2020届高考压轴题系列之 解三角形与其它知识结合(文) 教师版

例1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin（1）求B；

ACbsinA． 2（2）若△ABC为锐角三角形，且c1，求△ABC面积的取值范围． 【答案】（1）Bπ33；（2）(,)． 382【解析】（1）结合三角形内角的关系， 因为asinπBπBbsinA，结合正弦定理sinAsinsinBsinA， 22得cosBBBB1sinB2sincos，即sin， 22222得到

Bππ，B． 2633a， 4（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC由正弦定理得acsinAsin(120C)31， sinCsinC2tanC2由于△ABC为锐角三角形，故0A90，故

133a2，从而， S△ABC282因此，△ABC面积的取值范围是(33,)． 82例2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（1）求B；

（2）求△ABC的面积的最大值． 【答案】（1）B2accosC，b2． bcosBπ；（2）3． 3【解析】（1）由题得(2sinAsinC)cosBsinBcosC， ∴2sinAcosBsinCcosBsinBcosC，

∴2sinAcosBsinCcosBsinBcosCsin(BC)sinA，解得cosB1， 2∵B(0,π)，∴Bπ． 322（2）b2，由余弦定理得4ac2accos又a2c2ac2acacac，即ac4， 则△ABC的面积的最大值为S

π，整理得a2c2ac4， 3113acsinB43． 222模拟精做 1．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac(sinBcosB)．

（1）求ACB的大小；

（2）若ACBABC，点A、D在BC的异侧，DB2，DC1，求平面四边形ABDC面积的 最大值． 【答案】（1）

π5；（2）2． 44ac， sinAsinC【解析】（1）因为ac(sinBcosB)，且所以sinAsinC(sinBcosB)，

在△ABC中，sinAsin(BC)，所以sin(BC)sinC(sinBcosB)，所以

sinBcosCcosBsinCsinCsinBsinCcosB，所以sinBcosCsinCsinB，

因为在△ABC中，sinB0，所以cosCsinC，

因为C是△ABC的内角，所以Cπ． 4（2）在△BCD中，BC2BD2CD22BDCDcosD54cosD， 因为△ABC是等腰直角三角形，所以S△ABC115AB2BC2cosD，244S△BCD1BDCDsinDsinD， 255πcosDsinD2sin(D)， 444所以平面四边形ABDC的面积SS△ABCS△BCD因为0Dπ，所以ππ3π3ππD，所以当D时，sin(D)1， 4444452． 4此时平面四边形ABDC的面积有最大值

2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC． （1）求A的大小；

（2）求sinBsinC的最大值． 【答案】（1）A120；（2）1．

【解析】（1）∵2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC， ∴2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，

b2c2a21∴cosA，∴A120．

2bc2（2）sinBsinCsinBsin(60B)31cosBsinBsin(60B)， 22∵0B60，∴当60B90，即B30时，sinBsinC取得最大值1． 3．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为

1c(asinAbsinBcsinC)． 2（1）求角C；

（2）若D为AB中点，且c2，求CD的最大值． 【答案】（1）Cπ；（2）3． 3【解析】（1）依题意得

11absinCc(asinAbsinBcsinC)， 22由正弦定理得abcc(a2b2c2)，即a2b2c2ab，

a2b2c2ab1由余弦定理得cosC，

2ab2ab2又因为C(0,π)，所以Cπ． 3（2）∵a2b2c2ab，c2，∴aba2b242ab4，即ab4．

uuur1uuuruuuruuur21uuur2uuur2uuuruuur∵D为AB中点，所以CD(CACB)，∴CD(CACB2CACB)

24111(b2a2ab)(42ab)(48)3， 444当且仅当ab2时，等号成立，所以CD的最大值为3． 4．在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且cos（1）若a3，bAC1． 227，求c的值；

（2）若fAsinA(3cosAsinA)，求f(A)的取值范围． 【答案】（1）c1或c2；（2）(,]． 【解析】（1）在△ABC中，ABCπ， 所以cos3122ACπBB1Bππcossin，，所以B， 2222263由余弦定理b2a2c22accosB，得c23c20，解得c1或c2． （2）fAsinA(3cosAsinA)31cos2Aπ1sin2Asin(2A)， 2262由（1）得B2π2πππ3ππ)，则2A(,)， ，所以AC，A(0,336623∴sin(2Aπ31)(1,1]，∴f(A)(,]，

226∴f(A)的取值范围是(,]．

31225．已知菱形ABCD的边长为2，M为BD上靠近D的三等分点，且线段AM（1）求DAB的值；

27． 3uuuruuuruuur（2）点P为对角线BD上的任意一点，求PA(PCPD)的最小值．

【答案】（1）DAB60；（2）25． 8【解析】（1）如图，四边形ABCD为菱形，所以cosADMcosABM，

AD2DM2AM2AB2BM2AM2所以， 2ADDM2ABBM因为BM2DM，ABAD2，AM27， 3所以可解得DM故DAB60．

24，BM，所以BD2，所以△ABD是等边三角形， 33

（2）以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示坐标系： 则有A(0,0)，B(2,0)，C(3,3)，D(1,3)， 所以线段BD:y3x23(1x2），

uuuruuur设P(m,3m23)，则有PA(m,3m23)，PC(3m,3m3)，

uuurPD(1m,3m3)，

uuuruuuruuur所以PA(PCPD)(m,3m23)(42m,23m23)8m222m12，

因为1m2，所以当m2511时，取得最小值． 88