【2021中考数学】矩形及其性质含答案

2021年中考数学复习专题【矩形及其性质】

考点专练

1．将两条邻边长分别为，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各

种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 （填序号）．

①，②1，③﹣1，④，⑤．

2．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．将矩形CODE沿

x轴向右平移，当矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6

的距离为 ．

时，则矩形CODE向右平移

3．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若∠ADB＝30°，则tan∠DEC的值为 ．

1

4．如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是

CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；

点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形

ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）

5．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，则AB的长为 ．

6．如图，矩形ABCD，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，

AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长作半径作弧交于点P，

作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于 ．

2

7．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD向点D运动，同时点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向点B运动，当点E到达点D时，点E，F同时停止运动．连接BE，EF，设点E运动的时间为t，若△BEF是以BE为底的等腰三角形，则t的值为 ．

8．如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3

，点P是AD的中点，点E在BC上，

CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝ ．

9．如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则

的值是 ．

3

10．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2

）．将矩

形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点

B1的坐标为 ．

11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点E在CD上，DE＝1，点F是边

AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角

形恰好有两个，则AF的值是 ．

12．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为 ．

4

13．如图，E、F，G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接

AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC＝，则AB的长为 ．

14．如图，矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上，AB＝EF，FG＝2，

GC＝3．有以下四个结论：①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△DHE；③tan∠BFG＝；④矩形EFGH的面积是4

．其中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号填在横线上）

15．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、

AD的中点，则PQ的长度为 ．

5

16．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是 ．（填上你认为正确的一个答案即可）

17．如图，在3×4的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是 个．

18．对角线相等且互相平分的四边形是 ．

19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．

6

20．如图，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．若▱ABCD的周长为42cm，FM＝3cm，EF＝4cm，则EM＝ cm，AB＝ cm．

7

参

1．解：如图所示：

则其中一个等腰三角形的腰长可以是①，②1，③﹣1，④，不可以是．

故答案为：①②③④．

2．解：∵点A（6，0），

∴OA＝6，

∵OD＝2，

∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，

∵四边形CODE是矩形，

8

∴DE∥OC，

∴∠AED＝∠ABO＝30°，

在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝＝＝4，

∵OD＝2，

∴点E的坐标为（2，4）；

∴矩形CODE的面积为4×2＝8，

∵将矩形CODE沿x轴向右平移，矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6

∴矩形CODE与△ABO不重叠部分的面积为2，

如图，设ME′＝x，则FE′＝x，依题意有

x×x÷2＝2，

解得x＝±2（负值舍去）．

故矩形CODE向右平移的距离为2．

故答案为：2．

9

3．解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，设CD＝2a，

在△ABE与△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴AE＝CF，BE＝FD，

∵AE⊥BD，

∴∠ADB＝∠BAE＝30°，

∴AE＝CF＝a，BE＝FD＝a，

∵∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AE⊥BD，

∴∠BAE＝∠ADB＝30°，

10

∴BD＝2AB＝4a，

∴EF＝4a﹣2a＝2a，

∴tan∠DEC＝＝，

故答案为：．

4．解：∵AE＝DA，点F1是CD的中点，矩形ABCD的面积等于2，

∴△EF1D和△EAB的面积都等于1，

∵点F2是CF1的中点，

∴△EF1F2的面积等于，

同理可得△EFn﹣1Fn的面积为，

∵△BCFn的面积为2×÷2＝，

11

∴△EFnB的面积为2+1﹣1﹣﹣…﹣﹣＝2﹣（1﹣）＝．

故答案为：．

5．解：∵四边形ABCD是矩形

∴AO＝CO＝BO＝DO，

∵AE平分∠BAO

∴∠BAE＝∠EAO，且AE＝AE，∠AEB＝∠AEO，

∴△ABE≌△AOE（ASA）

∴AO＝AB，且AO＝OB

∴AO＝AB＝BO＝DO，

∴BD＝2AB，

∵AD2+AB2＝BD2，

∴+AB2＝4AB2，

12

∴AB＝

故答案为：．

6．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠BAD＝90°，

∵∠BAC＝60°，

∴∠ACB＝30°，

由作图知，AE是∠BAC的平分线，

∴∠BAE＝∠CAE＝30°，

∴∠EAC＝∠ACE＝30°，

∴AE＝CE，

过E作EF⊥AC于F，

∴EF＝BE＝1，

∴AC＝2CF＝2，

13

∴AB＝，BC＝3，

∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝3，

故答案为：3．

7．解：如图，过点E作EG⊥BC于G，

∴四边形ABGE是矩形，

∴AB＝EG＝3，AE＝BG＝2t，

∵BF＝EF＝5﹣t，FG＝|2t﹣（5﹣t）|＝|3t﹣5|，

∴EF2＝FG2+EG2，

∴（5﹣t）2＝（3t﹣5）2+9，

14

∴t＝

故答案为：．

8．解：分两种情况：

①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图1所示：

则∠PFM＝∠PFN＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，

∴AB＝CD＝，BD＝＝10，

∵点P是AD的中点，

∴PD＝AD＝，

∵∠PDF＝∠BDA，

∴△PDF∽△BDA，

15

∴＝，即＝，

解得：PF＝，

∵CE＝2BE，

∴BC＝AD＝3BE，

∴BE＝CD，

∴CE＝2CD，

∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，

∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，

∵∠PFN＝∠C＝90°，

∴△PNF∽△DEC，

∴＝＝2，

∴MF＝NF＝2PF＝3，

16

∴MN＝2NF＝6；

②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图2所示：

由①得：PF＝，MF＝3，

设MN＝PN＝x，则FN＝3﹣x，

在Rt△PNF中，（）2+（3﹣x）2＝x2，

解得：x＝，即MN＝；

综上所述，MN的长为6或；

故答案为：6或．

17

9．解：设七巧板的边长为x，则

AB＝x+x，

BC＝x+x+x＝2x，

＝＝．

故答案为：．

10．解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，

由题意得，OA＝6，AB＝OC＝2，

则tan∠BOA＝＝，

∴∠BOA＝30°，

∴∠OBA＝60°，

由旋转的性质可知，∠B1OB＝∠BOA＝30°，

∴∠B1OH＝60°，

18

在△AOB和△HB1O，

，

∴△AOB≌△HB1O，

∴B1H＝OA＝6，OH＝AB＝2，

∴点B1的坐标为（﹣2，6），

故答案为：（﹣2，6）．

11．解：∵△EFP是直角三角形，且点P在矩形ABCD的边上，

∴P是以EF为直径的圆O与矩形ABCD的交点，

①当AF＝0时，如图1，此时点P有两个，一个与D重合，一个交在边AB上；

②当⊙O与AD相切时，设与AD边的切点为P，如图2，

19

此时△EFP是直角三角形，点P只有一个，

解法一：当⊙O与BC相切时，如图6，连接OP，EP，PF，此时构成三个直角三角形，

∵EC∥OP∥BF，EO＝OF，

∴PC＝BP＝1，

∵DE＝1，CD＝4，

∴CE＝3，

∵∠ECP＝∠EPF＝∠B＝90°，

∴∠EPC＝∠BFP，

∴△ECP∽△PBF，

∴，即，BF＝，

20

∴AF＝4﹣＝；

解法二：当⊙O与BC相切时，如图4，连接OP，此时构成三个直角三角形，

则OP⊥BC，设AF＝x，则BF＝P1C＝4﹣x，EP1＝x﹣1，

∵OP∥EC，OE＝OF，

∴OG＝EP1＝，

∴⊙O的半径为：OF＝OP＝+（4﹣x），

在Rt△OGF中，由勾股定理得：OF2＝OG2+GF2，

∴，

解得：x＝，

∴当1＜AF＜时，这样的直角三角形恰好有两个，如图3，

21

③当AF＝4，即F与B重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，

综上所述，则AF的值是：0或1＜AF或4．

故答案为：0或1＜AF或4．

12．解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7），

∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，

∵D（5，0），

22

∴OD＝5，

∵点P是边AB或边BC上的一点，

∴当点P在AB边时，OD＝DP＝5，

∵AD＝3，

∴PA＝＝4，

∴P（8，4）．

当点P在边BC上时，只有PO＝PD，此时P（，7）．

综上所述，满足条件的点P坐标为（8，4）或（，7）．

故答案为（8，4）或（，7）．

13．解：如图，连接BD．

∵四边形ABCD是矩形，

23

∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AC＝BD＝，

∵CG＝DG，CF＝FB，

∴GF＝BD＝，

∵AG⊥FG，

∴∠AGF＝90°，

∴∠DAG+∠AGD＝90°，∠AGD+∠CGF＝90°，

∴∠DAG＝∠CGF，

∴△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，

∴＝，

∴＝，

∴b2＝2a2，

∵a＞0．b＞0，

∴b＝

a，

24

在Rt△GCF中，3a2＝，

∴a＝，

∴AB＝2b＝2．

故答案为2．

14．解：∵∠FGH＝90°，∴∠BGF+∠CGH＝90°．

又∵∠CGH+∠CHG＝90°，

∴∠BGF＝∠CHG，故①正确．

同理可得∠DEH＝∠CHG．

∴∠BGF＝∠DEH．

又∵∠B＝∠D＝90°，FG＝EH，

∴△BFG≌△DHE，故②正确．

同理可得△AFE≌△CHG．

∴AF＝CH．

25

易得△BFG∽△CGH．

设GH、EF为a，

∴＝．∴＝．

∴BF＝．

∴AF＝AB﹣BF＝a﹣．

∴CH＝AF＝a﹣．

在Rt△CGH中，

∵CG2+CH2＝GH2，

∴32+（a﹣）2＝a2．解得a＝2．∴GH＝2．∴BF＝a﹣＝．

在Rt△BFG中，∵cos∠BFG＝＝，∴∠BFG＝30°．

∴tan∠BFG＝tan30°＝，故③错误．

矩形EFGH的面积＝FG×GH＝2×2＝4，故④正确．

26

故答案为：①②④

15．解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD，

∴OD＝BD＝5，

∵点P、Q是AO，AD的中点，

∴PQ是△AOD的中位线，

∴PQ＝DO＝2.5．

故答案为：2.5．

16．解：添加的条件是∠A＝90°，

理由是：∵AB∥DC，AB＝DC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠A＝90°，

∴平行四边形ABCD是矩形，

27

故答案为：∠A＝90°．

17．解：第一行有1个矩形，第二行有1个矩形，第三行有6个，

第一列有3个，第二列有1个，第四列有3个，

那么共有1+1+6+3+1+3＝15个，

图中还有11个正方形，因为正方形也是矩形的一种，

因此共有26个矩形．

故答案为26．

18．解：

∵OA＝OC，OB＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC＝BD，

∴平行四边形ABCD是矩形，

故答案为：矩形．

28

19．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，

∴BC＝＝5，

∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，

∴四边形DMAN是矩形，

∴MN＝AD，

∴当AD⊥BC时，AD的值最小，

此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，

∴AD＝＝，

∴MN的最小值为；

故答案为：．

20．解：∵AE为∠DAB的平分线，

29

∴∠DAE＝∠EAB＝∠DAB，

同理：∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，

∠BCM＝∠DCM＝∠BCD，

∠CDM＝∠ADM＝∠ADC．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，AD＝BC．

∴∠DAF＝∠BCN，∠ADF＝∠CBN．

在△ADF和△CBN中，

．

∴△ADF≌△CBN（ASA）．

∴DF＝BN．

∵四边形ABCD是平行四边形，

30

∴AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC＝180°．

∴∠EAB+∠EBA＝90°．

∴∠AEB＝90°．

同理可得：∠AFD＝∠DMC＝90°．∴∠EFM＝90°．

∵FM＝3，EF＝4，

∴ME＝＝5（cm）．

∵∠EFM＝∠FMN＝∠FEN＝90°．

∴四边形EFMN是矩形．

∴EN＝FM＝3．

∵∠DAF＝∠EAB，∠AFD＝∠AEB，∴△AFD∽△AEB．

31

∴＝．

∴＝．

∴4DF＝3AF．

设DF＝3k，则AF＝4k．

∵∠AFD＝90°，

∴AD＝5k．

∵∠AEB＝90°，AE＝4（k+1），BE＝3（k+1），

∴AB＝5（k+1）．

∵2（AB+AD）＝42，

∴AB+AD＝21．

∴5（k+1）+5k＝21．

∴k＝1.6．

∴AB＝13（cm）．

32

故答案为：5；13．

33