一、选择题（共10小题，共30分）.
1．一次函数y＝﹣2x﹣3的图象不经过（ ）象限． A．第一
B．第二
C．第三
D．第四
2．下列计算错误的是（ ） A．
B．D．
C．
3．2021年8月18日，第三十一届世界大学生夏季运动会将在四川成都举行．为迎接大运会的到来，某校开展了主题为“爱成都•迎大运”的演讲比赛．九年级10名同学参加该演讲比赛的成绩如下表，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
成绩/分 人数/人 A．85，87.5
80 2 B．85，85
85 3
90 4 C．90，85
95 1
D．90，87.5
4．已知A（﹣，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）是一次函数y＝﹣x+b的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ） A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y1＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y1＜y3
5．四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，AC⊥BD B．AB∥CD，AB＝CD，AB＝BC C．OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD D．AB∥CD，AD＝BC，AB＝BC
6．将函数y＝3x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后所得图象的函数关系式为（ ） A．y＝﹣3（x﹣4） B．y＝﹣3x﹣4
C．y＝﹣3（x+4）
D．y＝3x﹣4
7．如图，点E为平行四边形ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点F在BD上，且EF＝DF，∠C＝52°，那么∠ABE的度数为（ ）
A．38° B．48° C．51° D．62°
8．某登山队大本营所在地的气温为5℃，气温随着海拔高度增加而下降．已知登山队所在的位置的气温是y（单位：℃），登山队员由大本营向上登高x（单位：km），则y是x 的一次函数．下表记录了四次测量的数据，其中只有一组是记录错误的数据，它是（ ）
组数 x y A．第一组
第一组 1 ﹣1
B．第二组
第二组 2 ﹣7
第三组 4 ﹣15 C．第三组
第四组 5 ﹣25 D．第四组
9．如图1，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线L：y＝x﹣3沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中a的值为（ ）
A．7 B．9 C．12 D．13
10．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G，且CG＝GF＝AF，若BD＝4
，则CD的值为（ ）
A． B．4 C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．二次根式
有意义，则x的取值范围是 ．
12．某中学八年级开展“光盘行动”宣传活动，6个班级参加该活动的人数统计结果为：28，32，31，27，29，32．对于这组统计数据的中位数是 ．
13．如图，已知一次函数y1＝x+b与正比例函数y2＝kx的图象交于点P．四个结论： ①k＞0；②b＞0；③当x＜0时，y2＞0；④当x＜﹣2时，kx＞x+b． 其中正确的是 ．（填写序号）
14．甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇．若甲、乙两车之间的距离y（千米）与两车行驶的时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则A、B两地之间的距离为 千米．
15．已知在平面直角坐标系中，A（3，2），点C在x轴上，当k变化时，一次函数y＝（k﹣3）x+k都经过一定点B，则CA+CB最小值为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．解答下列各题： （1）计算：
+
﹣（
+2
）；
（2）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9），求一次函数的解析式．
18．已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：四边形AGBD为平行四边形；
（2）若四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？证明你的结论．
19．为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，诵读经典”竞赛活动，学校2000名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于60分（满分100分）．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表．根据表中所给信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有 人，a＝ ；
（2）本次竞赛随机抽取的部分学生成绩组成的一组数据的中位数落在 组，扇形统计图中“B组”所对应的圆心角的度数是 °；
（3）若成绩不小于80分为优秀，请你估计该校学生大约有多少名学生获得优秀成绩．
组别 A B C D
成绩 90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70
人数 16 a b 10
20．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点C，D，E，F，G均在格点上，DE与FG相交于点T．
（1）CD的长等于 ；
（2）在如图所的网格中，用无刻度的直尺，画出： ①以DE为一边的正方形；
②以CD，DT为邻边的矩形CDTP（保留画图过程的痕迹）．
21．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝﹣x+4的图象分别与x轴相交于A、B两点，且这两条直线的交点为C．已知A点坐标为（﹣1，0）．
（1）当点C的横坐标是2时，直接写出不等式0＜kx+b≤2的解集为 ； （2）当点C的横坐标是﹣2时，求△ABC的面积；
（3）当﹣2＜x≤2时，直线y＝kx﹣4和y＝﹣x﹣b有交点，直接写出k的取值范围 ．
22．2020年新冠肺炎疫情发生以来，每天用消毒液进行消毒成为一种习惯．某经销店经销甲、乙两种规格复合型消毒液，如下表所示是该店甲、乙两种复合型消毒液的进价和售价：
商品价格 进价（元/瓶） 售价（元/瓶）
甲种规格 40 45
乙种规格 100 110
该店现有一批用7600元购进的甲、乙两种规格复合型消毒液库存，预计全部销售后，可获毛利润共800元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量] （1）该店库存的甲、乙两种规格复合型消毒液分别为多少瓶？
（2）根据销售情况，该经销店计划在进价不变情况下，用不超过8000元的资金购进这两种规格复合型消毒液，在原进货数量上，增加甲种规格复合型消毒液的购进量，减少乙种规格复合型消毒液的购进量．已知甲种规格复合型消毒液增加的数量是乙种规格复合型消毒液减少的数量的3倍，则该店怎样进货，可使这次进货全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．
23．正方形ABCD中，点E、F分别是AB、DC上动点（与顶点不重合），且满足AE＝CF． （1）如图1，连接EF与对角线BD交于点O，求证OE＝OF；
（2）如图2，连接DE，过点F作BC的平行线，分别交AC、AB于点M、G．过点M作HM⊥AC交AB的延长线于点H，连接HC、BM，若HC∥DE，判断DE与BM的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，过点B作BK⊥直线EF，垂足为K点，连接KC，若正方形边长为8，则
线段KC的最大值为 ．
24．如图1，在平面直角坐标系之中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3分别交x、y轴于点B、A．
（1）如图1，点C是直线AB上不同于点B的点，且CA＝AB．则点C的坐标为 ；
（2）点C是直线AB外一点，满足∠BAC＝45°，求出直线AC的解析式；
（3）如图3，点D是线段OB上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在线段AB上的点E处，点M在射线DE上，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．一次函数y＝﹣2x﹣3的图象不经过（ ）象限． A．第一
B．第二
C．第三
D．第四
解：∵k＝﹣2＜0，b＝﹣3＜0， ∴函数的图象不经过第一象限， 故选：A．
2．下列计算错误的是（ ） A． 解：2
﹣
×＝
＝
B．D．
＝3，故选项A正确；
C．
，故选项B正确；
＝4，故选项C错误； （
）﹣
＝
+
﹣
＝
，故选项D正确；
故选：C．
3．2021年8月18日，第三十一届世界大学生夏季运动会将在四川成都举行．为迎接大运会的到来，某校开展了主题为“爱成都•迎大运”的演讲比赛．九年级10名同学参加该演讲比赛的成绩如下表，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
成绩/分 人数/人 A．85，87.5
80 2 B．85，85
85 3
90 4 C．90，85
95 1
D．90，87.5
解：在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90．
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是85、90， 那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是87.5． 故选：D．
4．已知A（﹣，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）是一次函数y＝﹣x+b的图象上的三点，
则y1，y2，y3的大小关系为（ ） A．y1＜y2＜y3 解：∵k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵﹣1＜﹣＜， ∴y3＜y1＜y2， 故选：B．
5．四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，AC⊥BD B．AB∥CD，AB＝CD，AB＝BC C．OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD D．AB∥CD，AD＝BC，AB＝BC
解：A、∵∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，不符合题意； B、∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，不符合题意； C、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
D、∵AB∥CD，AD＝BC，不能判断出四边形ABCD是平行四边形，进而不能得出平行四边形ABCD是菱形，符合题意； 故选：D．
B．y3＜y1＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y1＜y3
6．将函数y＝3x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后所得图象的函数关系式为（ ） A．y＝﹣3（x﹣4） B．y＝﹣3x﹣4
C．y＝﹣3（x+4）
D．y＝3x﹣4
解：由上加下减”的原则可知，将直线y＝3x沿y轴向下平移4个单位后的直线所对应的函数解析式是：y＝3x﹣4． 故选：D．
7．如图，点E为平行四边形ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点F在BD上，且EF＝DF，∠C＝52°，那么∠ABE的度数为（ ）
A．38° B．48° C．51° D．62°
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C＝52°，
由折叠的性质得：∠BFE＝∠A＝52°，∠FBE＝∠ABE， ∵EF＝DF，
∴∠EDF＝∠DEF＝∠BFE＝26°， ∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠EDF＝102°， ∴∠ABE＝∠ABD＝51°， 故选：C．
8．某登山队大本营所在地的气温为5℃，气温随着海拔高度增加而下降．已知登山队所在的位置的气温是y（单位：℃），登山队员由大本营向上登高x（单位：km），则y是x 的一次函数．下表记录了四次测量的数据，其中只有一组是记录错误的数据，它是（ ）
组数 x y
第一组 1 ﹣1
第二组 2 ﹣7
第三组 4 ﹣15
第四组 5 ﹣25
A．第一组 B．第二组 C．第三组 D．第四组
解：设y＝kx+b，把x＝1，y＝﹣1，x＝2，y＝﹣7代入可得：
，
解得
，
∴y＝﹣6x+5，
当x＝4时，y＝﹣6×4+5＝﹣19， ∴第3组数据不在这条直线上， 当x＝5时，y＝﹣6×5+5＝﹣25， ∴第4组数据在这条直线上， 故第三组是记录错误的数据， 故选：C．
9．如图1，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线L：y＝x﹣3沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中a的值为（ ）
A．7 B．9 C．12 D．13
解：设直线L与x轴交于点M，
令y＝x﹣3＝0，则x＝3，即点M（3，0）， 由图2，直线AC＝6
，则正方形ABCD的边长为6，
从图2看，MA＝1，则点A（2，0），故点D的坐标为（﹣4，0）， 当直线l过点C时，设直线l′交x轴与点N，对应的时间为a，
由直线L和x轴坐标轴的夹角为45°，则当直线L在L′的位置时，ND＝CD＝6， 点N（﹣10，0）， 则a＝10+3＝13， 故选：D．
10．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G，且CG＝GF＝AF，若BD＝4
，则CD的值为（ ）
A． B．4 C． D．
解：连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M，
∵GF＝AF， ∴∠FAG＝∠FGA， ∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC＝4∵CG＝GF，
，OB＝OD，
∴OG为△CAF的中位线， ∴AF＝2OG，OG∥AD， ∴∠FDM＝∠MOG， ∵AE⊥BD，
∴∠FGA+∠GMO＝90°，∠MDF+∠FAG＝90°， ∴∠GMO＝∠MDF，
∴∠GMO＝∠MDF＝∠MOG＝∠FMD， ∴OG＝GM，FM＝FD，
设OG＝GM＝x，则CG＝GF＝AF＝2x， ∴FD＝FM＝FG﹣MG＝2x﹣x＝x， ∴CF＝4x，AD＝3x，
在Rt△DCF中，由勾股定理得， CD＝
＝
x，
在Rt△ADC中，由勾股定理得， DC2+AD2＝AC2， 即15x2+9x2＝48， 解得x＝∴CD＝故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．二次根式
有意义，则x的取值范围是 x≤ ．
有意义，需要2﹣3x≥0，
， x＝
，
解：要使二次根式解得：x≤． 故答案是：x≤．
12．某中学八年级开展“光盘行动”宣传活动，6个班级参加该活动的人数统计结果为：28，32，31，27，29，32．对于这组统计数据的中位数是 30 ．
解：∵人数统计结果为27，28，29，31，32，32， ∴这组统计数据的中位数是（29+31）÷2＝30， 故答案为：30．
13．如图，已知一次函数y1＝x+b与正比例函数y2＝kx的图象交于点P．四个结论： ①k＞0；②b＞0；③当x＜0时，y2＞0；④当x＜﹣2时，kx＞x+b． 其中正确的是 ②③④ ．（填写序号）
解：∵正比例函数过第二，四象限， ∴k＜0，故①错误； ∵一次函数交y轴的正半轴， ∴b＞0，故②正确；
∵当x＜0时，正比例函数在第二象限， ∴y2＞0，故③正确；
∵当x＜﹣2时，正比例函数的图象在一次函数的图象上方， ∴当x＜﹣2时，kx＞x+b，故④正确； 故答案为：②③④．
14．甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇．若甲、乙两车之间的距离y（千米）与两车行驶的时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则A、B两地之间的距离为 450 千米．
解：设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，由题意，得
，
解得：
．
∴A、B两地之间的距离为：5×90＝450千米． 故答案为：450．
15．已知在平面直角坐标系中，A（3，2），点C在x轴上，当k变化时，一次函数y＝（k﹣3）x+k都经过一定点B，则CA+CB最小值为 解：y＝kx﹣3x+k ＝（x+1）k﹣3x，
∵当k变化时，一次函数都过一定点， ∴x+1＝0， ∴x＝﹣1， ∴y＝3， ∴B（﹣1，3），
∴点B关于x轴的对称点B′（﹣1，﹣3）， 如图，连结AB′交x轴于点C，此时CA+CB最小， 即CA+CB＝CA+CB′＝AB′，
分别过A，B作x，y轴的垂线，交于点D， ∴D（3，﹣3），
∴B′D＝3﹣（﹣1）＝4，AD＝2﹣（﹣3）＝5， ∴AB′＝故答案为：
．
＝
＝
，
．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是
≤PD≤
．
解：如图：
当点F与点C重合时，点P在点P1 处，CP1＝BP1， 当点F与点E重合时，点P在点P2处，EP2＝BP2， ∴P1P2∥EC且P1P2＝CE，
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有BP＝FP， 由中位线定理可知：P1P∥CF且P1P＝CF， ∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点， ∴△ABE，△BEC、△DCP1为等腰直角三角形，
∴∠ECB＝45°，∠DP1C＝45°， ∵P1P2∥EC，
∴∠P2P1B＝∠ECB＝45°， ∴∠P2P1D＝90°，
∴DP的长DP1最小，DP2最大， ∵CD＝CP1＝DE＝2， ∴DP1＝2∴P1P2＝∴DP1＝故答案为：
≤PD≤，CE＝2，
＝．
，
，
三、解答题（共8小题，共72分） 17．解答下列各题： （1）计算：
+
﹣（
+2
）；
（2）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9），求一次函数的解析式．
解：（1）原式＝2＝
﹣
；
+3
﹣
﹣2
（2）把点（3，5）与（﹣4，﹣9）代入y＝kx+b中， 得解得：
， ，
∴一次函数的析式为y＝2x﹣1．
18．已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：四边形AGBD为平行四边形；
（2）若四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？证明你的结论．
解：（1）∵平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴AD∥BG， 又∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形；
（2）四边形DEBF是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点， ∴BE＝AB，DF＝CD． ∴BE＝DF，BE∥DF， ∴四边形DFBE是平行四边形， ∵四边形AGBD是矩形， ∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，∵E为AB的中点， ∴AE＝BE＝DE，
∴平行四边形DEBF是菱形．
19．为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，诵读经典”竞赛活动，学校2000名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于60分（满分100分）．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统
计表．根据表中所给信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有 80 人，a＝ 30 ；
（2）本次竞赛随机抽取的部分学生成绩组成的一组数据的中位数落在 组，扇形统计图中“B组”所对应的圆心角的度数是 135 °；
（3）若成绩不小于80分为优秀，请你估计该校学生大约有多少名学生获得优秀成绩．
组别 A B C D
成绩 90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70
人数 16 a b 10
解：（1）调查学生总数：16÷20%＝80（人）， b＝80×30%＝24，
a＝80﹣（16+24+10）＝30， b＝30÷100＝0.3， 故答案为：80，30；
（2）因为共调查80名学生，所以中位数是第40、41个数的平均数， 所以这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段，即B组， 扇形统计图中“B组”所对应的圆心角的度数是360°×故答案为：B，135；
（3）估计该校学生获得优秀成绩的人数：2000×答：估计该校学生大约有1150名学生获得优秀成绩．
20．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点C，D，E，F，G均在格点上，DE与
＝1150（人）． ＝135°，
FG相交于点T． （1）CD的长等于
；
（2）在如图所的网格中，用无刻度的直尺，画出： ①以DE为一边的正方形；
②以CD，DT为邻边的矩形CDTP（保留画图过程的痕迹）．
解：（1）CD＝故答案为：
．
＝．
（2）①如图，正方形CDER即为所求． ②如图，矩形CDTP即为所求．
21．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝﹣x+4的图象分别与x轴相交于A、B两点，且这两条直线的交点为C．已知A点坐标为（﹣1，0）．
（1）当点C的横坐标是2时，直接写出不等式0＜kx+b≤2的解集为 ﹣1＜x≤2 ； （2）当点C的横坐标是﹣2时，求△ABC的面积；
（3）当﹣2＜x≤2时，直线y＝kx﹣4和y＝﹣x﹣b有交点，直接写出k的取值范围 k≥或k＜﹣6 ．
解：（1）∵点C在直线y＝﹣x+4上，点C的横坐标是2， ∴C（2，2），
将点A（﹣1，0），C（2，2）代入y＝kx+b中， 可得
，
解得，
∴y＝x+， 当y＝0时，x＝﹣1，
∴0＜kx+b≤2时，﹣1＜x≤2， 故答案为﹣1＜x≤2；
（2）∵点C在直线y＝﹣x+4上，点C的横坐标是2， ∴C（﹣2，6），
∵y＝﹣x+4的图象x轴相交于B点， ∴B（4，0），
∴△ABC的面积＝×5×6＝15；
（3）∵一次函数y＝kx+b经过点A（﹣1，0）， ∴0＝﹣k+b， ∴b＝k，
∴y＝﹣x﹣b＝﹣x﹣k，
由kx﹣4＝﹣x﹣k，解得x＝∴﹣2＜
≤2，
，
当k+1＞0时，﹣2k﹣2＜4﹣k≤2k+2， 解得k≥；
当k+1＜0时，﹣2k﹣2＞4﹣k≥2k+2， 解得k＜﹣6，
∴k的取值范围是k≥或k＜﹣6． 故答案为k≥或k＜﹣6．
22．2020年新冠肺炎疫情发生以来，每天用消毒液进行消毒成为一种习惯．某经销店经销甲、乙两种规格复合型消毒液，如下表所示是该店甲、乙两种复合型消毒液的进价和售价：
商品价格 进价（元/瓶） 售价（元/瓶）
甲种规格 40 45
乙种规格 100 110
该店现有一批用7600元购进的甲、乙两种规格复合型消毒液库存，预计全部销售后，可获毛利润共800元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量] （1）该店库存的甲、乙两种规格复合型消毒液分别为多少瓶？
（2）根据销售情况，该经销店计划在进价不变情况下，用不超过8000元的资金购进这两种规格复合型消毒液，在原进货数量上，增加甲种规格复合型消毒液的购进量，减少
乙种规格复合型消毒液的购进量．已知甲种规格复合型消毒液增加的数量是乙种规格复合型消毒液减少的数量的3倍，则该店怎样进货，可使这次进货全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．
解：（1）设该店库存的甲种规格复合型消毒液有x瓶，乙种规格复合型消毒液有y瓶， 由题意，得：解得：
，
，
答：该店库存的甲种规格复合型消毒液有40瓶，乙种规格复合型消毒液有60瓶； （2）设乙种规格复合型消毒液减少m瓶，则甲种规格复合型消毒液增加3m瓶， 则：40 （ 40+3m）+100 （ 60﹣m ）≤8000， 解得：m≤20，
设全部销售后获得的毛利润为W元，
W＝（ 45﹣40）（ 40+3m）+（ 110﹣100）（ 60﹣m）＝5m+800， ∵5＞0，
∴W随着m的增大而增大，
∴当m＝20时，W取得最大值，此时W＝900，40+3m＝100，60﹣20＝40，
答：该店用不超过8000元购进甲种规格复合型消毒液100 瓶，乙种规格复合型消毒液40瓶，全部销售后获得的毛利润最大，最大毛利润为900元．
23．正方形ABCD中，点E、F分别是AB、DC上动点（与顶点不重合），且满足AE＝CF． （1）如图1，连接EF与对角线BD交于点O，求证OE＝OF；
（2）如图2，连接DE，过点F作BC的平行线，分别交AC、AB于点M、G．过点M作HM⊥AC交AB的延长线于点H，连接HC、BM，若HC∥DE，判断DE与BM的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，过点B作BK⊥直线EF，垂足为K点，连接KC，若正方形边长为8，则线段KC的最大值为 2
+2
．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DC，AB∥CD， ∴∠EBO＝∠FDO， ∵AE＝CF， ∴BE＝DF，
在△EBO和△FDO中，
，
∴△EBO≌△FDO（AAS）， ∴OE＝OF； （2）解：DE＝BM．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，GF∥AD， ∴四边形BCFG是矩形， ∴BG＝CF，∠CFM＝90°， ∴∠CMF＝∠MCF＝45°， ∴FC＝FM＝BG， ∵BM⊥MN， ∴∠BMN＝90°，
∴∠BMG+∠NMF＝90°，∠NMF+∠MNF＝90°，∴∠BMG＝∠MNF， 又∵∠BGM＝∠MFN＝90°， ∴△BGM≌△MFN（AAS），
∴BM＝MN，GM＝FN，BN＝∵HM⊥AC， ∴∠AMH＝90°，
∴∠MHA＝∠MAH＝45°， ∴GM＝HG＝AG＝FN， ∵BG＝FC， ∴BH＝CN，
BM，
又∵BC＝CB，∠HBC＝∠BCN， ∴△HBC≌△NCB（SAS）， ∴CH＝BN，
∵DE∥HC，EH∥CD， ∴四边形DECH是平行四边形， ∴DE＝HC＝BN＝
BM．
（3）由（1）可知△EBO≌△FDO， ∴OB＝OD， ∵BC＝CD＝8， ∴BD＝8∴OB＝
， ＝4
，
取OB的中点，连接KP，CP，过点P作PQ⊥BC于点Q，
∴PK＝∴BP＝OB＝2
， ，
∵∠DBC＝45°， ∴BQ＝PQ＝2，
∴CQ＝6， ∴CP＝
∴CK≥KP+CP＝2即CK的最大值为2故答案为2
+2
＝+2+2．
， ． ＝2
，
24．如图1，在平面直角坐标系之中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3分别交x、y轴于点B、A．
（1）如图1，点C是直线AB上不同于点B的点，且CA＝AB．则点C的坐标为 （﹣4，6） ；
（2）点C是直线AB外一点，满足∠BAC＝45°，求出直线AC的解析式；
（3）如图3，点D是线段OB上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在线段AB上的点E处，点M在射线DE上，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）如图1，直线y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，由﹣x+3＝0，得x＝4，
∴A（0，3），B（4，0）； ∵CA＝AB，且点C不同于点B，
∴点A是线段BC的中点，即点C与点B关于点A对称， ∴点C的横坐标为﹣4，
当x＝﹣4时，y＝﹣×（﹣4）+3＝6， ∴C（﹣4，6）， 故答案为：（﹣4，6）．
（2）如图2，射线AC在直线AB的上方，射线AC′在直线AB的下方，∠BAC＝∠BAC′
＝45°；
作线段AB的垂直平分线交AC于点G，交AC′于点H，交AB于点Q，连接BG、BH，则Q（2，）；
作GP⊥y轴于点P，GF⊥x轴于点F，则AG＝BG，AH＝BH， ∵BG＝AG，BH＝AH，
∴∠GBA＝∠BAC＝45°，∠HBA＝∠BAC′＝45°， ∴∠BGA＝∠GAH＝∠AHB＝90°， ∴四边形AHBG是正方形； ∵∠AGB+∠AOB＝180°， ∴∠GBF+∠OAG＝180°， ∵∠GAP+∠OAG＝180°， ∴∠GBF＝∠GAP， ∵∠GFB＝∠GPA＝90°， ∴△GBF≌△GAP（AAS）， ∴BF＝AP，GF＝GP，
∵∠FOP＝∠OPG＝∠GFO＝90°， ∴四边形OFGP是正方形， ∴OF＝OP， ∵OB＝4，OA＝3， ∴4﹣BF＝3+AP， ∴4﹣AP＝3+AP， 解得AP＝，
∴OP＝OF＝3+＝， ∴G（，）；
∵点H与点G关于点Q（2，）对称， ∴H（，
）；
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
则，解得，
∴y＝x+3；
设直线AC′的解析式为y＝mx+n， 则
，解得
，
∴y＝﹣7x+3，
综上所述，直线AC的解析式为y＝x+3或y＝﹣7x+3． （3）存在，如图3，平行四边形AMBN以AB为对角线， 延长ED交y轴于点R，设OD＝r，
由折叠得，∠AED＝∠AOD＝90°，ED＝OD， ∴ED＝r，ED⊥AB； ∵AB＝
＝5，AE＝AO＝3，
∴BE＝5﹣3＝2，
∵S△AOB＝×3×4＝6，且S△AOD+S△ABD＝S△AOB， ∴×3r+×5r＝6， 解得r＝， ∴ED＝OD＝， ∴D（，0）；
∵∠DOR＝∠DEB＝90°，∠ODR＝∠EDB， ∴△ODR≌△EDB（ASA）， ∴RO＝BE＝2， ∴R（0，﹣2），
设直线DE的解析式为y＝px﹣2， 则p﹣2＝0，解得p＝， ∴y＝x﹣2；
∵点N在x轴上，且AM∥BN， ∴AM∥x轴，
∴点M与点A的纵坐标相等，都等于3， 当y＝3时，由x﹣2＝3，得x＝∴M（
，3），
， ＝，
，
∵BN＝AM＝∴ON＝4﹣
∴N（，0）；
如图4，平行四边形ABNM以AB为一边，则AM∥x轴，且AM＝BN＝∵ON＝4+∴N（
＝
，
．
，0），
，0）．
综上所述，点N的坐标为（，0）或（
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