７９－），男，河南平顶山人，在读硕士研究生，燕山大学理学院助教；主要从事神经网络研究。

１４６第１１卷・第２期

宿州教育学院学报

Ｖｏｌ．１１，Ｎｏ．２Ａｐｒ．２００８

２００８年４

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｕｚｈｏｕＥｄｕｃａｔｉｏｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅ

dx根据假设，每个病人每天可使!ｓ（ｔ）个健康者变为病人，因为病人数为Ｎｉ（ｔ），所以每天共有!Ｎｓ（ｔ）ｉ（ｔ）个健康者被感染，于是!Ｘｓｉ就是病人数Ｎｉ（ｔ）的增长率，既有

（８）=Kx(N－−x)＝dt其中常数Ｋ＞０为比例系数。这仍然是一个Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型，分离变量，积分，可以解得

Ｎｄｉ＝!Ｎｓｉｄｔ

又因为ｓ（ｔ）＋ｉ（ｔ）＝１

（３）（４）

从而有以及

x(t)＝==＝NÂ1＋+Ce−Á （９）

dx再记初始时刻（ｔ＝０）病人的比例为ｉ０，则

dtÂCNÁKe−Á（１０）ÂÁ+Ce−Á(1＋)ｄｉ＝!ｉ（１－ｉ），ｉ（０）＝ｉ

０

ｄｔ

为

ÂÂ dÁxCKÁNÂe−Á(Ce−Á−1)－（５）

=＝（１１）Â(1＋)ÁdtÁ+Ce−Á这个模型称为Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型，解这个微分方程可得它的解

当时０＜ｘ（ｔ＊）＜Ｎ，有ｄｘ＞０，即销量ｘ（ｔ）单调增加。当Ｃｅ－ＫＮｔ＊－

ｄｔ

i(t)＝=11＋+(1－−1)e−λi（６）

２２

＝０；当ｘ（ｔ＊）＞Ｎ时，ｄｘ＜０；ｘ（ｔ＊）＜Ｎ１＝０，即ｘ（ｔ＊）＝Ｎ时，ｄｘ２２

２２２ｄｔｄｔ２

时，ｄｘ＞０，即当销量达到最大需求量Ｎ的一半时，产品最为２

由（５），（６）式可知，当时ｉ＝１时ｄｉ达到最大值（ｄｉ）ｍ，这

ｄｔ

２ｄｔｄｔ

畅销；当销量不足Ｎ一半时，销售速度不断增加；当销量超过一半时，销售速度逐渐减少。

国外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线都与公式（９）的曲线十分接近。根据对曲线性状的分析，分析家认为，在新产品推出的初期应采用小批量生产并加大广告宣传；而在产品用户达到２０％到８０％期间，产品应大批量生产；而在产品用户超过８０％时，应适时转产，可以达到最大的经济效益。

三、结束语

利用微分方程理论针对各种实际问题建立的数学模型，一般而言都是动态模型，虽然它的推导过程稍显繁琐，但是其结果却相当简明，并且可以给出合理的解释。参考文献：

个时刻为

ｔｍ＝!－１１ｎ（１－１）

ｉｏ

（７）

这时病人增加的最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。ｔｍ与!成反比，因为日接触率!表示该地区的卫生水平，!越小卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。

２．新产品推广模型

在经济学和管理科学中，经常涉及到有关经济量的变化、增长、边际等问题，可以结合实际建立微分方程的模型。通过求解方程，就可以描述出经济量的变化规律并做出决策和预测分析。常见的数学模型主要包括新产品的推广模型、价格调整模型和人才分配模型。下面重点介绍新产品推广模型。

模型３．设有某种新产品要推向市场，ｔ时刻的销量为ｘ（ｔ），由于产品性能良好，每个产品都是一个宣传品，因此产品ｔ销量的增长率ｄｘ与ｘ（ｔ）成正比。同时考虑到产品销售存在一

ｄｔ定的市场容量Ｎ，统计表明，ｄｘ与尚未购买该产品的顾客潜在

［１］王高雄．常微分方程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９８．［２］姜启源，谢金星，叶俊．数学建模［Ｍ］．北京：高等教育出版

社，２００３．

［３］杨启帆，边馥萍．数学模型［Ｍ］．杭州：浙江大学出版社，１９９０．

［４］东北师大微分方程教研室．常微分方程［Ｍ］．北京：高等教

育出版社，２００５．

ｄｔ

的销售数量Ｎ－ｘ（ｔ）也成正比，于是有

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（上接１４３页）

简单、比较容易答得准确的问题可以让基础较差、接受能力也较差的学生回答；一些比较复杂、难度较大的问题，则让基础较好、接受能力较强的学生回答。当学生回答正确时，要予以肯定、赞许或表扬；当回答不符合要求时，要肯定其中正确的部分并和善地指出其不足之处或谬误之处，给予适当的鼓励，切勿过多地指责和苛刻的批评。让学生出来演练动作也应如此，演练得好要予以肯定、赞许或表扬，同时又要引导学生不能自满，对演练不成功或动作不规范者，要和蔼地指出什么地方不够规范，不成功的原因是什么，鼓励他们增强信心，加强针对性的训练，增强他们的信心。

综上所述，我们在努力推进新课程改革“一切为了每一

参考文献：

位学生的发展”这一培养目标实现的过程中，要不断地加强学习，更新教育理念，努力形成与新课程相适应的素质结构和工作方式，提高教学质量，让学生在体育教学中受到情的感染、爱的激励，美的享受，让他们在兴奋中发扬成绩，在微笑中认识不足，在激励与期待中增强信心，不断焕发前进的力量，让情感教育落到实处。

［１］刘晓明，王丽容．新课程与教师心理素质［Ｍ］．长春：东北师

范大学出版社，２００４．

［２］余文森，吴刚平．新课程的深化与反思［Ｍ］．北京：首都师范

大学出版社，２００４．

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