投资收益与风险的模型

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

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投资收益和风险问题的分析

摘 要

在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者总是希望收益能够取得最大化，但

是他也面临着不确定性和不确定性所引致的风险。而且，大的收益总是伴随着高的风险。在有很多种资产可供选择，又有很多投资方案的情况下，投资越分散，总的风险就越小。为了同时兼顾收益和风险，追求大的收益和小的风险构成一个两目标决策问题，依据决策者对收益和风险的理解和偏好将其转化为一个单目标最优化问题求解。随着投资者对收益和风险的日益关注,如何选择较好的投资组合方案是提高投资效益的根本保证。传统的投资组合遵循“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子里”的原则, 将投资分散化。

关键词：投资；收益；风险；数学建模

0问题提出

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市场上有n种资产si (i = 1,2,··· ,n)可以选择，现用数额为M的 相当大

的资金作一个时期的投资。这 n 种资产在这一时期内购买 的 si 平均收益率为ri ，风险损失率为 qi ，投资越分散，总的风 险越少，总体风险可用投资的si中最大的一个风险来度量。购买 si时要付交易费（费率pi），当购买额不超过给定值ui 时，交易 费按购买ui计算。另外，假定同期银行存款利率是r0，既无交易 费又无风险。（r0 = 5%）

Table:已知n=4时相关数据

Si S1 S2 S3 S4 ri(%) 28 21 23 25 qi(%) 2.5 1.5 5.5 2.6 pi(%) 1 2 4.5 6.5 ui 103 198 52 40

1问题分析

这是一个优化问题，要决策的是向每种资产的投资额，即所谓投资组合，要达到的目标有二，净收益最大和整体风险最小。一般来说这两个目标是矛盾的，收益大，风险必然也大；反之亦然，所以不可能给出这两个目标同时达到最优的所谓的完美决策，我们追求的只能是满足投资者本身要求的投资组合，即在一定风险下收益最大的决策，或在一定收益下风险最小的决策，或收益和风险按一定比例组合最优的决策。冒险性投资者会从中选择高风险下收益最大的决策，保守型投资者则可从低风险下的决策中选取。

建立优化问题的模型最主要的是用数学符号和式子表述决策变量、构造目标函数和确定约束条件。对于本题决策变量是明确的，即对𝑆𝑖 (i=0,1，…，n)的投资份额（𝑆0表示存入银行），目标函数之一是总风险最大，目标函数之二是总风险最小，而总风险用投资资产𝑆𝑖中的最大的一个风险衡量。约束条件应为总资金M的。

2 模型假设

1. 投资数额M相当大，为了便于计算，假设M=1；

3

2. 投资越分散，总的风险越小；

3. 总体风险用投资项目si中最大的一个风险来度量； 4. n种资产si之间是相互的；

5. 在投资的这一时期内，ri、pi、qi、r0为定值，不受意外因素影响； 6. 净收益和总体风险只受ri、pi、qi影响，不受其他因素干扰。

3 符号说明

si—第i种投资项目，如股票、债券等，s0表示不投资 ri，pi,qi—分别为si的平均收益率，风险损失率，交易费率 ui—si的交易定额 r0—同期银行利率 xi—投资项目si的资金 a—投资风险度 Q—总体收益 ∆Q—总体收益的增量

4模型建立

在实际投资中，投资者承担风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个风险

𝑞𝑖𝑥𝑖𝑀

≤a,可找到相应的投资方案。将多目标转化成单目标线性规划。

模型一：固定风险水平，优化收益模型

max ∑𝑛𝑖=0(𝑟𝑖−𝑝𝑖)𝑥𝑖

4

𝑞𝑖𝑥𝑖

𝑀

s.t. ∑𝑛𝑖=0(1

≤a

+𝑝𝑖)𝑥𝑖=M

𝑥𝑖≥0，i=0,1,…,n

若投资者希望总盈利至少达到k以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。

模型二：固定盈利水平，极小化风险模型 min{max{𝑞𝑖𝑥𝑖}}

∑𝑛𝑖=0(𝑟𝑖−𝑝𝑖)𝑥𝑖≥𝑘 s.t. ∑𝑛𝑖=0(1+𝑝𝑖)𝑥𝑖=M 𝑥𝑖≥0，i=0,1,…,n

投资者在权衡资产风险和预期收益两方面后，希望选择一个令自己满意的投资组合。

模型三：均衡模型

mins{max{𝑞𝑖𝑥𝑖}}-(1-s)∑𝑛𝑖=0(𝑟𝑖−𝑝𝑖)𝑥𝑖

∑𝑛𝑖=0(1+𝑝𝑖)𝑥𝑖=𝑀 s.t. 𝑥𝑖≥0,𝑖=0，1，…，n

其中s为投资偏好系数。

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5模型求解

模型一：

0.025𝑥1≤𝑥5 0.015𝑥2≤𝑥5 s.t. 0.055𝑥3≤≤𝑥5

0.026𝑥4≤𝑥5

𝑥0+1.01𝑥1+1.02𝑥2+1.045𝑥3+1.065𝑥4=1

𝑥𝑖≥0，i=0,1,…,n

模型二:

假定 𝑞𝑖.𝑥𝑖≤𝑥5

（1） 要求：在收益一定k的情况下，所冒的风险最小 𝑞𝑖.𝑥𝑖≤𝑥5

x0+1.01x1+1.02𝑥2+1.045𝑥3+1.065𝑥4+0=1 0.05x0+0.27x1+0.19𝑥2+0.185𝑥3+0.185𝑥4+0≥𝑘

0.025x1≤𝑥5 0.015x2≤𝑥5 0.055x3≤𝑥5 0.026x4≤𝑥5

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模型三：

xiqi<=x5

x0+1.01x1+1.02𝑥2+1.045𝑥3+1.065𝑥4=1

0.025x1≤𝑥5 0.015x2≤𝑥5 0.055x3≤𝑥5 0.026x4≤𝑥5

6 模型结果分析与检验

模型一：

1.风险大，收益也大。

2．当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。

3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。可以针对不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最有投资组合。 4.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快；在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢。对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，大约是a=0.6%，Q=20%，所对应投资方案为：风险度：0.006，收益：0.2019，𝑥0:0,𝑥1:0.24,𝑥2:0.4,𝑥3:0.1091,𝑥4:0.2212

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模型二：

1.风险越大，收益越大。

2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。冒险的投资者

会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。

3.根据曲线的走势，我们可以看到曲线刚开始的时候风险增长缓慢，收益增长很快，当达到曲线的拐点时，风险增长很快。对于抗风险能力较弱的投资者来说，应该讲拐点作为最有投资组合。𝑥5:0.2,风险度：0.006.

模型三：

1. 我们通过s来将风险与收益加权，来选择最优组合。

2. 模型三的曲线收益随着s的增大而减小，我们可以通过观察图形的斜率来观察s与Q之间的关系，我们发现曲线在s为0.8左右的时候出现拐点，我们可以通过这一点来选择投资组合，获得较高收益。

7模型的评价与推广

本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，通过建立模型一、模型二、模型三分别来使收益最大，保证收益的同时使风险最小，模型一和模型二都是先固定一个量然后研究另一个量，而模型三是引入一个偏好系数使风险与收益之间找到平衡点，并使用Matlab求解，所得结果具有一定的指导意义。

但是，本文没有讨论收益和风险的评估方法，在实际应用中还存在资产相关的情形，此时用最大风险代表组合投资的风险未必合理，因此对不同风险度量下的最优投资组合进行比较研究是进一步的改进方向。

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附录

模型一： Matlab

clc,clear

a=0; while a<0.05

c=[-0.05;-0.27;-0.19;-0.185;-0.185]; A=diag([0,0.025,0.015,0.055,0.026]); b=a*ones(5,1);

Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065]; beq=1; lb=zeros(5,1);

[x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb); a x=x' Q=-Q

plot(a,Q,'*r'); hold on a=a+0.001; end

xlabel('a'),ylabel('Q')

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模型二：

Matlab

k=0.15

while k<0.27 c=[0,0,0,0,0,1];

a=[0,0.025,0,0,0,-1;0,0,0.015,0,0,-1;0,0,0,0.055,0,-1;0,0,0,0,0.026,-1; -0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185,0;]; b=[0;0;0;0;-k];

aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065,0]; beq=[1]; lb=zeros(6,1);

[x,Q]=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb); k x=x' Q

plot(k,Q,'.r'); k=k+0.005; hold on grid on end

xlabel('k'),ylabel('Q')

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模型三：

Matlab s=0;

while s<1

c=[-0.05*(1-s),-0.27*(1-s),-0.19*(1-s),-0.185*(1-s),-0.185*(1-s),s]; a=[0,0.025,0,0,0,-1;0,0,0.015,0,0,-1;0,0,0,0.055,0,-1;0,0,0,0,0.026,-1]; b=[0;0;0;0];

aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065,0]; beq=[1]; lb=zeros(6,1); ub=[ ];

[x,Q]=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb,ub);

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s x=x' Q=-Q

plot(s,Q,'*r');5 hold on s=s+0.001; grid on end

xlabel('s'),ylabel('Q')

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