第三章 弹性地基的应力和变形

3.2 基底的接触压力

3.3 各种荷载作用下弹性地基中

的附加应力3.4 地基的变形

3.1 概述

一、土中自重应力

天然地面czczzcxcyK0zxyyzzx0zczzzcz线1z

czzcz—天然地面任意深度z处水平面上的竖直自重应力。

cx、cy—天然地面任意深度z处竖直面上的水平自重应力。

K0—土的侧压力系数或静止土压力系数。由实测或经验公式确定。

如：K0，K01sin1xy、yz、zx—天然地面任意深度z处土单元体的剪应应力。

3.1 概述一、土中自重应力

图中：

:土的有效重度EGE—弹性模量（或称变形模量E0，可由现场载荷试验得出)。G—剪切弹性模量

不同深度土的应力应变关系3.1概述二、成层土中竖向自重应力沿深度的分布

重力W重度×体积T浮力F水的重度排开物的体积wT浮重力重力浮力T(w)浮重度（有效重度）satwsatw:土的有效重度sat:土的饱和重度w:水的重度3.1 概述

二、成层土中竖向自重应力沿深度的分布

czcz1h1123,3h1h2h3地下水位面1h12h21h12h23h3wh3w(h3h4)h31h12h23h4w(h3h4)44,4h4不透水层面z3.1 概述三、地下水位升降对土中自重应力的影响

σcz原地下水位变动后地下水位h变动后地下水位h原地下水位rwhrwhZ地下水下降，有效自重应力增大

地下水上升，有效自重应力减小

讨论题：地下水对地基的影响，利用及防治

3.2基底的接触压力

一、基底的接触压力

（一）柔性基础

柔性基础的抗弯刚度很小，可以随地基的变形而任意弯曲（a)荷载均布时，接触压应力

p(x,y)=常数（b)沉降均匀时，接触压应力

p(x,y)=常数(b)

柔性基础(a)

3.2基底的接触压力

一、基底的接触压力

（二）刚性基础

刚性基础的抗弯刚度很大，受荷后原来是平面的基底沉降后仍然保持平面

柔性基础荷载均布、沉降均匀，接触压应力p(x,y)=常数

刚性基础3.2基底的接触压力一、基底的接触压力（二）刚性基础1、布森涅斯克解

假定：地基是半无限弹性体，基础底面没有摩擦力。

（1）条形基础的接触压应力

2Q1p(x)B1(2x/B)2Bx实测值P(x)计算值x = 0x = B/2

2Qp(x)Bp(x)应力重分布3.2基底的接触压力

一、基底的接触压力

（二）刚性基础1、布森涅斯克解

（2）长方形基础的接触压应力

4Q1p(x,y)2BL1(2x/B)21(2y/L)2LyxB（3）圆形基础的接触压应力

Q1p(r)2R21(r/R)2Q3.2基底的接触压力一、基底的接触压力

（二）刚性基础2、简化计算

Q

p

实测值

简化计算基底反力均匀分布计算值

应力重分布3.2基底的接触压力二、基底压力的简化计算F（一）中心荷载下的基底压力FGpAF—作用在基础上的竖向力设计值G—基础及其上回填土重标准值室内地坪GpdA=b×l内墙或内柱基础GGAd一般取

G20kN/m3F室内地坪室外地坪地下水位以下应扣除水的浮力，取3G10kN/mA—基底面积,对于条形基础沿

dGpA=b×l外墙或外柱基础长度方向取1单位长度的截条计算，此时公式中的A改为b ,F及G则为基础截条的相应值。

3.2基底的接触压力

二、基底压力的简化计算

（二）偏心荷载下的基底压力

pmaxFGMpminAWpmaxFG6e(1)pminAllyexb或

F+GM式中：

M—作用于矩形基底力矩设计值kN.m

2blW—基础底面的抵抗矩W,m36eMeFGmpmine>l /6大偏心在上式中，当e=l/6时，pmin=0当e>l/6时，pmin<0，此时属于大偏心

按下式计算

2(FG)pmax3kbpmax3k=3(l / 2 –e)3.2基底的接触压力二、基底压力的简化计算

（二）偏心荷载下的基底压力矩形基础在双向偏心荷载作用下，若pmin0则矩形基底边缘四个角点处的压力可由下式计算

pmaxFGMxMypminAWxWyp1FGMxMyp2p2AWxWylF+GyMyxMxbpmax

式中

Mx，My—荷载合力分别对矩形基底x，y对称轴的力矩，kN.mWx，Wy—基础底面分别对x，y轴的

pminp1抵抗矩，m3

3.2基底的接触压力

三、基底附加应力

基底接触压应力

FGpAcF天然地面GAd基础底面基底附加应力pp0p0pcp0d式中

P0 —基底附加压应力，由于建筑物的建设，基底在原自重应力基础上新增加的压应力,kPa。c—土中自重应力标准值，kPa

0—基底以上土的天然土层重度的加权平均值，地下水位以

3下取有效重度。0(1h12h2)/(h1h2)kN/md —基础埋深，从天然地面算起，m。

3.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力

一、集中荷载作用下地基中的附加应力二、线荷载作用下地基中的附加应力三、条形荷载作用下地基中的附加应力四、面荷载作用下地基中的附加应力P布森涅斯克解假设地基土为弹性半空间体M(x、y、z）半空间表面yxz3.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力

一、集中荷载作用下地基中的附加应力

1、圆柱坐标系下：

3Qzz52r2Q3zr(12)232rrrzQzrt(12)()22rrrz23Qzz52r3Qo

zrPtz

zz式中：

rsin：土的泊松比tz圆柱坐标系下的应力分量

3.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力

一、集中荷载作用下地基中的附加应力QoxyαρxM’rβzyzzxxyxMzyyzxyzxyyzzx3.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力

一、集中荷载作用下地基中的附加应力Q2、直角坐标系下33Qzz52rory223Q2rz2z212rrzzx5x3x3223r(rz)r(rz)r223Q2rz2z212rrzzy5y3y322r3r(rz)r(rz)z23Qzzxx52r3Qz2222zyyxy2r52222rxyz3Qxyz12xy(2rz)xy52r3r3(rz)2xPyxzzzxxyyxxyyzxz直角坐标系下的应力分量

zy3.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力

一、集中荷载作用下地基中的附加应力

直角坐标系下的位移分量

uzuxuyQz22(1)34GrrQxz1234Grr(rz)Qyz1234Grr(rz)Q(1)z22(1)uz32ErrQx(1)z12ux32Er(rz)rQy(1)z12uy32Er(rz)r式中：

G：土的剪切弹性模量

EG2(1)E：土的弹性模量，土力学中称为土的变形模量E0

当z=0时, 地表沉降为

Q(1)2(1)Q(12)uz(x,y,0)2ErEr例题3.1（集中荷载作用下地基中的附加应力分布）在地基上作用一集中力Q=100kN，要求确定：（1）在地基中z=2m的水平面上，水平距离r = 0、1、2、3、4m处各点的附加应力z值，并绘出分布图；（2）在地基中r=0的竖直线上距地基表面z = 0、1、2、3、4m处各点的附加应力z值，并绘出分布图；解（1）

3Qz3z由公式52r计算表见下页，计算结果绘于图中

同理（2）计算表见下页，计算结果绘于图中

3m4m4m3m2m1mQ=100kNz=2m0.6kPa2.1kPa6.8kPa11. 9（kPa)0.2kPaz分布图Q=100kN2m1m47.8kPa11.9kPa5.3kPa3kPa分布图z例题3.1

Excel计算表（1）在地基中z=2m的水平面上，不同深度处的附加应力

z22222R01234r=sqrt(z^2+R^2)22.2362.8283.6064.472Q100100100100100z3Qz32r5σz=3×Q×z^3/(2×3.14159×r^5)11.946.832.110.630.21（2）在荷载作用点下不同深度处的附加应力

z01234R00000r=sqrt(z^2+R^2)01.0002.0003.0004.000Q100100100100100σz=3×Q×z^3/(2×3.14159×r^5)∞47.7511.945.312.983.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力

二、线荷载作用下地基中的附加应力3Qz由公式（3.1）z52r3Q=pdydyy3pz31yy32222221/22223/22(xy)(yxz)3(yxz)42pz32pz2p4cos222(xy)zr'z同理22pxz2p22xcossin222(xz)z2pz2p2ycos22x2zz2pxz2p3zxcossin222(xz)zyxyz03zzpdy52r3pz31dy2225/22_(yxz)3xrr’zPxz3.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力

三、条形荷载作用下地基中的附加应力1、均布条形荷载z(21)sin(21)cos(12)px(21)sin(21)cos(12)2p2y(21)pzxsin(21)sin(12）yxyz0ppdxBox1021Pxz主应力大小3z11zxpzx2zx(21)sin(21)32222zxtan(12)（12）/2主应力方向tan2zx3.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力三、条形荷载作用下地基中的附加应力主应力大小

1zxpzx2zx(21)sin(21)322主应力方向

2（12）/2主应力线最大剪应力线3.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力

例题3.2（条行荷载作用下地基中的附加应力分布）

基底平面b=1.4m1101.4m某条形基础底面宽度b=1.4m,作用于基底的平均附加应力p0=200kPa，要求确定

（1）均布条形荷载中点下地基附加应力z的分布图。

（2）深度z=1.4和2.8m处水平面上的z分布图。

（3）在均布条形荷载边缘外1.4m处地基下面的z分布图。

P0=200kPa822001643.4110142327286.0m2.8m1.4m37614172741556180615029243.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力例题3.2（条行荷载作用下地基中的附加应力分布）解：由公式（3.6）

pz(21)sin(21)cos(21)L11arctanzL22arctanzpxyB21xz按公式（3.6）计算，上面的计算中，L1，L2如图所示。每隔0.7m取一计算点，分别表算见下页，结果见图示。

L1PzL2

例题3.2（条行荷载作用下地基中的附加应力分布）

（1）计算中点下地基中的附加应力

z00.71.42.12.83.56x0000000L1-0.7-0.7-0.7-0.7-0.7-0.7-0.7L20.70.70.70.70.70.70.7θ1θ2θ2+θ1θ2-θ1σz-1.571-0.785-0.464-0.322-0.245-0.197-0.1161.5710.7850.4640.3220.2450.1970.11600000003.1421.5710.9270.6440.4900.3950.232200.00163.66109.9679.1661.1549.6229.44（2）计算z=2m深度处地基中的附加应力

z1.41.41.41.41.41.4x00.71.42.12.83.5L1-0.700.71.42.12.8L20.71.42.12.83.54.2θ1θ2θθ2-θ12+θ100.927σz-0.4640.0000.4640.7850.9831.1070.464110.081.837.014.15.82.70.7850.78540.7850.9831.44640.5191.1071.89250.3221.1902.17310.2071.2492.35620.142例题3.2（条行荷载作用下地基中的附加应力分布）

（3）计算深度z=2.8m处地基中的附加应力

z2.82.82.82.82.82.82.8x00.71.42.12.83.54.2L1-0.700.71.42.12.83.5L20.71.42.12.83.54.24.9θ1θ2θ2+θ1θ2-θ1σz-0.2450.0000.2450.4640.6440.7850.8960.2450.4640.6440.7850.8960.9831.0520.0000.4640.8881.2491.5401.7681.9480.4900.4640.3990.3220.2530.1970.15661.255.040.926.816.610.16.3（4）计算x=2.1m不同深度处地基中的附加应力z0.10.71.42.12.83.54.26x2.12.12.12.12.12.12.12.1L11.41.41.41.41.41.41.41.4L22.82.82.82.82.82.82.82.8θ1θ2θ2+θ1θ2-θ1σz1.4991.1070.7850.5880.4640.3810.3220.2291.5351.3261.1070.9270.7850.6750.5880.4373.0352.4331.8931.5151.2491.0550.9100.6660.0360.2190.3220.3390.3220.2940.2660.2070.03.414.122.826.827.827.223.53.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力

三、条形荷载作用下地基中的附加应力

2、三角形分布条形荷载作用下地基中的垂直附加应力角点下垂直附加应力

zp3、梯形分布条形荷载作用下地基中的垂直附加应力

角点下垂直附加应力（应力叠加）

pabbz(12)2Ipaa3.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力四、面荷载作用下地基中的垂直附加应力1、长方形均布荷载角点下垂直附加应力

3Qz3由公式（3.1）z52r积分

z0LB0pBLz(BL2z)22222222(Bz)(Lz)BLzBL1sin2222BzLz3pzdxdy52r23Q=pdxdypy22xB=mzL=nzzzMIspIs —影响值

z221mn(mn2)mn1Issin2222222m1n1(m1)(n1)mn13.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力

四、面荷载作用下地基中的垂直附加应力

2、长方形均布荷载任意点下垂直附加应力

AEB

H

DG

应力叠加

（1）计算点在荷载面内

IF

C

z,Iz,AEIHz,EBFIz,IFCGz,HIGDE

HJG

（2）计算点在荷载面外

A

Dz,Jz,EBFJz,EAGJz,HCFJz,HDGJBCF

例题3.3（矩形荷载作用下地基中的附加应力分布）4m5m心点下不同深度处的附加应力z解1)计算基底附加应力p0基础及其上回填土的总重F=1940kNd=1.5mGGAd20541.5600kN基底平均压力设计值(接触压应力)FG1940600p127kPaA54P0=100kPa1m1m1m1m1m1m1m1m1m1m211713395475100kPa95基底平均附加应力设计值p0pcp0d127181.5100kPa289例题3.3（矩形荷载作用下地基中的附加应力分布）

计算基础中心点下不同深度处的附加应力z角点下

pmn(m2n22)zarcsin2(m21)(n21)m2n2122m1n1mn注意到这是角点下的计算公式，按1/4面积计算，然后叠加。中心点下

z中心点下4z角点下pp1z(AA31sinA2)22下面的Excel计算表中取

注:在z=0点按公式(3.11)计算

例题3.3（矩形荷载作用下地基中的附加应力分布）

Excel计算表b2222222222l2.52.52.52.52.52.52.52.52.52.5zm=b/zn=l/z01234567810210.6670.5000.4000.3330.2860.2500.2002.51.250.8330.6250.5000.4170.3570.3130.250A10.5040.5900.4870.3710.2800.2150.1680.1340.091A20.8300.5520.3550.2370.1660.1220.0920.0720.048A31.4841.1750.8500.6100.4470.3370.2610.2070.138σz4σz2523.6118.6913.539.717.115.364.153.292.2010094.574.854.138.828.421.416.613.28.8例题3.3（矩形荷载作用下地基中的附加应力分布）4m5mA当有相邻基础如图, 面积荷载相同, 求基础A中心线下的垂直附加应力.F=1940kNd=1.5m1m1m1mP0=100kPa0.42.095755439282117139计算结果见图1m1m1m1m1m1m1m4.46.88.89.69.69.68.43.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力

四、面荷载作用下地基中的垂直附加应力

3、圆形均布荷载中心点下垂直附加应力

Rp

o3/21zp1Icp21(R/z)zzz3.3各种荷载作用下弹性地基中的附加应力五、应力泡（附加应力等值线）

1、集中荷载Q作用下的应力泡

3Qz3Qcosz52r2r233z[力/长度2]Q[力]3cos311k(一定)222r长度3.3各种荷载作用下弹性地基中的附加应力

五、应力泡（附加应力等值线）2、线荷载p作用下的应力泡2pz2pcoszzrr43z[力/长度]p[力/长度]2cos11k(一定)r长度323.3各种荷载作用下弹性地基中的附加应力

五、应力泡（附加应力等值线）

3、圆形均布荷载p作用下的应力泡

3/21zp1Icp21(R/z)z[力/长度]p[力/长度]22Icf(R/z)k(一定)4、长方形均布荷载p作用下的应力泡

见p78图3.14

3.3各种荷载作用下弹性地基中的附加应力

五、应力泡（附加应力等值线）5、均布条形荷载p作用下的应力泡

附加应力附加应力z等值线（图3.15）

xz等值线3.4 地基的变形

布森涅斯克解(按弹性力学公式计算地基下沉)

1 集中荷载Q作用下的地表沉降

QrM由公式(3.3)

Qz22(1)uz34Grr得

uz(z0)1Q2Gr21QEr理论沉降曲线实际沉降曲线(3.22)

EG2(1)3.4 地基的变形

布森涅斯克解(按弹性力学公式计算地基下沉)

2 均布荷载p作用下的地表沉降(柔性基础)

由

uz(z0)1QEr22y(3.22)

xQ=pdAy积分得:

(1)pdAuz(z0)DrE211pBEB12pBIEor区域DxdADrzIp 沉降影响值1IBdADr3.4 地基的变形

布森涅斯克解(按弹性力学公式计算地基下沉)y2 均布荷载p作用下的地表沉降(柔性基础)Q=pdAoBLx长方形荷载角点沉降uz(z0)1pBI角点E2长方形荷载角点沉降影响值I角点11m21mlnln(mm21)mm = L/BzB/2L/2长方形荷载中心点沉降因为m =(L/2)/(B/2) =L/B所以Iρ中心Iρ角点uz(中心)=2uz(角点)3.4 地基的变形

布森涅斯克解(按弹性力学公式计算地基下沉)

2 均布荷载p作用下的地表沉降(柔性基础)

(3)长方形荷载平均沉降

puz(Auzdxdy)/A积分得：

uz(z0)1pBI平均E2柔性基础3.4 地基的变形

布森涅斯克解(按弹性力学公式计算地基下沉)

4、沉降影响值

表3.1均布荷载作用下的沉降影响值Iρ 基 荷载面的形状 础的 计算点 刚性 的位置 角点 柔 性 外边中点 短边中点 长边中点 中心 平均 全面 圆形 正方形 0.56 0.77 1.12 0.95 0.88 长方形(L/B) 2 0.77 0.98 1.12 1.53 1.30 1.22 3 0.89 1.11 1.36 1.78 1.52 1.44 4 0.98 1.20 1.54 1.96 1.70 1.61 5 1.05 1.27 1.67 2.10 1.83 1.72 10 1.27 1.49 2.10 2.54 2.25 2.12 100 2.00 2.23 3.56 4.01 3.70 3.40 ____ 0.64 1.00 0.85 0.79 刚性 第三章弹性地基中的应力和变形小结

小结

基底的接触压力基底压力的简化计算

基底附加应力

p0pcFG0dA概述

自重应力基底的接触压力

czz集中荷载作用下

各种荷载作用下弹性地基内的附加应力地基的变形

1pBIE2线荷载作用下条形荷载作用下面荷载作用下

u(z0)