2020年辽宁省大连市中考数学试卷

2020年辽宁省大连市中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．（3分）在实数﹣1，0，3，中，最大的数是（ ） A．﹣1 B．0

C．3

D．

2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）

A．圆锥 B．长方体 C．圆柱

﹣ C．

D．

D．球

的结果是（ ）

3．（3分）计算A．

B．

4．（3分）计算（﹣2a3）2的结果是（ ） A．﹣4a5

B．4a5 C．﹣4a6

D．4a6

5．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，若直线a∥b，∠1=108°，则∠2的度数为（ ）

A．108° B．82° C．72° D．62°

6．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为（ ） A． B． C． D．

7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（1，2），平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为（3，﹣1），则点B′的坐标为（ ）

A．（4，2） B．（5，2） C．（6，2） D．（5，3）

8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（ ）

A．2a B．2

a C．3a D．

二、填空题（每小题3分，共24分） 9．（3分）计算：﹣12÷3= ．

10．（3分）下表是某校女子排球队队员的年龄分布：

年龄/岁 人数

13 1

14 4

15 5

16 2

则该校女子排球队队员年龄的众数是 岁． 11．（3分）五边形的内角和为 ．

12．（3分）如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB，垂足为C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm．

13．（3分）关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为 ．

14．（3分）某班学生去看演出，甲种票每张30元，乙种票每张20元，如果36名学生购票恰好用去860元，设甲种票买了x张，乙种票买了y张，依据题意，可列方程组为 ．

15．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为 n mile．（结果取整数，参考数据：

≈1.7，≈1.4）

16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，m）、（3，m+2），直线y=2x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围为 （用含m的代数式表示）．

三、解答题（17-19题各9分，20题12分，共39分） 17．（9分）计算：（

+1）2﹣

+（﹣2）2．

．

18．（9分）解不等式组：

19．（9分）如图，在▱ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上，求证：AE=CF．

20．（12分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

类别 节目类型 人数

A 新闻 12

B 体育 30

C 动画 m

D 娱乐 54

E 戏曲 9

请你根据以上的信息，回答下列问题：

（1）被调查学生中，最喜爱体育节目的有 人，这些学生数占被调查总人

数的百分比为 %．

（2）被调查学生的总数为 人，统计表中m的值为 ，统计图中n的值为 ．

（3）在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为 ．

（4）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生数．

四、解答题（21、22小题各9分，23题10分，共28分）

21．（9分）某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划平均每天生产多少个零件？

22．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=经过▱ABCD的顶点B，D．点D的坐标为（2，1），点A在y轴上，且AD∥x轴，S▱ABCD=5． （1）填空：点A的坐标为 ； （2）求双曲线和AB所在直线的解析式．

23．（10分）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E． （1）求证：BD=BE； （2）若DE=2，BD=

，求CE的长．

五、解答题（24题11分，25、26题各12分，共35分）

24．（11分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E分别在AC，BC上（点D与点A，C不重合），且∠DEC=∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′．当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q（点P与点Q不重合）时，设CD=x，PQ=y． （1）求证：∠ADP=∠DEC；

（2）求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．

25．（12分）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．

（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为 ； （2）求的值；

（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=

，求PC的长．

26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0，）

（1）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E，F． ①填空：b= （用含a的代数式表示）； ②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；

（2）若a=，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值．

2020年辽宁省大连市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．（3分）（2020•大连）在实数﹣1，0，3，中，最大的数是（ ） A．﹣1 B．0

C．3

D．

【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数进行比较即可．

【解答】解：在实数﹣1，0，3，中，最大的数是3， 故选：C．

【点评】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

2．（3分）（2020•大连）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）

A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．球

【分析】根据主视图与左视图，主视图与俯视图的关系，可得答案．

【解答】解：由主视图与左视图都是高平齐的矩形，主视图与俯视图都是长对正的矩形，得 几何体是矩形， 故选：B．

【点评】本题考查了由三视图判断几何体，利用主视图与左视图，主视图与俯视图的关系是解题关键．

3．（3分）（2020•大连）计算A．

B．

C．

D．

﹣的结果是（ ）

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式==

故选（C）

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算，本题属于基础题型．

4．（3分）（2020•大连）计算（﹣2a3）2的结果是（ ） A．﹣4a5

B．4a5 C．﹣4a6

D．4a6

【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可． 【解答】解：原式=4a6， 故选D．

【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．

5．（3分）（2020•大连）如图，直线a，b被直线c所截，若直线a∥b，∠1=108°，则∠2的度数为（ ）

A．108° B．82° C．72° D．62°

【分析】两直线平行，同位角相等．再根据邻补角的性质，即可求出∠2的度数． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠1=∠3=108°， ∵∠2+∠3=180°，

∴∠2=72°，

即∠2的度数等于72°． 故选：C．

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及邻补角，解题时注意：两直线平行，同位角相等．

6．（3分）（2020•大连）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为（ ）

A． B． C． D．

【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1， 所以两枚硬币全部正面向上的概率=． 故答案为， 故选A．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

7．（3分）（2020•大连）在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分

别为A（﹣1，﹣1），B（1，2），平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为（3，﹣1），则点B′的坐标为（ ）

A．（4，2） B．（5，2） C．（6，2） D．（5，3）

【分析】根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向右平移4个单位，然后可得B′点的坐标．

【解答】解：∵A（﹣1，﹣1）平移后得到点A′的坐标为（3，﹣1）， ∴向右平移4个单位，

∴B（1，2）的对应点坐标为（1+4，2）， 即（5，2）． 故选：B．

【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．

8．（3分）（2020•大连）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（ ）

A．2a B．2a C．3a D．

【分析】根据勾股定理得到CE=a，根据直角三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵CD⊥AB，CD=DE=a， ∴CE=

a，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点， ∴AB=2CE=2故选B．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，能求出AE=CE是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

a，

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．（3分）（2020•大连）计算：﹣12÷3= ﹣4 ．

【分析】原式利用异号两数相除的法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式=﹣4． 故答案为：﹣4

【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

10．（3分）（2020•大连）下表是某校女子排球队队员的年龄分布：

年龄/岁 人数

13 1

14 4

15 5

16 2

则该校女子排球队队员年龄的众数是 15 岁．

【分析】根据表格中的数据确定出人数最多的队员年龄确定出众数即可． 【解答】解：根据表格得：该校女子排球队队员年龄的众数是15岁， 故答案为：15

【点评】此题考查了众数，弄清众数的定义是解本题的关键．

11．（3分）（2020•大连）五边形的内角和为 540° ． 【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°计算即可． 【解答】解：（5﹣2）•180°=540°． 故答案为：540°．

【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题．

12．（3分）（2020•大连）如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB，垂足为C，OC=3cm，则⊙O的半径为 5 cm．

【分析】先根据垂径定理得出AC的长，再由勾股定理即可得出结论．

【解答】解：连接OA， ∵OC⊥AB，AB=8， ∴AC=4， ∵OC=3， ∴OA=故答案为：5．

=

=5．

【点评】本题考查的是垂径定理，熟知垂直与弦的直径平分弦是解答此题的关键．

13．（3分）（2020•大连）关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为 c＜1 ．

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出结论．

【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根， ∴△=22﹣4c=4﹣4c＞0， 解得：c＜1． 故答案为：c＜1．

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

14．（3分）（2020•大连）某班学生去看演出，甲种票每张30元，乙种票每张20元，如果36名学生购票恰好用去860元，设甲种票买了x张，乙种票买了y张，依据题意，可列方程组为

．

【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张，根据“36名学生购票恰好用去860元”作为相等关系列方程组．

【解答】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张，根据题意，得：

，

故答案为

．

【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．

15．（3分）（2020•大连）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为 102 n mile．（结果取整数，参考数据：

≈1.7，

≈1.4）

【分析】根据题意得出∠MPA=∠PAD=60°，从而知PD=AP•sin∠PAD=43BPD=∠PBD=45°根据BP=

，即可求出即可．

，由∠

【解答】解：过P作PD⊥AB，垂足为D，

∵一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86n mile的A处， ∴∠MPA=∠PAD=60°， ∴PD=AP•sin∠PAD=86×

=43

，

∵∠BPD=45°， ∴∠B=45°．

在Rt△BDP中，由勾股定理，得 BP=

=

=43

×

≈102（n mile）．

故答案为：102．

【点评】此题主要考查了方向角含义，勾股定理的运用，正确记忆三角函数的定义得出相关角度是解决本题的关键．

16．（3分）（2020•大连）在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，m）、（3，m+2），直线y=2x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围为 m﹣6≤b≤m﹣4 （用含m的代数式表示）．

【分析】由点的坐标特征得出线段AB∥y轴，当直线y=2x+b经过点A时，得出b=m﹣6；当直线y=2x+b经过点B时，得出b=m﹣4；即可得出答案． 【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（3，m）、（3，m+2）， ∴线段AB∥y轴，

当直线y=2x+b经过点A时，6+b=m，则b=m﹣6； 当直线y=2x+b经过点B时，6+b=m+2，则b=m﹣4；

∴直线y=2x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围为m﹣6≤b≤m﹣4； 故答案为：m﹣6≤b≤m﹣4．

【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．

三、解答题（17-19题各9分，20题12分，共39分） 17．（9分）（2020•大连）计算：（

+1）2﹣

+（﹣2）2．

【分析】首先利用完全平方公式计算乘方，化简二次根式，乘方，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式=3+2

﹣2

+4

=7．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解完全平方公式的结构是关键．

18．（9分）（2020•大连）解不等式组：

．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式2x﹣3＞1，得：x＞2， 解不等式

＞﹣2，得：x＜4，

∴不等式组的解集为2＜x＜4

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19．（9分）（2020•大连）如图，在▱ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上，求证：AE=CF．

【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，由平行线的性质得出得出∠BAC=∠DCA，证出∠EAB=∠FCD，∠BEA=∠DFC=90°，由AAS证明△BEA≌△DFC，即可得出结论．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠BAC=∠DCA，

∴180°﹣∠BAC=180°﹣∠DCA， ∴∠EAB=∠FCD， ∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠BEA=∠DFC=90°， 在△BEA和△DFC中，∴△BEA≌△DFC（AAS）， ∴AE=CF．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

20．（12分）（2020•大连）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

类别 节目类型 人数

A 新闻 12

B 体育 30

C 动画 m

D 娱乐 54

E 戏曲 9

，

请你根据以上的信息，回答下列问题：

（1）被调查学生中，最喜爱体育节目的有 30 人，这些学生数占被调查总人数的百分比为 20 %．

（2）被调查学生的总数为 150 人，统计表中m的值为 45 ，统计图中n的值为 36 ．

（3）在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为 21.6° ．

（4）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生数．

【分析】（1）观察图表休息即可解决问题； （2）根据百分比=

，计算即可；

（3）根据圆心角=360°×百分比，计算即可；

（4）用样本估计总体的思想解决问题即可；

【解答】解：（1）最喜爱体育节目的有 30人，这些学生数占被调查总人数的百分比为 20%． 故答案为30，20．

（2）总人数=30÷20%=150人， m=150﹣12﹣30﹣54﹣9=45， n%=

×100%=36%，即n=36，

故答案为150，45，36．

（3）E类所对应扇形的圆心角的度数=360°×故答案为21.6°

=21.6°．

（4）估计该校最喜爱新闻节目的学生数为2000×答：估计该校最喜爱新闻节目的学生数为160人．

=160人．

【点评】本题考查统计表、扇形统计图、样本估计总体等知识没解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

四、解答题（21、22小题各9分，23题10分，共28分）

21．（9分）（2020•大连）某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划平均每天生产多少个零件？

【分析】设原计划平均每天生产x个零件，现在平均每天生产（x+25）个零件，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【解答】解：设原计划平均每天生产x个零件，现在平均每天生产（x+25）个零件，

根据题意得：

=

，

解得：x=75，

经检验，x=75是原方程的解． 答：原计划平均每天生产75个零件．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．

22．（9分）（2020•大连）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=经过▱ABCD的顶点B，D．点D的坐标为（2，1），点A在y轴上，且AD∥x轴，S▱ABCD=5． （1）填空：点A的坐标为 （0，1） ； （2）求双曲线和AB所在直线的解析式．

【分析】（1）由D得坐标以及点A在y轴上，且AD∥x轴即可求得；

（2）由平行四边形得面积求得AE得长，即可求得OE得长，得到B得纵坐标，代入反比例函数得解析式求得B得坐标，然后根据待定系数法即可求得AB所在直线的解析式．

【解答】解：（1）∵点D的坐标为（2，1），点A在y轴上，且AD∥x轴， ∴A（0，1）； 故答案为（0，1）；

（2）∵双曲线y=经过点D（2，1）， ∴k=2×1=2， ∴双曲线为y=， ∵D（2，1），AD∥x轴， ∴AD=2， ∵S▱ABCD=5，

∴AE=， ∴OE=，

∴B点纵坐标为﹣，

把y=﹣代入y=得，﹣=，解得x=﹣， ∴B（﹣，﹣），

设直线AB得解析式为y=ax+b， 代入A（0，1），B（﹣，﹣）得：

，

解得，

x+1．

∴AB所在直线的解析式为y=

【点评】本题主要考查了平行四边形的面积、待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，根据平行四边形得面积求出点B的坐标，是解答本题的关键．

23．（10分）（2020•大连）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E． （1）求证：BD=BE； （2）若DE=2，BD=

，求CE的长．

【分析】（1））设∠BAD=α，由于AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAD=α，进而求出∠D=∠BED=90°﹣α，从而可知BD=BE；

（2）设CE=x，由于AB是⊙O的直径，∠AFB=90°，又因为BD=BE，DE=2，FE=FD=1，由于BD=

，所以tanα=，从而可求出AB=

=2

，利用勾股定理列出方

程即可求出x的值．

【解答】解：（1）设∠BAD=α， ∵AD平分∠BAC ∴∠CAD=∠BAD=α，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°﹣2α， ∵BD是⊙O的切线， ∴BD⊥AB， ∴∠DBE=2α，

∠BED=∠BAD+∠ABC=90°﹣α， ∴∠D=180°﹣∠DBE﹣∠BED=90°﹣α， ∴∠D=∠BED， ∴BD=BE

（2）设AD交⊙O于点F，CE=x，连接BF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB=90°， ∵BD=BE，DE=2， ∴FE=FD=1， ∵BD=

，

∴tanα=， ∴AC=2x ∴AB=

=2

在Rt△ABC中，

由勾股定理可知：（2x）2+（x+∴解得：x=﹣∴CE=

；

或x=

，

）2=（2

）2，

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解方程等知识，综合程度较高，属于中等题型．

五、解答题（24题11分，25、26题各12分，共35分）

24．（11分）（2020•大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E分别在AC，BC上（点D与点A，C不重合），且∠DEC=∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′．当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q（点P与点Q不重合）时，设CD=x，PQ=y． （1）求证：∠ADP=∠DEC；

（2）求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．

【分析】（1）根据等角的余角相等即可证明；

（2）分两种情形①如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即＜x≤作MN∥DC′，设∠B=α．②当DC′交AB于Q时，即

时，过P

＜x＜3时，如图2中，作

PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，则四边形PMDN是矩形，分别求解即可； 【解答】（1）证明：如图1中，

∵∠EDE′=∠C=90°，

∴∠ADP+∠CDE=90°，∠CDE+∠DEC=90°， ∴∠ADP=∠DEC．

（2）解：如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即＜x≤DC′，设∠B=α

∴MN⊥AC，四边形DC′MN是矩形， ∴PM=PQ•cosα=y，PN=×（3﹣x）， ∴（3﹣x）+y=x， ∴y=

x﹣，

时，过P作MN∥

当DC′交AB于Q时，即＜x＜3时，如图2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于

N，则四边形PMDN是矩形，

∴PN=DM，

∵DM=（3﹣x），PN=PQ•sinα=y， ∴（3﹣x）=y， ∴y=﹣x+．

综上所述，y=

【点评】本题考查旋转变换、直角三角形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．

25．（12分）（2020•大连）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB． （1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为 ∠BAD+∠ACB=180° ； （2）求的值；

（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=

，求PC的长．

【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；

（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出可得4y2+2xy﹣x2=0，即（

）2+

﹣1=0，求出

=

=

=，可得

=

，

的值即可解决问题；

（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得

=

=

，可得

=

，即

=

，由此即可解决问题；

【解答】解：（1）如图1中，

在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°， 又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB， ∴∠BAD+∠ACB=180°， 故答案为∠BAD+∠ACB=180°．

（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E． ∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE， ∵OB=OD，

∴△OAB≌△OED，

∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=x，OA=OE=y， ∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°， ∴∠EDA=∠ACB， ∵∠DEA=∠CAB， ∴△EAD∽△ABC， ∴

=

=

=，

∴=，

∴4y2+2xy﹣x2=0， ∴（∴∴=

）2+=

﹣1=0，

（负根已经舍弃），

．

（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．

由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′， ∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′， ∴DE∥CA′∥AB， ∴∠ABC+∠A′CB=180°， ∵△EAD∽△ACB， ∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C， ∴∠DA′C+∠A′CB=180°， ∴A′D∥BC， ∴△PA′D∽△PBC， ∴∴∵CD=∴PC=1．

【点评】本题考查几何变换综合题、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等

==， =

， ，即

=

三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构造方程解决问题，属于中考压轴题．

26．（12分）（2020•大连）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0，）

（1）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E，F． ①填空：b= ﹣2a﹣1 （用含a的代数式表示）； ②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；

（2）若a=，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值．

【分析】（1）①由A点坐标可求得c，再把B点坐标代入可求得b与a的关系式，可求得答案；②用a可表示出抛物线解析式，令y=0可得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可用a表示出EF的值，再利用函数性质可求得其取得最小值时a的值，可求得抛物线解析式；

（2）可用b表示出抛物线解析式，可求得其对称轴为x=﹣b，由题意可得出当x=0、x=1或x=﹣b时，抛物线上的点可能离x轴最远，可分别求得其函数值，得到关于b的方程，可求得b的值． 【解答】解：

（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0，）， ∴c=，

∵抛物线经过点B（2，﹣）， ∴﹣=4a+2b+， ∴b=﹣2a﹣1， 故答案为：﹣2a﹣1；

②由①可得抛物线解析式为y=ax2﹣（2a+1）x+， 令y=0可得ax2﹣（2a+1）x+=0，

∵△=（2a+1）2﹣4a×=4a2﹣2a+1=4（a﹣）2+＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，设为x1、x2， ∴x1+x2=

，x1x2=

，

=（﹣1）2+3，

∴EF2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=

∴当a=1时，EF2有最小值，即EF有最小值， ∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+；

（2）当a=时，抛物线解析式为y=x2+bx+， ∴抛物线对称轴为x=﹣b，

∴只有当x=0、x=1或x=﹣b时，抛物线上的点才有可能离x轴最远，

当x=0时，y=，当x=1时，y=+b+=2+b，当x=﹣b时，y=（﹣b）2+b（﹣b）+=﹣b2+，

①当|2+b|=3时，b=1或b=﹣5，且顶点不在范围内，满足条件；

②当|﹣b2+|=3时，b=±3，对称轴为直线x=±3，不在范围内，故不符合题意，

综上可知b的值为1或﹣5．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数的性质、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值、分类讨论思想等知识．在（1）①中注意利用待定系数法的应用，在（1）②中用a表示出EF2是解题的关键，注意一元二次方程根与系数的关系的应用，在（2）中确定出抛物线上离x轴距离可能最远的点是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．