线性代数试题集与答案解析(二)

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 第1题

A. A的主子式全大于零 B. A没有负的特征值 C. 负惯性指数为零 D. 正惯性指数为n 【正确答案】 D

【你的答案】

本题分数 2 分

第2题

A. 1 B. 12 C. -24 D. 24 【正确答案】 D

【你的答案】

本题分数 2 分

第3题

【正确答案】 C

【你的答案】

本题分数 2 分

第4题

【正确答案】 C

【你的答案】

本题分数 2 分

第5题

A. k≠-1 B. k≠3

C. k≠-1且k≠3 D. k≠-1或k≠3

【正确答案】 C 【你的答案】

本题分数 2 分

第6题 实对称矩阵A正定的充分必要条件为（） A. |A|＞0

B. A的所有顺序主子式非负 C. A的正惯性指数为n D. A的负惯性指数为0

【正确答案】 C

【你的答案】

本题分数 2 分

第7题

A. 0或1 B. 1或2 C. 0或2 D. 2 【正确答案】 C

【你的答案】

本题分数 2 分

第8题 初等矩阵（） A. 都是可逆阵

B. 所对应的行列式值为1 C. 相乘仍是初等阵 D. 相加仍是初等阵

【正确答案】 A

【你的答案】

本题分数 2 分

第9题

【正确答案】 C

【你的答案】

本题分数 2 分

第10题

【正确答案】 C

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

第1题 题中空白处答案应为：___

【正确答案】 3 【你的答案】

本题分数 2 分

你的得分

第2题 题中空白处答案应为：___

修改分数

【正确答案】 【你的答案】

本题分数 2 分

你的得分

第3题 题中空白处答案应为：___

修改分数

【正确答案】 -5 【你的答案】

本题分数 2 分

你的得分

第4题 题中空白处答案应为：___

修改分数

【正确答案】 3 【你的答案】

本题分数 2 分

你的得分

第5题 题中空白处答案应为：___

修改分数

【正确答案】 a＞1 【你的答案】

本题分数 2 分

你的得分

修改分数

第6题 图中空白处应填的答案为：________

【正确答案】 k≠-2且k≠1 【你的答案】

本题分数 2 分

你的得分

第7题 ___

修改分数

【正确答案】 【你的答案】

本题分数 2 分

你的得分

修改分数

第8题 ___

【正确答案】 【你的答案】

本题分数 2 分

你的得分

第9题 ___

修改分数

【正确答案】 【你的答案】

本题分数 2 分

你的得分

第10题 ___

修改分数

【正确答案】

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

第1题

【正确答案】

【你的答案】 本题分数

9 你的得分 分

第2题

修改分数

【正确答案】 【你的答案】

本题分数 9 分

你的得分

第3题

修改分数

【正确答案】 【你的答案】

本题分数 9 分

你的得分

第4题

修改分数

【正确答案】 提示：k=5. 【你的答案】

本题分数 9 分

你的得分

修改分数

第5题

【正确答案】

【你的答案】

本题分数 9 分

你的得分

第6题

【正确答案】 【你的答案】

修改分数

四、证明题（本题6分） 第1题

【正确答案】

【你的答案】

一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）

10011. 设A00030000，则A＝ .1008

2. A为n阶方阵,AAT=E且A0,则AE . 122, B为三阶非零矩阵，且AB=O，则 . 4t33．设方阵At3114. 设向量组1,2,,m线性无关，向量不能由它们线性表示，则向量组1,2,,m, 的秩为 .

5．设A为实对称阵，且|A|≠0，则二次型f =x TA x化为f =yTA-1 y的线性变换是x= ． ６．设R3的两组基为a11,1,1T，a21,0,1，a31,0,1；1(1,2,1,)T

，

22,3,4,33,4,3，则由基a1,a2,a3到基1,2,3

的过渡矩阵为 .

二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）

1. 设Dn为n阶行列式，则Dn＝0的必要条件是[ ].

(A) Dn中有两行元素对应成比例； (B) Dn中各行元素之和为零；

(C) Dn中有一行元素全为零；

(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．

2．若向量组，， 线性无关，，， 线性相关，则[ ]. (A) 必可由，， 线性表示；

(B) 必可由，， 线性表示； (C) 必可由，， 线性表示； (D) 必可由，， 线性表示.

３．设3阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1AP＝[ ].

100； (B)010(A)000 000； (D)010 (C) 00－1

000010； 001100000． 00－1４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ ].

(A)α1，α2，α3 - α1； (B)α1，α1+α2，α1+α3； (C)α1+α2，α2+α3，α3+α1； (D)α1-α2，α2-α3，α3-α1. ５．若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0，则A的秩Ｒ(A) =[ ]. (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4．

６．实二次型f＝xTAx为正定的充分必要条件是 [ ].

(A) A的特征值全大于零； (B) A的负惯性指数为零； (C) |A| > 0 ； (D) R(A) = n .

三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）

1b1000的值. b31b311b1b21.求D011b2001

２. 求向量组1(1,1,1,4),2(2,1,3,5),3(1,1,3,2),4(3,1,5,6)的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.

100,若P=(α,α,α), 010３.设A、P均为3阶矩阵，且PTAP=123

000Q=(α1+α2,α2,α3),求QTAQ．

4．设A是n阶实对称矩阵，A22AO，若R(A)k(0kn)，求A3E.

220相似于对角矩阵，求a. 82a5.设矩阵A=006x1a1x2a12x3a13，23x1a2x2a2x3a2，四、（本题满分10分）对线性方程组 23x1a3x2a3x3a3，23x1a4x2a4x3a4.(1) 若a1,a2,a3,a4两两不等，问方程组是否有解，为什么？

(2)若a1a3b, a2a4b (b0)，且已知方程的两个解1(1,1,1)T, 2(1,1,1)T，试给出方程组的通解．

xQ，y五、（本题满分8分）设二次曲面方程axy2xz2byz1（a0）经正交变换z化成22221，求a、b的值及正交矩阵Q.

六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，α为A的对应于实特征值λ的特征向量，β为

AT的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．

卷参考答案

一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）

10011. 设A00030000，则A＝ 2 .1008

2. A为n阶方阵,AAT=E且A0,则AE 0 . 122, B为三阶非零矩阵，且AB=O，则 -3 . 4t33．设方阵At3114. 设向量组1,2,,m线性无关，向量不能由它们线性表示，则向量组1,2,,m, 的秩为 m+1 .

5．设A为实对称阵，且|A|≠0，则二次型f =x TA x化为f =yTA-1 y的线性变换是x=____A1y__ ． ６

．

设

R3的两

组基为

a11,1,1T，

a21,0,1，

a31,0,1；

1(1,2,1,)T,22,3,4,33,4,3，则由基a1,a2,a3到基1,2,3的过渡

342． 010矩阵P=101

二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）

1. 设Dn为n阶行列式，则Dn＝0的必要条件是[ D ].

(A) Dn中有两行元素对应成比例； (B) Dn中各行元素之和为零；

(C)Dn中有一行元素全为零；(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解． 2．若向量组，， 线性无关，，， 线性相关，则[ C ].

(A) 必可由，， 线性表示. (B) 必可由，， 线性表示.

(C) 必可由，， 线性表示. (D) 必可由，， 线性表示.

３．设3阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1

AP＝[ B ].

100000000100； (B)010； (C) 010；(D)000． 010(A)00－100100－1000  ４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ D ]．

（A）α1，α2，α3 - α1； （B）α1，α1+α2，α1+α3； （C）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （D）α1-α2，α2-α3，α3-α1. ５．若矩阵A34有一个3阶子式不为0，则[ C ].

（A）Ｒ(A)=1； （B） Ｒ(A)=2； （C） Ｒ(A)=3；（D） Ｒ(A)=4 ． ６．实二次型f＝xAx为正定的充分必要条件是 [ A ]． (A) A的特征值全大于零； (B) A的负惯性指数为零； (C) |A| > 0 ； (D) R(A) = n.

三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）

11.求Db1000的值 b31b300b31b31b10001000b2100b31b10001000b21000b311.

11b1b2011b201b100101b2解：D011b200111b3２. 求向量组1(1,1,1,4),2(2,1,3,5),3(1,1,3,2),4(3,1,5,6)的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.

解：极大无关组1,2， 32231，4221.

100,若 010３.设A、P均为3阶矩阵，且PTAP=000P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3),求QTAQ．

解：由于

100100P110, 110Q=(α1+α2,α2,α3)= (α1,α2,α3) 001001于是QTAQ=

100100110100AP110010PTAP110 P110001001001001110100100210010110110. 010001000001000

4．设A是n阶实对称矩阵，A22AO，若R(A)k(0kn)，求A3E.

T解: 由A22AO知, A的特征值-2或0,又R(A)k(0kn),且A是n阶实对称矩阵,则

2A~nk(k个-2)，故A3E3． 020220相似于对角矩阵，求a. 82a5.设矩阵A=006解： 由|A-λE|=0，得A的三个特征值λ1=λ2=6，λ3= -2.由于A相似于对角矩阵，R（A-6E）=1，即

42021084a~00a， 000000

显然，当a=0时，R（A-6E）=1，A的二重特征值6对应两个线性无关的特征向量．

x1a1x2a12x3a13，23x1a2x2a2x3a2， 四、（本题满分10分）对线性方程组 23x1a3x2a3x3a3，23x1a4x2a4x3a4.(1) 若a1,a2,a3,a4两两不等，问方程组是否有解，为什么？

(2)若a1a3b, a2a4b (b0)，且已知方程的两个解1(1,1,1)T, 2(1,1,1)T，试给出方程组的通解．

解：（1）因为

1a11a21a31a4a122a22a32a4a133a2(a2a1)(a3a1)(a3a2)(a4a1)(a4a2)(a4a3)0，故R(Ab)R(A)，无解． 3a33a4（2）R(A)2，n3，故通解

211,(kR)．

xk(ξ2ξ1)ξ1k021

xQ，y五、（本题满分8分）设二次曲面的方程axy2xz2byz1）a0经正交变换z化成22221，求a、b的值及正交矩阵Q.

0a解：设A21a120b，由AE0,A2E0知a2,b1．

b0111111~000，(1,1,0)t，(1,1,2)T 111当1时，AE12111000101(1,1,1)T. 011当2时，A2E~3000故正交阵Q12120161626131. 313

六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，α为A的对应于实特征值λ的特征向量，β为

AT的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．

证 ：依题意得Aα=λα， ATβ=μβ，将Aα=λα的两边转置得，αTAT =λαT，在上式的两边右乘β得，αTATβ =λαTβ，即μαTβ=λαTβ，亦即（μ-λ）αTβ=0，由于λ≠μ，所以αTβ=0，故α与β正交．