全等三角形的性质及判定(经典讲义)

知识要点 1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形． 2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．

（2）全等三角形的对应边上的高相等，

对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等．

（3）全等三角形的周长、面积相等．

3、全等三角形判定方法：

（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS）

（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）

专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等

例题1：下列说法，正确的是（ ）

A.全等图形的面积相等

B.面积相等的两个图形是全等形

C.形状相同的两个图形是全等形 D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD，使顶点D与BC边上的N点重合，如果AD=7cm，DM=5cm，∠DAM=39°，则AN=____cm，NM=____cm，NAB= .

A D

C E M DB 图3

A B C 图2 N 图1 图4

【仿练1】如图2，已知ABCADE，ABAD，BCDE，那么与BAE相等的角是 . 【仿练2】如图3，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，ABCADE，∠BAD=40°，则∠BAC= .

、

1

三角形全等的判定一（SSS）

相关几何语言考点

AECFC

AMB∵AE=CF ∵CM是△的中线

∴_____________( )

∴____________________

∴__________（ ） 或 BA∵AC=EF

∴____________________

∴__________（ ）

AB=AB （ ）

ADBCEF

在△ABC和△DEF中

_________∵_________ _________∴△ABC≌△DEF（ ）

例1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？ B

例２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．

求证△ACD≌△CBE． C

B

ACDADE2

例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF． 求证∠A=∠D． 练习

1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（ ）

A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD

2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（ ）

A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDE C．△ABE≌△ACE D．以上都不对

3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（ ）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL

4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.

5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是： ．

3

6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是 °． 7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。

作业：

1、如图，已知AB=AD，需要条件（用图中的字母表示） ，可得△ABC≌△ADC，根据是 ．

2、如图，已知B、E、F、C在同一直线上，BF=CE，AF=DE，则添加条件 ，可以判断△ABF≌△DCE．

9 题图

3、 如图，AC=AD，BC=BD，则△ABC≌△ ；应用的判定方法是（简写） ．

4、.如图，已知AE=DF、EC=BF，添加 ，可得△AEC≌△DFB．

5、．如图，已知AB=DE，BC=EF，AF=DC，求证∠EFD=∠BCA，

4

三角形全等的判定二（SAS）

相关的几何语言

12A

∠1=∠2 （ ） ∠A=∠A （ ） A

1ADD E

BCBCEF∵∠EAB=∠DAC

∴____________________

在△ABC和△DEF中

_________∵_________ _________∴△ABC≌△DEF（ ）

∴__________ 或

∵∠EAC=∠DAB

∴____________________ ∴__________

例1．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证DC∥AB．

5

例2．已知：如图，AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA．

A

D

B

C

例3．已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB． A

E

B

D

F

C

例4．已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE．

A

C 1

2

B

E

D

例5．已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF. 求证:AC∥DF．

例6．已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

6

例7.已知：如图，正方形ABCD，BE=CF，求证：(1)AE=BF； （2）AE⊥BF. 练习

1.如图，点E、F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是（ ）

A．AD∥BC B．DF∥BE C．∠D=∠B D．∠A=∠C

2.如图，若已知AE=AC，用“SAS”说明△ABC≌△ADE，还需要的一个条件是（ ）

A．BC=DE B．AB=AD C．BO=DO D．EO=CO

3.如图，AB=CD，AB∥CD，判定△ABC≌△CDA的依据是（ ）

A．SSS B．SAS C．ASA D．HL

4.如图所示，AB=BD，BC=BE，要使△ABE≌△DBC，需添加条件（ ）

7

A．∠A=∠D B．∠C=∠E C．∠D=∠E D．∠ABD=∠CBE

5.如图，AD∥BC，AD=CB，要使△ADF≌△CBE，需要添加的下列选项中的一个条件是（ ）

A．AE=CF B．DF=BE C．∠A=∠C D．AE=EF 6.如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，AD=EC，AE=10，AC=6，则CD的长为 ．

7.如图，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补充一个条件 ．（只要填一个）

8.如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在BC边上，当 时，△ABD≌△ACE．（添加一个适当的条件即可）

8

9.如图，已知AC=AE，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个） ．

10.如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D，下列结论： ①∠EAB=∠FAC；②∠C=∠EFA；③AD=AC；④AF=AC．

其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．

11.如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC．

12如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB=FE，BC=DE，∠B=∠E． 求证：∠ADB=∠FCE．

13、如图，AC=DF，AC//DF，AE=DB，求证：BC//EF

9

ABC三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）

D EF

在△ABC和△DEF中

_________∵_________ _________∴△ABC≌△DEF（ ）

ADBCEF

ABCE在△ABC和△DEF中

_________∵_________ _________∴△ABC≌△DEF（ ）

例1．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证AB=DE，AC=DF．

例2已知：如图 , 四边形ABCD中 , AB∥CD , AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB

10

例3如图, AD=EB,AC∥DF,BC∥EF.求证:ABCDEF C

1.如图，已知：∠A=∠D，∠1=∠2，下列条件中能使△ABC≌△DEF的是（ ） ABDFE

A．∠E=∠B B．ED=BC C．AB=EF D．AF=CD 2.如图：AB=AC，∠B=∠C，且AB=5，AE=2，则EC的长为（ ）

A．2 B．3 C．5 D．2.5

3.如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，依据ASA，应添加的一个条件是 ．

4.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，BC=5，则BD= ．

11

5、.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=FC，∠A=∠F，∠EBC=∠FCB．求证：BE=CD．

12