一元二次方程知识点总结及典型习题

一元二次方程

一、本章知识结构框图

设未知数，列方程 数学问题 实际问题 ax2bxc0(a0) 开平方法 解方程降次配方法 数学问题的解 公式法 分解因式法 实际问题的答案 检 验 bb24ac x2a

二、具体内容 （一）、一元二次方程的概念

1．理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

（1）明确只有当二次项系数a0时，整式方程axbxc0才是一元二次方程。

（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程

3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程

（二）、一元二次方程的解法

1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；

2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：

2(1)开平方法：对于形如xn或(axb)n(a0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未

22知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如xn的方程的解法：

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2.

当n0时，xn; 当n0时，x1x20; 当n0时，方程无实数根。

（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为(xm)n的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤：

①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(xm)n的形式； ④求解：若n0时，方程的解为xm

22n，若n0时，方程无实数解。

bb24ac（3）公式法：一元二次方程axbxc0(a0)的根x

2a2当b4ac0时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；

当b4ac0时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为x1x2当b4ac0时，方程无实数根.

公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定a,b,c的值；③代入b4ac中计算其值，判断方程是否有实数根；④若b4ac0代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）

（4）因式分解法：

①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若ab0，则a0或b0； ②因式分解法的一般步骤：

若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程

①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。

②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程

（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；

（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。

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22222b； 2a.

（三）、根的判别式

1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）=b4ac

（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程axbxc0（a0）

22a0①当方程有实数根；

0时（当a0a0） 方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；

0时0时a0②当方程无实数根；

0时从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。

（四）相关练习

（一） 一元二次方程的概念

1．一元二次方程的项与各项系数

把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项： （1）5x23x （2）26x15x0 （3）3y(y1)7(y2)5 （4） (m22m)(mm)(m2)275m

22（5）(5a1)4(a3)

2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值

(1) m为何值时，关于x的方程(m2)xm(m3)x4m是一元二次方程。（m2）

2x27x8（2）若分式0，则x （x8）

x1

.

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3．由方程的根的定义求字母或代数式值

22(1)关于x的一元二次方程(a1)xxa10有一个根为0，则a （a1）

(2)已知关于x的一元二次方程axbxc0(a0)有一个根为1，一个根为1，则abc ，

2abc （0，0）

（3）已知c为实数，并且关于x的一元二次方程x3xc0的一个根的相反数是方程x3xc0的一个根，求方程x3xc0的根及c的值。 （0，-3， c=0）

（二）一元二次方程的解法 1．开平方法解下列方程：

2（1）5x1250 （2）169(x3)289

2222

22（3）y3610 （4）(13)m0

2(3x1)28 （5）

5

.

.

2．配方法解方程：

2（1）x2x50 （2）y5y10 （3）2y4y3

22

3．公式法解下列方程：

（1）3x26x2 （2）p2323p

（4）9n25n2 （5）x2(x2)(2x1)3

4．因式分解法解下列方程： （1）14x290 （2）y24y450

（4）7x221x0 （5）6x233x22x6

（7） (x23x)22(x23)80

.

（3）7y211y 3）8x210x30 6）(x5)22(x5)1

（

（.

5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：

2222（1）2(2x7)128 （2）2mm12(m2m) （3）6x(x2)(x2)(x3)

y23y(32y)y(3y1)22（3） （4）81(2x5)144(x3) 323

6．解含有字母系数的方程（解关于x的方程）：

（1）x2mxmn0 （2）x3a4ax2a1

（3）(mn)x2nxmn （4）a(xx1)a(x1)(a1)x

（三）一元二次方程的根的判别式 1．不解方程判别方程根的情况：

22（1）4xx37x （2）3(x2)4x （3）4x545x

22222222222

.

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2．k为何值时，关于x的二次方程kx6x90 （1）有两个不等的实数根 （2）有两个相等的实数根 （3）无实数根

223．已知关于ｘ的方程4x(m2)x1m有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．

4．若方程x2(a1)xa4a50有实数根，求：正整数a.

5．对任意实数m，求证：关于x的方程(m1)x2mxm40无实数根.

6．k为何值时，方程(k1)x(2k3)x(k3)0有实数根.

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222222.

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