雄县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ） A．720 B．270 C．390 D．300
log2（a－x），x＜1
2． 已知函数f（x）＝x若f（－6）＋f（log26）＝9，则a的值为（ ）
2，x≥1
A．4 C．2
B．3 D．1
3． 执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝10，则输出的i＝（ ）
A．4 C．6
4． 过点（2，﹣2）且与双曲线A．
﹣
=1
B．
﹣B．5 D．7
2
﹣y=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）
=1 C．﹣=1 D．﹣=1
x2y25． F1，F2分别为双曲线221（a，b0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足PF 1PF20，
ab31若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（ ）
2A.2 B.3 C. 21 D. 31
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查
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基本运算能力及推理能力．
6． 如图所示的程序框图输出的结果是S=14，则判断框内应填的条件是（ ）
A．i≥7？B．i＞15？ C．i≥15？ D．i＞31？
7． 执行右面的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有数对为（ ）
A．（11，12） B．（12，13） C．（13，14） D．（13，12）
8． 已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ） A． =﹣0.2x+3.3
B． =0.4x+1.5 C． =2x﹣3.2
D． =﹣2x+8.6
mn2
9． 设m，n是正整数，多项式（1﹣2x）+（1﹣5x）中含x一次项的系数为﹣16，则含x项的系数是（ ） A．﹣13 B．6 C．79 D．37
10．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（ ） A．
B．
C．4
D．
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11．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点P（a，﹣）的所有直线中（ ）
A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有n（n≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D．每条直线至多过一个有理点
12．定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|；②f（2x）=cf（x）（c为正常数），
若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c的值是（ ） A．1
B．±2
C．或3
D．1或2
二、填空题
13．已知曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为 ．
14．已知f（x）=
，则f（﹣）+f（）等于 ．
15．已知数列{an}满足an+1=e+an（n∈N*，e=2.71828）且a3=4e，则a2015= ．
16．已知直线l的参数方程是
（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ=8cosθ+6sinθ，则曲线C上到
直线l的距离为4的点个数有 个．
17．（若集合A⊊{2，3，7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有 个．
18．在（x2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ．
三、解答题
19．[50，60][60，70][70，某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：80][80，90][90，100]．
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（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．
20．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，其余人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，其余人主要的休闲方式是运动．
（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为休闲方式与性别有关系．独立性检验观察值计算公式
，独立性检验临界值表：
0.50 0.25 0.15 0.05 0.025 0.01 P（K2≥k0） k0 0.455 1.323 2.072 3.841 5.024 6.635
0.005 7.879
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21．已知等差数列{an}，等比数列{bn}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
22．已知函数f（x）=lg（x2﹣5x+6）和（1）求集合A，B； （2）求集合A∪B，A∩B．
23．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
（Ⅱ）记cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．
的定义域分别是集合A、B，
，且离心率e=，设F1，F2是椭圆的左、右焦点，
过F2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求△F2PQ面积的最小值．
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24．已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex． （1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；
23
（3）当m=0时，求证：f（x）≥x+x．
（2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式；
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雄县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队． 各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人， 首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型； 所求方案有：故选：C． 2． 【答案】
【解析】选C.由题意得log2（a＋6）＋2log26＝9. 即log2（a＋6）＝3，
∴a＋6＝23＝8，∴a＝2，故选C. 3． 【答案】
【解析】解析：选B.程序运行次序为 第一次t＝5，i＝2； 第二次t＝16，i＝3； 第三次t＝8，i＝4；
第四次t＝4，i＝5，故输出的i＝5. 4． 【答案】A
2
﹣y=λ，
++=390．
．
【解析】解：设所求双曲线方程为把（2，﹣2）代入方程
2
﹣y=λ，
解得λ=﹣2．由此可求得所求双曲线的方程为故选A．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，解题时要注意公式的灵活运用．
5． 【答案】D
2222【解析】∵PF1PF2，即PF1F2为直角三角形，∴PF1PF2F1F24c，1PF20，∴PF|PF1PF2|2a，则2PF1PF2PF12PF22(PF1PF2)24(c2a2)，
(PF1PF2)2(PF1PF2)24PF1PF28c24a2.所以PF1F2内切圆半径 rPF1PF2F1F2312c2a2c，外接圆半径Rc.由题意，得2c2a2cc，整理，得
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c()2423，∴双曲线的离心率e31，故选D. a6． 【答案】C
【解析】解：模拟执行程序框图，可得 S=2，i=0
不满足条件，S=5，i=1 不满足条件，S=8，i=3 不满足条件，S=11，i=7 不满足条件，S=14，i=15
由题意，此时退出循环，输出S的值即为14， 结合选项可知判断框内应填的条件是：i≥15？ 故选：C．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
7． 【答案】 A
【解析】解：当n=1时，满足进行循环的条件，故x=7，y=8，n=2， 当n=2时，满足进行循环的条件，故x=9，y=10，n=3， 当n=3时，满足进行循环的条件，故x=11，y=12，n=4， 当n=4时，不满足进行循环的条件， 故输出的数对为（11，12）， 故选：A
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
8． 【答案】A
【解析】解：变量x与y负相关，排除选项B，C； 回归直线方程经过样本中心，
把=3， =2.7，代入A成立，代入D不成立． 故选：A．
9． 【答案】 D
【解析】
二项式系数的性质．
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【专题】二项式定理．
（﹣2）+
（﹣5）=﹣16，
【分析】由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m、n为正整
2
数，可得m=3、n=2，从而求得含x项的系数．
mn
【解答】解：由于多项式（1﹣2x）+（1﹣5x）中含x一次项的系数为
可得2m+5n=16 ①．
再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2， 故含x项的系数是
2
2
（﹣2）+
2
（﹣5）=37，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 10．【答案】B
2
【解析】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y=2px（p＞0） ∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3， ∴2+=3 ∴p=2
2
∴抛物线方程为y=4x
∵M（2，y0） ∴∴|OM|=故选B．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．
11．【答案】C
【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2）， 由于
也在此直线上，
所以，当x1=x2时，有x1=x2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点； 当x1≠x2时，直线的斜率存在，且有又x2﹣a为无理数，而所以只能是
，
为有理数，
，且y2﹣y1=0，
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即；
；
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是所以，正确的选项为C． 故选：C．
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．
12．【答案】D
【解析】解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|． 当1≤x＜2时，2≤2x＜4，
则f（x）=f（2x）=（1﹣|2x﹣3|）， 此时当x=时，函数取极大值； 当2≤x≤4时， f（x）=1﹣|x﹣3|；
此时当x=3时，函数取极大值1； 当4＜x≤8时，2＜≤4，
则f（x）=cf（）=c（1﹣|﹣3|）， 此时当x=6时，函数取极大值c．
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上， 即点（，），（3，1），（6，c）共线，
∴=，
解得c=1或2． 故选D．
【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．
二、填空题
13．【答案】
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．
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3
【解析】解：因为y=（a﹣3）x+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即y'=
在x＞0时有解，
3
所以3（a﹣3）x+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．
32
函数f（x）=x﹣ax﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立， 2
即f'（x）=3x﹣2ax﹣3≤0恒成立，即
， 的最大值为
，
因为函数所以综上故答案为：
，所以．
在[1，2]上单调递增，所以函数
．
．
【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．
14．【答案】 4 ．
【解析】解：由分段函数可知f（）=2×=． f（﹣）=f（﹣+1）=f（﹣）=f（﹣∴f（）+f（﹣）=+
．
）=f（）=2×=，
故答案为：4．
15．【答案】 2016 ．
【解析】解：由an+1=e+an，得an+1﹣an=e， ∴数列{an}是以e为公差的等差数列， 则a1=a3﹣2e=4e﹣2e=2e，
∴a2015=a1+2014e=2e+2014e=2016e． 故答案为：2016e．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式，是基础题．
16．【答案】 2
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【解析】解：由，消去t得：2x﹣y+5=0，
222
由ρ=8cosθ+6sinθ，得ρ=8ρcosθ+6ρsinθ，即x+y=8x+6y，
22
化为标准式得（x﹣4）+（y﹣3）=25，即C是以（4，3）为圆心，5为半径的圆．
又圆心到直线l的距离是
故曲线C上到直线l的距离为4的点有2个， 故答案为：2．
，
【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
17．【答案】 6
【解析】解：集合A为{2，3，7}的真子集有7个，奇数3、7都包含的有{3，7}，则符合条件的有7﹣1=6个．
故答案为：6
【点评】本题考查集合的子集问题，属基础知识的考查．
18．【答案】 84 ．
29
【解析】解：（x﹣）的二项展开式的通项公式为 Tr+1=
•（﹣1）r•x18﹣3r，
令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T7=故答案为：84．
==84，
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）依题意，
根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得， 10（2a+0.02+0.03+0.04）=1， 解得a=0.005． ∴图中a的值0.005．
（2）这100名学生语文成绩的平均分为： 55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05
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=73（分），
【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解
20．【答案】
【解析】解：（1）
看电视 运动 合计 21 男性 43 女性 64 合计 （2）
33 27 60 54 70 124
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为休闲方式与性别有关系﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 【点评】独立性检验是考查两个分类变量是否有关系，并且能较精确的给出这种判断的可靠程度的一种重要的
2
统计方法，主要是通过k的观测值与临界值的比较解决的
21．【答案】
【解析】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q：∵a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．
2
∴1+d=q，2（1+2d）﹣q=1，解得
或
．
∴an=1，bn=1；
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n1
或an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3﹣．
（II）当当
时，cn=anbn=1，Sn=n．
n1
时，cn=anbn=（2n﹣1）3﹣，
2n1
∴Sn=1+3×3+5×3+…+（2n﹣1）3﹣，
3Sn=3+3×32+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，
2n1n
∴﹣2Sn=1+2（3+3+…+3﹣）﹣（2n﹣1）3=n
∴Sn=（n﹣1）3+1．
nn
﹣1﹣（2n﹣1）3=（2﹣2n）3﹣2，
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）由x2﹣5x+6＞0，即（x﹣2）（x﹣3）＞0， 解得：x＞3或x＜2，即A={x|x＞3或x＜2}， 由g（x）=
，得到﹣1≥0，
当x＞0时，整理得：4﹣x≥0，即x≤4； 当x＜0时，整理得：4﹣x≤0，无解，
综上，不等式的解集为0＜x≤4，即B={x|0＜x≤4}； （2）∵A={x|x＞3或x＜2}，B={x|0＜x≤4}， ∴A∪B=R，A∩B={x|0＜x＜2或3＜x≤4}．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
，且离心率e=，
∴
22
，解得a=4，b=3，
∴椭圆C的方程为=1．
），
（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（﹣
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代入椭圆∴
22
，化简，得（3t+4）y+6ty﹣9=0，
，，
设M（x1，y1），N（x2，y2），又F1（﹣1，0），F2（1，0）， 则直线F1M：∴令μ=∵y=
=
|∈[1，=
），则在[1，
，令x=4，得P（4，|=15×|
=180×）上是增函数， ）min=
．
，
），同理，Q（4，
|=180×|
）， |，
∴当μ=1时，即t=0时，（
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．
24．【答案】
2x2
【解析】解：（1）令f（x）=0，得（x+mx+m）e=0，所以x+mx+m=0． 因为函数f（x）没有零点，所以△=m﹣4m＜0，所以0＜m＜4．
2
x2xx
（2）f'（x）=（2x+m）e+（x+mx+m）e=（x+2）（x+m）e，
令f'（x）=0，得x=﹣2，或x=﹣m， 当m＞2时，﹣m＜﹣2．列出下表： x
（﹣∞，﹣m） ﹣m （﹣m，﹣2） ﹣2
0
﹣
m
（﹣2，+∞） +
0 ↘
f'（x） + f（x） ↗
me﹣m 2
（4﹣m）e﹣ ↗
当x=﹣m时，f（x）取得极大值me﹣． 所以f（x）无极大值．
2x
当m=2时，f'（x）=（x+2）e≥0，f（x）在R上为增函数，
当m＜2时，﹣m＞﹣2．列出下表：
x （﹣∞，﹣2） ﹣2 （﹣2，﹣m） ﹣m （﹣m，+∞） f'（x） + f（x） ↗
0
﹣
0 ↘
+ me﹣m
↗
2
（4﹣m）e﹣
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当x=﹣2时，f（x）取得极大值（4﹣m）e﹣，
2
所以
2xxx
（3）当m=0时，f（x）=xe，令ϕ（x）=e﹣1﹣x，则ϕ'（x）=e﹣1，
当x＞0时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数；当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数， 所以当x=0时，φ（x）取得最小值0．
2x2323
因此xe≥x+x，即f（x）≥x+x．
xx
所以φ（x）≥φ（0）=0，e﹣1﹣x≥0，所以e≥1+x，
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．
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