圆锥曲线的双切线问题初探

圆锥曲线的双切线问题初探

蓝 婷

深圳市第二高级中学； 广东深圳 518055

【摘要】：本文以高考题为载体，在一个引理的基础上给出了一个关于圆锥曲线双切线问题的定理，并总结出了解决圆锥曲线的双切线问题的一套统一的简洁方法，充分体现定理的妙处。

【关键词】：圆锥曲线 ； 双切线 ； 切点弦方程

一、研究背景

圆锥曲线是高考数学中的必考问题，圆锥曲线以切线为背景与导数相结合的问题长期被高考命题者所青睐。我们发现，这类问题的标准答案使用的传统方法解答过程一般较为复杂，并且在高强度的高考环境下，考生不得不将有限的时间浪费在繁杂的运算中。笔者在这个问题的研究中试图寻求一种简单统一的方法，将此类问题的运算量降低，从而达到简化解题过程的目的。

二、定理证明

为了简捷且更具一般性和代表性，我们将圆锥曲线(包含圆)统一写成最一般的形式：

Ax2By2CxDyExyF0，下面给出定理的证明。

引理：设

Px0,y022AxByCxDyExyF0上一点，是圆锥曲线则与该圆锥曲线切于点P的

直线方程为：

Ax0xBy0yC(xx0yy0yxx0y)D()E(0)F0222。

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22AxByCxDyExyF0两边求导，可得： 证明：在圆锥曲线方程

2Ax2ByyCDyEyExy0，所以：

y2AxEyCEx2ByD

则切线方程为：

yy02Ax0Ey0C(xx0)Ex02By0D

得：

(yy0)(Ex02By0D)(2Ax0Ey0C)(xx0)

化简：

2Ax022By022Cx02Dy02Ex0y02Ax0x2By0yCxDyCx0Dy0Ex0yExy0

因为

Px0,y0在圆锥曲线上，所以：

2Ax022By022Cx02Dy02Ex0y02F0

整理得：

Ax0xBy0yC(xx0yy0yxx0y)D()E(0)F0222

定理：设

Px0,y022AxByCxDyExyF0上，过点P引该圆锥曲线的两条不在圆锥曲线

切线，切点为A、B，则切点弦AB的方程为：

xx0yy0yxx0y)D()E(0)F0222

Ax0xBy0yC(证明：设切点坐标Axa,ya,Bxb,yb，由引理可得：

xxayyayxxay)D()E(a)F0222

直线AP方程：

AxaxByayC(第 2 页 共 6 页

直线BP方程：

AxbxBybyC(xxbyybyxxby)D()E(b)F0222

因为Px0,y0在直线AP且在直线BP上，所以：

x0xayyayxxy)D(0)E(a0a0)F0222 x0xbyybyxxy)D(0)E(b0b0)F0222

Axax0Byay0C(Axbx0Byby0C(以上两式说明：点Axa,ya,Bxb,yb均满足方程：

xx0yy0yxx0y)D()E(0)F0222

xx0yy0yxx0y)D()E(0)F0222。

Ax0xBy0yC(所以切点弦AB方程为：

Ax0xBy0yC(三、定理应用

22xy1的两动点，且满足圆内一点例1、（2007年浙江省高中数学竞赛）若P、Q为圆

1A0,PAQ2，使得2，求过点P、Q的两条切线的交点M的轨迹方程。

解：设

Mx0,y0Px,yQx,y、11、22，根据定理，则切点弦PQ的方程为：x0xy0y1

x0xy0y122(x02y02)x22x0x1y020xy1联立方程：，得：

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222x02y01y01x0y1y22x1x22x1x22y1y222222xyxyxyxy00000000则：，，，

因为：

PAQ2，所以PAPB，即：kPAkPB1

11x1x2(y1)(y2)0223x3y4y0800022则：，即：

223x3y4y80 所以M的轨迹方程为：

x2y2112222xy1ab2例2、（2008年江西高考14题）若椭圆的焦点在x轴上，过点(1，)作圆

的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆方程。

1x1y102解：根据定理，则切点弦AB的方程为：，即：y22x

由题可知：直线y22x过点(c,0)和(0,b)

x2y21a5c1b254所以，，则，所以椭圆方程：。

例3、（2008年江西高考21题）设点P(x0,y0)在直线xm(ym,0m1)上，过点P作双曲

22xy1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点线

M(1,0)m。

（1）求证：三点A、M、B共线；

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（2）过点A作直线xy0的垂线，垂足为N，试求△AMN的重心G所在曲线方程。

解：（1）因为P在直线xm上，则P(m,y0)，根据定理，则切点弦AB的方程为：

m1xy0y0

xmyy010,即：

ym1110M(,0)y0my0成立， 将点m代入直线AB的方程，有

所以点M在直线AB上，所以A、M、B三点共线。

（2）略。

例4、（2013年广东高考22题）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0,c)(c0)到直线

32l:xy20的距离为2，设P为直线l上的点，过点P做抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，

B为切点；

（1）求抛物线C的方程；

（2）当点P(x0,y0)为直线l上的定点时，求直线AB；

（3）当点P在直线l上移动时，求|AF||BF|的最小值。

2x解：（1）易得抛物线C方程：4y。

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（2）根据定理，则切点弦直线AB的方程为：

yy0x)0,y0xy022即：，又因为P在直线l上，则y0x02

xx04(所以直线AB的方程为：

yx0xx022。

（3）略。

本文的定理在解决圆锥曲线的双切线问题时会使得过程得到极大的简化，且切点弦方程

Ax0xBy0yC(xx0yy0yxx0y)D()E(0)F0222与圆锥曲线的方程在形式上是非常相似的，显得

非常的漂亮，很容易记忆。通过以上几个例子的应用，我们可以充分体会定理在解决高考题上的妙处。

参考文献：

[1] 周顺钿．常见圆锥曲线的切点弦方程[J]．中等数学，2009（3）．

[2] 王知涛，浅谈圆锥曲线的切点弦方程[J]．学习方法报●语数教研周刊，2011（4）．

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