带电粒子在磁场中运动—经典例题

专题 带电粒子在磁场中运动

【达标指要】

1．掌握洛仑兹力的大小和方向的确定，带电粒子在匀强磁场中圆周运动及其规律 2．掌握带电粒子在有界匀强磁场强度中的运动特点

【名题精析】

例1．如图11-3-1所示，真空室内有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60T，磁场内有一块平行感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l＝16cm处，有一个点状的α粒子发射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v＝3.0×106m/s．已知α粒子的电量与质量之比q/m＝5.0×107C/kg，现只考虑在纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域长度．

P 1 MPP 2 2 a 分析与解：洛伦兹b a b 力是α粒子作圆运动

r l 的向心力；计算出圆半2r 径后，确定圆心的位置M c d

Q 就成为解题的关键，α

S r 粒子轨迹与ab相切，

图11-3-1 S 以及α粒子离S最远的

图11-3-2 距离为2r是判定最远

点的条件．如图11-3-2．

α粒子带正电，用左手定则判定α粒子在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用r表示轨道半径，有Bqv

v2v3106＝m，解得rm0.10m，可见2r>l>r． 7q5.0100.6r()Bm因向不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1

就是α粒子能打中的左侧最远点，为定出P1的位置，可作平行与ab的直线cd，cd到ab的距离为r＝0.10m．以S为圆心，r为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1．由图中几何关系得：

NPr2(lr)2． 1再考虑N的右侧，任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2r，以2r为半径，S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，P2即为α粒子在右侧能达到的最远点．由几何关系得：NP24r2l2．

所求长度为：P1P2=NP1+NP2=0.20m．

例2．在xOy平面内有许多电子（质量为m，电荷量为e）从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限，如图11-3-3所示．现加上一个垂直于xOy平面的磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x轴向x轴正方向运动，试求出符合条件的磁场的最小面积．

分析与解：所有电子在所求的匀强磁场中均做匀速圆周运动，由

y mv0v02，得半径为R． ev0BmreBa 设与x轴成α角入射的电子从坐标为（x，y）的P点射出磁场，则有vn b x2+（R–y）2=R2 ①

P（ x y ， ）①式即为电子离开磁场的边界b，

当α=90°时，电子的运动轨迹为磁场的上边界a，其表达式为（R–x）

x O R 1

R On 3 - 4 图 11-

2

+y2=R2 ②

由①②式所确定的面积就是磁场的最小范围，如图11-3-4所示，其面积为

mv2R2 S（2）（0)242eB2

【思路点拨】

例1中左右两边最远点考虑方式不一样，不少同学会利用左右对称来解，这就失去了一半．错误的主要原因在于对于α粒子在空间飞行的轨迹不熟悉

例2中电子从原点沿各个不同的方向不断地以速度v0射入第一象限中，要求经过磁场偏转后均能平行于x轴方向，磁感应强度B已知，那么电子在磁场中做圆周运动的半径是已知的，实际上相当于每个电子的轨迹都是已知的：过原点作速度方向的垂线，在偏向x正方向这一侧上截取一段长为R处即为其圆心On，在过On作与x轴的垂线，在此垂线选取OnP=R，这P点就是电子从磁场飞出的点（如图11-3-4所示）所有这些点的集合就是磁场的下边界b．具体方向就是本题所采用的选一任意角α，确定其出磁场点P的关系式①就是这些电子的下边界线了．对于上边界线的确定：只要沿y轴正方向运动的电子的轨迹能在磁场中，也就是说沿y轴正方向运动的电子轨迹线就是磁场的上边界．

【益智演练】 1．有一个电子射线管（阴极射线管），放在一通电直导线AB的上方，发现射线的径迹如图11-3-5所示，则（ ）

A．直导线电流从A流向B B．直导线电流从B流向A

C．直导线电流垂直于纸面，并流向纸内

A B

D．直导线电流垂直于纸面，并流向纸外

图11-3-5

2．赤道附近地磁场方向向北，同时存在方向竖直向下的电场，若在该处发射一电子（重力作用不计），电子沿直线飞行而不发生偏转，则该电子的飞行方向为 （ ） A．水平向东 B．水平向西 C．竖直向上 D．竖直向下

3．在匀强磁场中一个带电粒子做匀速圆周运动，如果又顺利垂直进入另一个磁感应强度是原来磁感应强度2倍的匀强磁场，则（ ）

A．粒子的速率加倍，周期减半 B．粒子的速率不变，轨道半径减半

C．粒子的速率减半，轨道半径变为原来的1/4 D．粒子的速率不变，周期减半

4．如图11-3-6所示，ab是一弯管，其中心线是半径为R的一段圆弧，将它置于一给定的匀强磁场中，磁场方向垂直于圆弧所在平面，并且指向纸外．有一束粒子对准a端射入弯管，粒子有不同的质量、不同的速度，但都是一价正离子，则（ ）

A．只有速度大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管 B．只有质量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管

C．只有动量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管

D．只有能量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管 图11-3-6

5．如图11-3-7所示，一个带电粒子，在磁感应强度B=0.8 T的匀强磁场中运动，其速度方

向与磁场方向垂直，从a到b所需时间为2×10-4 s，从b到a所需时间为1×10-3 s，已知

b

a、b两点距离为0.3 m，粒子带电量为3×10-8 C，则该粒子的动量大小为（ ） A．7.2×10-9 kg·m/s B．1．44×10-8 kg·m/s a -9C．3.6×10 kg·m/s D．条件不足，无法确定

图11-3-7

2

R2

6．如图11-3-8所示，PQ是匀强磁场中的一片薄金属片，其平面与磁场方向平行，一个带电粒子从某点以与PQ垂直的速度v射出，动能是E，射出后带电粒子的运动轨迹如图15-83所示．今测得它在金属片两边的轨迹半径之比为10∶9，若在穿越板的过程中粒子受到的阻力大小及电量恒定，则（ ） A．带电粒子一定带正电

12E P Q

10mB C．带电粒子每穿过一次金属片，动能减少了0.19E

D．带电粒子穿过5次后陷在金属片里

图11-3-8

7．一重力可以忽略的带电粒子，以速度v射入某一空间，下列各种说法中，正确的（ ）

A．如果空间只存在电场，则带电粒子穿过该空间时，动能、动量一定发生变化 B．如果空间只存在磁场，则带电粒子穿过该空间时，动能、动量一定发生变化

C．如果空间只存在电场，则带电粒子穿过该空间时，动能可能不变，动量一定发生变化 D．如果带电粒子穿过空间后，动能和动量都不改变，空间也可能同时存在电场和磁场

8．一个原来静止的U238原子核，发生α衰变，衰变后α粒子的初速度方向水平向右，且两个产物均在垂直于它们速度方向的匀强磁场中运动，它们的轨迹和运动方向可能是下图11-3-9中哪一个所示？（ ） C B D A

图11-3-9

9．如图11-3-10所示，两电子沿MN方向从M点射入两平行平面间的匀强磁场中，它们分别以v1、v2的速率射出磁场，则v1∶v2=______，通过匀强磁场所用时间之比t1∶t2=______．

M N

a b 60°

v1 v2

图11-3-10

10．如图11-3-11所示，在圆心为O、半径为r的圆形区域内有方向垂直纸面

向里的匀强磁场，一电子以速度v沿AO方向射入，后沿OB方向射出匀强磁场，若已知∠AOB=120°，则电子穿越此匀强磁场所经历的时间是___________． O

AB

B．带电粒子每穿过一次金属片，速度减小了

图11-3-11

11．如图11-3-12所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．若在圆心

处静止的原子核中释放一个质量为m、电量为q的粒子，粒子的速度v0垂直于磁场，则初速度v0大小必须满足条件 时，粒子才能从磁场中穿出，粒子穿过磁场需要的最长时间为 ．

B 3

R 图11-3-12

12．一质量为m、带电量为q的带电粒子以某一初速射入如图11-3-13所示的匀强磁场中（磁感应强度为B，磁

场宽度为L） ，要使此带电粒子穿过这个磁场，则带电粒子的初速度应为多大？

v0

θ

L 图11-3-13

13．图11-3-14中虚线AB右侧是磁感应强度为B1的匀强磁场，左侧是磁感应强度为B2的匀强磁场．已知

B12．磁场的方向都直于图中的纸面并指向纸面内．现有一带正电的粒子自图中O处以初速度开始向右B2运动，求从开始时刻到第10次通过AB线向右运动的时间内，该粒子在AB方向的平均速度．

A

v0 O

B2 B1

B 图11-3-14

14．初速度为零的离子经电势差为U的电场加速后，从离子枪T中水平射出，经过一段路程后进入水平放置的

两平行金属板MN和PQ之间，离子所经空间存在一磁感强度为B的匀强磁场．如图11-3-15所示（不考虑

重力作用），离子的比荷

4

M q（q、m分别是离子的电量和质量）在什么范围内，离子才能打在金属板上？ mN Tvd/2d/2dP 图11-3-15

dQ

15．如图11-3-16所示，一足够长的矩形区域abcd内有磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从

ad边的中点O处，以垂直磁场且跟ad边成30º角的速度方向射入一带电粒子．已知粒子质量为m，带电量为q，ad边长为l，不计粒子重力．

（1）若粒子从ab边上射出，则入射速度v0的范围是多少？ （2）粒子在磁场中运动的最长时间为多少？ a

b

B O

30º v0 c d

图11-3-16

16．如图11-3-17所示，为显像管电子束偏转示意图，电子质量为m，电量为e，进入磁感应强度为B的匀强磁

场中，该磁场束缚在直径为l的圆形区域，电子初速度v0的方向过圆形磁场的轴心O，轴心到光屏距离为L（即P0O=L），设某一时刻电子束打到光屏上的P点，求PP0之间的距离．

l

L O P0

v0 d

P 图11-3-17 17．如图11-3-18所示，在xoy平面内有垂直坐标平面的范围足够大的

匀强磁场，磁感强度为B，一带正电荷量q的粒子，质量为m，从Ｏ点以某一初速度垂直射入磁场，其轨迹与x、y轴的交点A、B到O点的距离分别为a、b，试求： （1）初速度方向与x轴夹角θ． y （2）初速度的大小． B x O A

图11-3-18

18．如图所示，半径为R=10cm的圆形匀强磁场，区域边界跟y轴相切于坐标系原点O，磁感应强度B=0.332T，

方向垂直纸面向里，在O处放有一放射源s，可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106m/s的α粒子，已知α粒子质量为m=6.64×10-27kg，q=3.2×10-19m/s，求：

（1）画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心点的连线形状； （2）求出α粒子通过磁场的最大偏向角；

（3）再以过O并垂直纸面的直线为轴轴旋转磁场区域，能使穿过磁场区域且偏转角最大的α粒子射出磁场

后，沿y轴正方向运动，则圆形磁场直径OA至少应转过多少角度．

y

A s

o x

图11-3-19

5

19．图11-3-20中，虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B的

匀强磁场，方向垂直纸面向外．O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为m、速率为v的粒子．粒子射入磁场时的速度可在纸面内向各个方向．已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离为L，不计重力及粒子间的相互作用． （1）求所考查的粒子在磁场中的轨道半径．

M （2）求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔．

O

P

N 图11-3-20 20．如图11-3-21，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于

轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r0．在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感应强度的大小为B．在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场．一质量为m、带电量为+q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零．如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少?(不计重力，整个装置在真空中)

a S +q

O d b

c 图11-3-21 21．边长为100cm的正三角形光滑且绝缘的刚性框架ABC固定在光滑的水平面

－

上，如图11-3-22内有垂直于框架平面B＝0．5T的匀强磁场．一质量m=2×10-4kg，带电量为q=4×103C小球，从BC的中点小孔P处以某一大小的速度垂直于BC边沿水平面射入磁场，设小球与框架相碰后不损失动能，求：

（1）为使小球在最短的时间内从P点出来，小球的入射速度v1是多少？ （2）若小球以v2=1m/s的速度入射，则需经过多少时间才能由P点出来？ A

v

B C 图11-3-22

22．如图11-3-23甲所示，MN为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央有一个小孔OO′正对，

在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场，已知正离子质量为m、带电量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度的变化周期都为T0．不考虑由于磁场的变化而产生电场的影响，不计离子所受重力．求： （1）磁感应强度B0的大小；

（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．

6

M O d 甲

N O′

B Bo To -Bo 乙

2To t 图11-3-23

23．如图11-3-24所示，abcd是一个正方形的盒子，在cd边的中点有一小孔e．盒子中存在着沿ad方向的匀强

电场，场强大小为E．一粒子源不断地从a处的小孔沿ad方向向盒内发射相同的带电粒子，粒子的初速度为v0，经电场作用后恰好从e处的小孔射出．现撤去电场，在盒子中加一方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B（图中未画出），粒子仍恰好从e孔射出．（带电粒子的重力、粒子之间的相互作用力均可忽略）．

（1）所加的磁场方向如何？ a b

v0 （2）电场强度E与磁感应强度B的比值为多大？

E d c e 图11-3-24 24．如图11-3-25所示，在虚线范围内，用场强为E的匀强电场可使初速度为v0的某E 种正离子偏转θ角．在同样宽度范围内，若改用匀强磁场（方向垂直纸面向外），使该离子通过该区域并使偏转角度也为θ，则磁感应强度为多少？离子穿过电场和磁场v0 θ 的时间之比为多少？ 图11-3-25

25．匀强磁场分布在半径为R的圆内，磁感应强度为B，质量为m、电量为q的带电粒子由静止开始经加速电场

加速后，沿着与直径CD平行且相距0.6R的直线从A点进入磁场，如图11-3-26所示．若带电粒子在磁场中

运动的时间是

m2qB．求加速电场的加速电压．

A 0.6R C B D 图11-3-26

26．如图11-3-27所示，一个初速度为零的带正电的粒子经过MN两平行板间电场

加速后，从N板上的孔射出，当带电粒子到达P点时，长方形abcd区域内出现大小不变、方向垂直于纸面

且方向交替变化的匀强磁场，磁感应强度B=0.4T．每经过t4103s，磁场方向变化一次，粒子到达P

点时出现的磁场方向指向纸外，在Q处有一静止的中性粒子，PQ间距离s=3.0m，PQ直线垂直平分ab、cd．已知ab=1.6m，带电粒子的荷质比为1.0×104 C/kg，不计重力．求： （1）加速电压为200V时带电粒子能否与中性粒子碰撞？ （2）画出它的轨迹；

7

（3）能使带电粒子与中性粒子碰撞时，加速电压的最大值为多大？ a

Q P

b c - N + M 图11-3-27 27．某空间存在着一个变化的电场和一个变化的磁场，电场方向向右（如

图11-3-28（a）中由B到C的方向），电场变化如图（ｂ）中E-t图象，磁感应强度变化如图（c）中B-t图象．在A点，从t=1 s（即1 s）开始，每隔2 s，有一个相同的带电粒子（重力不计）沿AB方向（垂直于

BC）以速度v射出，恰能击中C点，若AC2BC且粒子在AC间运动的时间小于1 s，求

B C

E0 v A (a)

O 2 4 6 (b)

t/s

O 2 4 6 8 (c)

t/s

E B0 B d

图11-3-28

（1）图线上E0和B0的比值，磁感应强度B的方向．

（2）若第1个粒子击中C点的时刻已知为（1+Δt）ｓ，那么第2个粒子击中C点的时刻是多少?

28．如图11-3-29所示，有两个方向相反，均垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度分别为B和2B，MN是它们的

分界面，有一束电量均为q，但质量不全相同的带电粒子，经相同的电势差U加速后从分界面上的O点垂直于分界面射入磁场，求：

（1）质量多大的粒子可到达距O点为L的分界面上的P点？ （2）这些不同的粒子到达P点需要的时间最长是多少？

B

v0

N

M

P O

2B

图11-3-29

29．如图11-3-30（a）所示x≥0的区域有如图（b）所示大小不变、方向随时间周期性变化的磁场，磁场方向垂

直纸面向外时为正方向，现有一质量为m，带电量为q的正电粒子，在t=0时刻从坐标原点O以速度v沿着与x轴正方向成75°射入．粒子运动一段时间到达P点，P点坐标为(a，a)，此时粒子速度方向与OP延长线的夹角为30°，粒子在这过程中只受磁场力作用．

（1）若B0为已知量，试求粒子在磁场中运动时轨道半径R及磁场B变化的周期T的表达式

（2）说明在OP间运动时时间跟所加磁场的变化周期T之间应有什么样的关系才能使粒子完成上述运动．

8

v0

T 2T t

-B0

x b a

图11-3-30

【学后反思】

洛仑兹力的方向总是既垂直于运动电荷速度方向又垂直于磁场强度方向．因此洛仑兹力不做功．

准确画出带电粒子的运动轨迹，找出几何关系，轨道半径、轨迹对应的圆心角等，是解决此类问题的重要步骤．

【参考答案】

1．B 2．A 3．BD 4．C 5．A 6．ACD 7．CD 8．B 9．1/2 3/2 10．

（3）若B0为未知量，那么所加磁场的变化周期T、磁感应强度B0的大小各应满足什么样的条件，才能使粒

子完成上述运动？

B y

B0 3rqBR 11．v0>，3v2mm2V32Uq32U 12．qBL/m(1cos)和qBL/m(1cos) 13．v 14． 15．（1）2222289Bdm25BdqB3qBa2b2aa4mv0eBLl5mqBlqBl；（2） 16． 17．(1)arctan或+ arctan；(2)v0= v0222223qB3mm2mbb4mv0eBl18．（1）以原点为圆心，半径r=0.2m的一个半圆；（2）60o；（3）转过60o 19．（1）Rmv4mLqB；（2）arccos()，qBqB2mv22qrB2m4mLqBarccos()，n=0，1，2，3… 20．0当粒子的初速沿界面时，tnTtn 21．（1）qBqB2mv2m5m/s；（2）1.3πs 22．（1）B02mdE(n1,2,3) 23．；（2）v0（1）垂直纸面向外；（2）5v0

qT02nT0BEsin0.98qB2R20.02qB2R224．B=cosθ， 25． U 或U 26．（1）能；（2）略；（3）450V 27．（1）

mmV0E042dqL2B2v，磁场方向垂直纸面向外；（2）第2个粒子击中C点的时刻为（2+·） 28．（1） m=

18n2UB033vBLqL2B2（n=1、2、3…）或m=（n=1、2、3…）；（2）t= 29．（1）Rmv/qB0，T2m/3qB0；m22(3n1)U8U（2）t(2n1)T由O至P的运动过程也可能在磁场变化半周期的奇数倍时完成；（3）分2种情况讨论：

9

2

B01(2K1)T22mv(K1.2.32aq)．

)、T122a(K1.2.33(2K1)v)；B02n2mv(n1.2.32aq)、

22a(n1.2.33nv

10