向量综合运用的数形结合

向量综合运用的数形结合

作者：田玉梅

来源：《考试周刊》2012年第47期

向量身具数和形的双重身份，成为了高中数学中各章节知识的媒介，它与各个知识的联系比较紧密.近年对向量自身的考查难度一般不大，只要掌握了平面向量的基础知识就可顺利作答.但一旦涉及与其他知识的结合时，就需要关注其图形的特点.有时数形结合更利于解决问题，以下作简单阐述. 一、与三角函数的综合

向量与三角的综合最为常见，是高考考查的重点内容之一，一般是以基本的运算为主.但有时需结合图形解决.

例题：已知向量==（cosα，sinα），==（2cosβ，2sinβ），==（0，d）（d＞0），其中O为坐标原点，且0＜α＜＜β＜π， （1）若⊥（-），求β-α的值； （2）若=1，=，求△AOB的面积S.

解析：（1）∵⊥（-），∴•=，•=（cosα，sinα）（2cosα，2sinβ）=1，∴cos（α+β）=. ∵0＜α＜＜β＜π，∴β-α=. （2）如图，

||=1，||=2，〈，〉=θ，〈，〉=θ，由图可知θ=β-，θ=-α，且θ，θ∈（0，），由=||cosθ=1，cosθ=，∴β-=，由=||cosθ=，cosθ=，∴-α=，∴∠AOB=β-α=，∴S=×2×1=1. 如果忽略了向量的图形特征，求法就不容易找到了. 二、与解析几何的综合

解析几何基本思想是利用代数方法研究几何问题，是代数与几何的综合运用.而向量也具有集数形于一身的特征，所以两者常常会交汇出现.在中学教学中大家关注的往往是两者数量关系的研究，而忘记了在形上的共同点，忽略了它们的形的作用，从而使解题过程繁琐.实际上如果在学习过程中我们能关注其形的特征，那么在综合运用中就能化繁为简，减少运算. 解几中可能出现的向量内容：

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

（1）+=?圳A是MM的中点；

（2）•=0?圳PA⊥PB，即∠APB是直角；当与不共线时，•＜0?圳∠APB是钝角；•＞0?圳∠APB是锐角；

（3）在△ABC中，给出==，等于已知O是△ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点）；

（4）在△ABC中，给出++=，等于已知O是△ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（5）在△ABC中，给出•=•=•，等于已知O是△ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（6）在△ABC中，给出=（+），等于已知AP是△ABC中BC边上的中线. ……

例题：过双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（c，0）作圆x+y=的切线，切点为E，延长FE交双曲线的右支于点P，若=（+），求双曲线C的离心率. 解析：如果纯粹从数的角度，不作图可这样求解： 设P（x，y），则∵=（+），∴E为EP的中点，E（，）. ∵E在圆上，且∵⊥，∴•=-1（）+（）=?圯x=c-y=a-

∵P在双曲线上，-=1?圯b（c-a+）-a（a-）=ab?圯bc-2ab-=0?圯4e-12e+5=0（e＞1）?圯e=，∴e=.

由于运算量较大，有的同学往往无法计算到底，但注意到其图形的特征，作出几何图形，解题过程就可以大为简化.

如图，∵=（+）∴E为EP的中点，又O为FF的中点，而E在圆上，且OE⊥EP，∴FP⊥PF，且PF=2EO=a，由双曲线的定义知EP=3a，根据勾股定理得（3a）+a=（2c）. ∴e=，所以e=.