第10章(常微分方程)之内容方法

微分方程在现代科学技术的各个领域中是一个有用的工具。本章主要介绍微分方程的一般概念及几类特殊方程的解法。重点是：微分方程的一般概念；可分离变量的微分方程；一阶线性微分方程；二阶常系数线性微分方程。难点是：识别一阶微分方程的各种类型；二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。 10-1基本概念

微分方程：含有未知函数的导数的方程。 微分方程的阶：微分方程中导数的最高阶数。

微分方程的解：自身及其导数满足微分方程的函数。

微分方程的通解：含有任意常数且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶相等的解。

初始条件：由运动的初始状态（或函数在一特定点的状态）所给出的，用以确定通解中任意常数的附加条件。

特解：利用初始条件确定通解中任意常数后所得的解。 10-2可分离变量的一阶方程与齐次方程

dyf1xf2y1． 1． 可分离变量的方程：dx

解法：

dyf1xdxCf2y

2． 2． 齐次方程（一种可化为可分离变量的方程）：

dyyfdxx

y

ux解法：令，则可化为变量分离形式：

dudxyu

fuux，解之并将x代回即得通解。

10-3 一阶线性方程

一阶线性齐次方程ypxy0： 一阶线性非齐次方程：ypxyQx 一阶线性非齐次方程的通解为：

pxdxpxdxye[QxedxC]

注：（1）上述通解中的第一项是对应齐次方程的通解；第二项是非齐次方程的一个特解（即c0时的解）；

pxdxpxdxpxdxdxceeQxepxdxyce （2）若记不住此通解公式，可用分离变量法求相应齐次方程的通解，

然后用常数变易法（即将齐次方程通解中的常数c变易函数h(x)得yhxe非齐次方程求得h(x)，从而求得y）求得非齐次方程的一个特解。

pxdx，代入

（3）有些方程可化为一阶线性微分方程，如yy2xyx0，令uy后

221u2xuu0可化为2。

10-5 可降阶的高阶方程 1． 1． 右端仅含x的方程:y解法：两边积分n次

2． 2． 右端不显含y的方程 yfx,y

nfx

dpf(x,p)yp解法：令，则dx。若能求出它的通解

dyFx,CpF(x,C)，则dx，解此一阶方程即得原方程的通解。

3.右端不显含x的方程：yfy,y

解法：令yp，视p是自变量y的函数，有

ydpdpdydppdxdydxdy。 pdpfy,pdy，即化为关于p的一阶方程。以后的解法与2相同。

代入原方程，得

10-6线性微分方程的解的结构

以二阶为例，更高阶类似。

二阶线性齐次方程：yp(x)yQ(x)y0（1） 二阶线性非齐次方程：yp(x)yQ(x)yf(x)（2）

结论一：（解的叠合性）若y1(x),y2(x)是齐次（1）的通解，则对任意常数

C1,C2,yC1y1(x)C2y2(x)也是齐次(1)的解。

结论二：若y1(x),y2(x)是齐次（1）的两个线性独立（即不成比例）的特解，则齐次

（1）的通解为yC1y1(x)C2y2(x)。

结论三：若

y是非齐次（2）的特解，Y是相应齐次（1）的通解，则yYy是非齐

次（1）的通解。

结论四；设有线性非齐次方程yp(x)yQ(x)yf1(x)f2(x)，如果y1(x)与

y2(x)分别是yp(x)yQ(x)yfi(x),(i1,2)的解，那么y1(x)y2(x)就是原方程

的解。

10-7 二阶常系数齐次线性方程的解法

二阶常系数线性齐次方程：ya1ya20 其相应的特征方程：a1a20，特征根为

1221,2

xxycece,121．12为不等实根：通解为（c1,c2任意常数）

2．12：通解为y(c1c2x)e1x（c1,c2为常数）

x3．1,2为共轭复根i：通解为ye(c1cosc2sinx)（c1,c2为常数） 10-8 二阶常系数非齐次线性方程的解法 一般形式：ya1ya2yf(x)

解法：先求齐次的通解，再求非齐次的特解，相加即得非齐次的通解。 对应的特征方程a1a20：，特征根1,2 （1）f(x)(x)e其中(x)是一个m次多项式(m0)

ktxyx(x)e 可设特解，其中(x)是与(x)同次的多项式，且t不是特征根时取

2txk0；t是单根时取k1；t是重根时取k2。

（2）f(x)e(x)cosx或f(x)e(x)sinx，其中(x)为m0次多项式。

kx 可设特解yxe[1(x)cosx2(x)sinx]，其中1(x),2(x)与(x)是同

xx次多项式，且当i不是特征根时取k0；当i是特征根时取k1。

第10章(常微分方程)之例题解析

221y3xyy的通解。 例10．1求方程

ydy解：当y1时，分离变量得1y2dx3x2。

两端分别积分得：

1y21C3x

或

1y21C03x

这即是原方程的通解。容易看出，y1时也是解，但不能并入通解之中。

例10．2解方程

y2x2dydyxydxdx

2yy2xyyxyx21x解：原方程可化为

ydydyuuxdx 令x，则yux，dxduu2uxdxu1 于是原方程变为duu即dxu1。 xdx11duux 分离变量得两端积分得ulnuClnx 即ln(xu)uC

yylnyCx以x代入上式中的u，便得原方程的通解为。

例10．3求微分方程1x2y2xy满足初始条件y(0)=1,y03的特解。

解：所给方程不含y，设yp，代入方程并分离变量后，

dp2xdx21x有p。

两端积分

2lnpln1xlnC1 得

即 pyc11x由y03得C13

2y31x所以

2

再积分得：yx3xC2 又由y(0)=1得C21。

3yx3x1。 故所求特解为

3例10．4求微分方程y5y6yxe2x的通解。

2解：对应的特征方程为560，

特征根为12,23。

2x3xycece12对应的齐次方程的通解为。

2x因t2是特征单根，所以设非齐次方程的特解为y1xB0xB1e

,y1并代入原方程化简 求出y1得 2B0x2B0B1x 比较系数后求得

1B0,B112

x22xy1x2e 所以特解为

yc1e2xc2e3x1xx2e2x2。

故原方程的通解为

例10．5求微分方程yyxcos2x的通解。

2解：对应的特征方程为：10。特征根为i

所以对应齐次方程的通解为yC1cosxC2sinx。

由于2i不是特征根，所以应设特解为yaxbcos2xcxdsin2x

代入原方程得：

(3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)xcos2x

比较系数得：3a1,3b4c0,3c0,3d4a0

14a,b0,c0,d39。 解得

14yxcos2xsin2x39于是特解为。

故原方程的通解为

14yC1cosxC2sinxxcos2xsin2x.39。