《数学分析选论》习题全解 模拟试题及答案

《 数学分析续论 》模拟试题及答案

一、 单项选择题（65）

（１）设an 为单调数列，若存在一收敛子列anj，这时有 ．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．limanliman； Ｂ．an不一定收敛； Ｃ．an不一定有界；

njj Ｄ．当且仅当预先假设了an为有界数列时，才有Ａ成立．

（２）设f(x)在R上为一连续函数，则有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]

Ａ．当I为开区间时f(I)必为开区间； Ｂ．当f(I)为闭区间时I必为闭区间； Ｃ．当f(I)为开区间时I必为开区间； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立． （３）设f(x)在某去心邻域U(x0)内可导．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]

Ａ．若limxx0 f(x)A存在，则f(x0)A；Ｂ．若f在x0连续，则A成立；

f(x)A；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．

Ｃ．若f(x0)A存在，则limxx0 （４）设f(x)在[a,b]上可积，则有 ．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]

Ａ．f(x)在[a,b]上必定连续； Ｂ．f(x)在[a,b]上至多只有有限个间断点； Ｃ．f(x)的间断点不能处处稠密； Ｄ．f(x)在[a,b]上的连续点必定处处稠密．

 （５）设

n1un为一正项级数．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[

]

Ａ．若limun0,则 un收敛； Ｂ．若

nn1n1un收敛，则limun1un1；

nC．若

n1un收敛，则limnun1； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．

n

1

二、计算题（104）

（１）试求下列极限：

2tedt0x2①lim13(2n1)n； ② lim．

nn3xx2e2tdt0 （２）设

ex2y2uxu01y,f(u)2,arctan． yx试求f(u)与f(u0)． （３）试求由曲线 yx21，直线x2，以及二坐标轴所围曲

边梯形的面积 S．

（４）用条件极值方法（Lagrange乘数法）导出从固定点(x0,y0)AxByC0的距离计算公式．

三、证明题（103）

（１）设f(x)与g(x)在[a,b]上都连续．试证：若

f(a)g(a),f(b)g(b)，

则必存在x0(a,b)，满足f(x0)g(x0)．

（２）证明f(x)xlnx在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：

ababccaabbcc3,

其中 a,b,c均为正数．( 提示：利用詹森不等式．)

（３） 证明：

2

到直线

n0(1)n2n14．

解 答

一、［答］（１）Ａ； （２）Ｃ； （３）Ｂ； （４）Ｄ； （５）Ｄ． 二、［解］

（１） ① limn13(2n1)n33nnlim3； nn3

②

limx2tedt0x22elimxx2x02x2edt2t2x0e2t2dtex

limxlimx2edt0t2ex22ex22xex0.

2xex2y2（２） f(u)yx2y22yex2xy22xy2,2e5f(u0)25y 54e． 15

（３）所围曲边梯形如右图所示．其面积为

12S0(1x)dx321(x32yx21)dx21 x(x31)0

2.x(3y1x 2x)1

2O 1 2 x （４）由题意，所求距离的平方（d）为(xx0)2(yy0)2的最小值，其中(x,y)需满足AxByC0，故此为一条件极小值问题．

依据 Lagrange 乘数法，设

L(xx0)

2(yy0)3

2(AxByC)，

并令

 Lx2(xx0)A0,Ly2(yy0)B0, （Ｆ） LAxByC0.由方程组（Ｆ）可依次解出：

xx0A2,yy02B2(A2,B),2CAxByAx0By02Ax0By0CA22B22,222

(A2(xx0)d(yy0)24B)(Ax0By0C)A22B.2,(xx0)(yy0)Ax0By0CA2B2最后结果就是所求距离d的计算公式．

注 上面的求解过程是由（Ｆ）求出后直接得到d2，而不再去算出x与y的值，这是一种目标明确而又简捷的解法． 三、［证］（１）只需引入辅助函数：

h(x)f(x)g(x)．

易知h(x)在[a,b]上连续，满足h(a)0,h(b)0，故由介值性定理（或根的存在定理），必存在x0(a,b)，满足h(x0)0，即f(x0)g(x0)．

（２）f(x)xlnx的定义域为(0,)，在其上满足：

f(x)lnx1,f(x)10,xx(0,)，

所以f(x)为一严格凸函数．根据詹森不等式，对任何正数a,b,c，恒有

abc3ln(ln(3abc3))13(alnablnbclnc)abcabcabc

ln(abc).最后借助函数lnx的严格递增性，便证得不等式

abc3

abcabcabc．

4

（３）由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级数的

和．此时可以考虑把该级数的和看作幂级数S(x)n0(1)xn2n12n1在x1处的值，

于是问题转为计算S(x)．

不难知道上述幂级数的收敛域为[1,1]，经逐项求导得到

S(x)(1)n0nx2n,x[1,1]；

这已是一个几何级数，其和为

S(x)(xn02)n11x2,x[1,1]．

再通过两边求积分，还原得

xxS(x)S(0)0S(t)dt011t2dtarctanx,

由于这里的S(0)0，于是求得



n0(1)n2n1S(1)arct1an4．

5