基础过关练
题组一 一元二次不等式的解法
1.(2019山东菏泽高二期末)不等式-x2-5x+6≥0的解集为( ) A.{x|-6≤x≤1} B.{x|2≤x≤3} C.{x|x≥3或x≤2} D.{x|x≥1或x≤-6} 2.(2019广东汕头高一期末)已知集合
M={0,1,2,3,4},N={x|(x-2)(x-5)<0},则M∩N=( ) A.{3,4} B.{2,3,4,5} C.{2,3,4} D.{3,4,5}
3.(2019广东实验中学高一期末)不等式A.{x|0≤x≤2} B.{x|0 1>1𝑥-1 2-𝑥≥0𝑥 的解集为( ) 的解集为 . 5.(2020天津高一期末)设集合A={x|x2-x-6>0},B={x|-4<3x-7<8}. (1)求A∪B,A∩B; (2)已知集合C={x|a 6.(2019河南商丘九校联考高二期末)已知关于x的不等式ax+b>0的解集是{x|x<-1},则关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0的解集是( ) A.{x|1 7.若0 𝑡A.{𝑥| 8.已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是( ) A.{x|x<5a或x>-a} B.{x|x>5a或x<-a} C.{x|-a 1 1 1 1 1 题组三 三个“二次”之间的关系 10.(2020河南洛阳高二期末)已知不等式x2+ax+b≤0的解集为{x|2≤x≤3},则a+b=( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 11.若y=-x2+mx-1的函数值有正值,则m的取值范围是( ) A.m<-2或m>2 B.-2 13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则y>0的解集为( ) A.{x|-2 14.(2020北京朝阳高一期末)若集合A={x|x2-ax+2<0}=⌀,则实数a的取值范围是 . 15.(2020湖南雅礼中学10月检测)若二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+1的图象与x轴的两个交点分别为(x1,0),(x2,0),且x1,x2都大于1. (1)求实数k的取值范围; (2)若1=,求k的值. 题组四 一元二次不等式的实际应用 16.将进货价为每个80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,每涨价1元,销售量就减少20个,为了使商家利润有所增加,则售价a(元/个)的取值范围应是( ) 𝑥1𝑥22 A.90 18.现要规划一块长方形绿地,且长方形绿地的长与宽的差为30米.若使长方形绿地的面积不小于4 000平方米,则这块绿地的长与宽至少应为多少米? 19.一个小型服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本R=(500+30x)元. (1)该厂的月产量为多少时,月获得的利润不少于1 300元? (2)当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元? 能力提升练 题组一 三个“二次”的综合应用 1.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末, )已知关于x的不等式 (a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,则实数a的取值范围是( ) A.{𝑎|-2≤a≤ 6 6 } B.{𝑎|-25 ≤a< 6 } 5 C.{𝑎|- )若关于x的不等式ax2+bx+c>0 的解集为{x|-1 (2)若m>0,y<0的解集为{x|a )已知函数y=x2-x+m. 4.(2020山东济南历城二中10月月考,x2-2mx+m+2≤0(m∈R)的解集为M. (1)当M为空集时,求m的取值范围; 𝑚2+2m+5 (2)在(1)的条件下,求的最小值; 𝑚+1 )已知关于x的不等式 (3)当M不为空集,且M⊆{x|1≤x≤4}时,求实数m的取值范围. 题组二 一元二次不等式的恒(能)成立问题 5.(2020河南郑州高二期末, )已知不等式-2x2+bx+c>0的解集是 {x|-1 的取值范围是( ) A.{a|a≤-2} B.{a|a≥-2} C.{a|a≥-6} D.{a|a≤-6} 7.( )若kx2-6kx+(k+8)≥0(k为常数)对一切x∈R恒成立,则k的取值 范围是( ) A.0≤k≤1 B.0 )若不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ 的取值范围为 . 9.(2020北京师大附中高二期中,y<0的解集为{x|1 )设函数y=x2+mx+n,已知不等式 10.()已知关于x的不等式2kx2+kx-<0. 32 38 (1)若不等式的解集为{𝑥|- 答案全解全析 基础过关练 1.A 不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1, ∴不等式的解集为{x|-6≤x≤1}.故选A. 2.A N={x|(x-2)(x-5)<0}={x|2 𝑥-1 1 2-𝑥 ∴不等式>1的解集为{x|1 5.解析 A={x|x2-x-6>0}={x|x<-2或x>3},B={x|-4<3x-7<8}={x|1 𝑎<2𝑎+1, ②当C≠⌀时,若满足C⊆B,则{𝑎≥1,解得1≤a≤2.由①②可知, 2𝑎+1≤5,满足C⊆B的实数a的取值范围是{a|a≤-1或1≤a≤2}. 6.A ∵关于x的不等式ax+b>0的解集是{x|x<-1}, 𝑎<0,∴{𝑏∴b=a<0, -=-1, 𝑎 ∴关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0可化为(𝑥-)(x-2)<0, 𝑎即(x-1)(x-2)<0,解得1 𝑡∴(x-t)(𝑥-)<0. 𝑡 ∵0 1 1 1 1 𝑏 8.A 方程x2-4ax-5a2=0的两根为-a,5a. 因为2a+1<0,所以a<-,所以 2 1 -a>5a.结合二次函数y=x2-4ax-5a2的图象,得原不等式的解集为{x|x<5a或x>-a},故选A. 9.解析 (1)当a=2时,原不等式可化为x2-5x+6≤0,得(x-3)(x-2)≤0,解得2≤x≤3,所以A={x|2≤x≤3}.又因为B={x|-2 11.A ∵y=-x2+mx-1的函数值有正值, ∴Δ=m2-4>0,∴m>2或m<-2.故选A. 12.D 由题意知-2,3是关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根,∴-2+3=-,-2×3=,∴m=-2,n=-12.故选D. 2 2 𝑚 𝑛 13.B 由题图知y>0的解集为{x|-1 ∴x1+x2=2k+1,x1x2=k2+1. 又x1>1,x2>1, 𝛥=[-(2𝑘+1)]2-4(𝑘2+1)>0,∴{𝑥1+𝑥2>2, (𝑥1-1)(𝑥2-1)>0,可得k>,且k≠1. 43 ∴实数k的取值范围是kk>且k≠1. 4 3 𝑥1+𝑥2=2k+1,𝑥1=, 3 (2)由{𝑥1=1得{4𝑘+2 𝑥2=,𝑥22 3 2𝑘+1 ∴x1x2= 2𝑘+13 · 4𝑘+23 =k2+1, 即k2-8k+7=0,解得k1=7,k2=1(舍去). ∴k的值为7. 16.A 设每个涨价x元,涨价后的利润与原利润之差为y元,则a=x+90,y=(10+x)·(400-20x)-10×400=-20x2+200x.要使商家利润有所增加,则必须使y>0,即x2-10x<0,得0 18.解析 设长方形绿地的长与宽分别为a米与b米.由题意可得a-b=30①,ab≥4 000②, 由①②可得b2+30b-4 000≥0,即(b+15)2≥4 225, 解得b+15≥65或b+15≤-65(舍去),所以b≥50, 所以b至少为50,则a至少为80, 所以这块绿地的长至少为80米,宽至少为50米. 19.解析 (1)设该厂的月获利为y元,依题意得y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500. 由y≥1 300知,-2x2+130x-500≥1 300, ∴x2-65x+900≤0,解得20≤x≤45. ∴当月产量在20件至45件(包括20件和45件)之间时,月获利不少于1 300元. (2)由(1)知y=-2x2+130x-500 =-2(𝑥-)+1 612.5. 2 ∵x为正整数,∴当x=32或x=33时,y取得最大值1 612元, ∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润1 612元. 能力提升练 65 2 1.C 若a2-4=0,则a=±2.当a=2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-1≥0,其解集为空集,因此a=2满足题意; 当a=-2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-4x-1≥0,即x≤-,其解集不 41 为空集,因此a=-2不满足题意,应舍去. 若a2-4≠0,则a≠±2. ∵关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集, 𝑎2-4<0,∴{ 𝛥=(𝑎-2)2+4(𝑎2-4)<0,解得- 综上,a的取值范围是{𝑎|- 6 故选C. 2.BC 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1 𝑎 𝑏 𝑐 则b=-a,c=-2a. 由a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax,得ax2-3ax<0. 因为a<0,所以x2-3x>0,解得x<0或x>3, 所以不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为{x|x<0或x>3}.故选BC. 3.解析 (1)当m=-2时,y=x2-x+m=x2-x-2, 当y>0时,x2-x-2>0. 由x2-x-2=0得x1=-1,x2=2, ∴不等式y>0的解集为{x|x<-1或x>2}. (2)∵y<0的解集为{x|a 𝑎 𝑏𝑏4𝑎14 1 4 ≥5+2√·=9. 𝑎 𝑏 𝑏4𝑎 当且仅当a=,b=时,等号成立. 3 3 12 故+的最小值为9. 𝑎𝑏 14 4.解析 (1)∵M为空集, ∴Δ=4m2-4(m+2)<0,即m2-m-2<0, 解得-1 = 𝑚+1 =(m+1)+ 4 4 𝑚+1 ≥2√(𝑚+1)· 4 𝑚+1 =4, 当且仅当m+1=∴ 𝑚2+2m+5𝑚+1 𝑚+1 ,即m=1时等号成立. 的最小值为4. (3)设函数y=x2-2mx+m+2,结合其图象可知, 当M不为空集时,由M⊆{x|1≤x≤4},得 𝛥=4𝑚2-4(m+2)≥0, 2 1-2m+m+2≥0, 2 4-8m+m+2≥0,{1≤𝑚≤4, 解得2≤m≤. 718 综上,实数m的取值范围为{𝑚|2≤m≤}. 7 5.B 由题意知-1和3是关于x的方程-2x2+bx+c=0的两个实数根,则-2-𝑏+𝑐=0, { -18+3𝑏+𝑐=0, 𝑏=4,解得{则-2x2+bx+c=-2x2+4x+6. 𝑐=6, 由-2x2+bx+c+t≤4得t≤2x2-4x-2.当-1≤x≤0时,-2≤2x2-4x-2≤4,则t≤-2. 6.A 不等式x2-4x-2-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解等价于1≤x≤4时,a≤(𝑥2-4x-2)max. 18 当1≤x≤4时,-6≤x2-4x-2≤-2,所以a≤-2.故选A. 7.A 由已知得,当k=0时,原不等式为8≥0,显然恒成立; 当k≠0时, 𝑘>0, 需满足{ 𝛥=36𝑘2-4k(k+8)≤0, 解得0 解析 因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以 a2+8b2-λb(a+b)≥0恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0恒成立,将其看作关于a的一元二次不等式,可得Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,所以λ2+4λ-32≤0,解得-8≤λ≤4. 9.解析 (1)由题意知x1=1,x2=4是关于x的方程x2+mx+n=0的两个根, 所以-m=x1+x2=5,n=x1·x2=4, 故m=-5,n=4. (2)由(1)得y=x2-5x+4, 则x2-5x+4≥ax对任意x>0恒成立, 即a≤x+-5对任意x>0恒成立. 𝑥4 又因为x+≥2√𝑥·=4(当且仅当x=2时,等号成立), 𝑥 𝑥 44 所以x+-5≥-1,所以a≤-1. 𝑥 4 10.解析 (1)因为关于x的不等式2kx2+kx-<0的解集为{𝑥|- 2 33 1}, 所以k≠0,且-和1是关于x的方程2kx2+kx-=0的两个实数根,则 2 8 3 3 -×1=,解得k=. 2 2𝑘 8 3 - 3 81 (2)因为关于x的不等式2kx2+kx-<0恒成立,所以k=0或 8 3 2𝑘<0, {2 𝛥=𝑘+3k<0,即k=0或-3 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容