湖南省郴州市2020届高三第一次教学质量监测(12月)试题文(数学)

绝密★启用前

数 学

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.

1}，B={x|022a2.若复数Z1为纯虚数，则实数a

1i1.设集合A={x|1xB.-1 C.1 D.2

3. 若角的终边过点A(3，-4)，则sin() A. 4334 B.  C. D. 5555

4.函数f(x)xcosx的大致图象是

5.在等差数列{an}中，a2,a14是方程x8x60的根，则

2a3a13的值为 a8A. 410 B. 6 C. 6 D.6或6

6. 定义域为R的函数f(x)是偶函数，且对任意x1,x2(0,),f(x1)f(x2)<0.设

x1x2af(2),bf(),cf(1)，则

A.bC. cD.a7.已知向量a=(1,3)，b(4,m)，且(ab)b，则向量a与b夹角为 A.

 C. D. B. 32468.下列结论中正确的个数是

①在ABC中，若sin24=sin2B，则ABC是等腰三角形； ②在ABC中，若 sinA>sinB，则A>B

③两个向量a,b共线的充要条件是存在实数，使ba ④等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. A. 0

9. 郴州市正在创建全国文明城市，现有甲、乙、丙、丁 4人，平均分成两组，其中一组指挥交通，一组打扫街道卫生，则甲、乙不在同一组的概率为 A.

B. 1 C. 2 D. 3

1121 B. C. D.

3 2 3 6

x2y210.已知双曲线C:221(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2

ab为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为 A.

2 B.22 C.2 D.

11. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为xy2,若将军从点A（3,0)处出发，河岸线所在直线方程为xy4,并假定将军 只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 A.25 B.172

C.

2222

17 D.32

12.已知函数f(x)在定义域开上的导函数为f'(x)，若函数yf'(x)没有零点，且

f[f(x)2020x]2020，当g(x)sinx3cosxkx在[,]上与f(x)在R上的单调性相同时，

22实数k的取值范围是

A.(,1] B.(,3] C.[1,3] D. [3,)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中横线上.

2x,x013.已知函数f(x)1x，f(f(1)) .

()x,x<023xy414.已知x,y满足约束条件y4， 若Zxy的最大值是 .

xy2

15.设数列{an}满足a13,Sn2an1,n2，则a5 .

16. 在ABC中， AB=8, BC=6,AC=10, P为ABC外一点，满足 PA=PB=PC=55，则三棱锥P-ABC的外接球的半径为 .

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17题-21题为必考题. 22题、23题为选考题.

17. (本小题满分12分）

某经销商从某养殖场购进某品种河蟹，并随机抽取了 100只进行统计，按重量分类统计，得到频率分布直方图如下：

(I )记事件A为“从这批河蟹中任取一只，重量不超过120克”，估计P(A）； (II)试估计这批河蟹的平均重量；

(Ⅲ)该经销商按有关规定将该品种河蟹分三个等级，并制定出销售单价如下：

试估算该经销商以每千克至多花多少元(取整）收购这批河蟹，才能获利？

18. (本小题满分12分）

在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且向量n(2ac,cosC)与向量m(b,cosB)共线.

(I)求角B的大小；

(II)若BD2DC，且CD=1，AD=7，求三角形ABC的面积.

19.(本小题满分12分）

如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA丄平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45°，AB=22，BC=2AE=2.

(I)求证：CD丄平面PAC;

(II)求直线PA与平面PCD所成的角是积.

20. 设P为圆xy6上任意一点,过点P作x轴的垂线，垂足为Q,点M是线段PQ上的 一点，且满足

22，求五棱锥P-ABCDE的体4PQ3MQ.

(I)求点M的轨迹C的方程；

(II)过点F(2,0)作直线l与曲线C相交于A,B两点，设0为坐标原点,当OAB的面积最大时，求直线l的方程.

21.(本题满分12分)

已知函数f(x)xe2ax3.

(I)若曲线yf(x)在x0处切线与坐标轴围成的三角形面积为(II)若a

x9，求实数a的值; 21，求证：f(x)lnx4. 2

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x1cos(为参数，且[0,]，以原点0为

ysin极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin((I)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；

(II)设点M在曲线C上，求点M到直线l距离的最小值与最大值.

23.(本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 设f(x)|2x1|2,g(x)|x2a||x1. (I)求不等式f(x)>|x4|的解集；

(II)若对任意的x1,x2R，使得f(x1)>g(x2)，求实数a的取值范围.

6)2.