矩形的性质与判定2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)(解析版)

18.2.1矩形的性质与判定

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.

矩形的性质

1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

注意：

（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

题型1：理解矩形的性质

1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A．两组对边分别相等 B．对角线相等

C．两组对边分别平行

word可编辑文档

D．对角线互相平分 【分析】利用平行四边形的性质和矩形的性质可求解． 【解答】解：矩形的性质有两组对边平行且相等，对角线互相平分且相等，平行四边形的性质有两组对边平行且相等，对角线互相平分， 故选：B． 【变式1-1】矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），则点D坐标为 （﹣3，3） ． 【分析】先在坐标系内描出A，B，C三点的坐标，然后根据矩形的性质写出D点坐标． 【解答】解：在矩形ABCD中A（﹣3，2），C（0，3），B（0，2）． ∴点D的横坐标为﹣3，纵坐标为3． ∴点D的坐标为（﹣3，3）． 故答案为：（﹣3，3）． 【变式1-2】∠A和∠C是矩形ABCD的一组对角，则：①∠A与∠C相等；②∠A与∠C互补；③∠A是直角；④∠C是直角，以上结论中，正确的有 ①②③④ ． 【分析】本题根据矩形的性质即可求解． 【解答】解：矩形四个角都为直角．∴①∠A与∠C相等；②∠A与∠C互补；③∠A是直角；④∠C是直角，故①②③④都正确． 故答案为：①②③④． 题型2：利用矩形的性质判定三角形全等 2.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△word可编辑文档

DCE．求证：△ACD≌△EDC．

【分析】由矩形的性质得出AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，得出AD＝EC，由SAS即可得出结论； 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，

由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB， ∴AD＝EC，

在△ACD和△EDC中，∴△ACD≌△EDC（SAS）；

【变式2-1】已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．

，

【分析】由题意可证△AEF≌△ECD，可得AE＝CD，由矩形的周长为16，可得2（AE+DE+CD）＝16，可求AE的长度．

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠D＝90° ∵EF⊥CE ∴∠CEF＝90° ∴∠CED+∠AEF＝90° ∵∠CED+∠DCE＝90° ∴∠DCE＝∠AEF

word可编辑文档

∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF ∴△AEF≌△DCE ∴AE＝DC

由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16 且DE＝2 ∴2AE＝6 ∴AE＝3

【变式2-2】如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE＝BE．

【分析】利用矩形的性质证得△ADE≌△BCE后即可证得结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°， ∵E为CD边上的中点， ∴DE＝CE，

∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴AE＝BE．

题型3：矩形的性质与求角度

3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（ ）

A．70°

B．60°

C．80°

D．45°

【分析】由矩形的性质可得∠EAG＝∠DAB＝90°，CD∥AB，即可求解．

word可编辑文档

【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形． ∴∠FGA＝∠DAB＝90°，CD∥AB， ∴∠DGA＝∠BAG＝20°，

∴∠DGF＝90°﹣∠DGA＝90°﹣20°＝70°． 故选：A．

【变式3-1】用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线OB交射线OA于点M，另一把直尺压住射线OA交第一把直尺于点P，作射线OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（ ）

A．46°

B．52°

C．56°

D．62°

【分析】由长方形直尺可得MP∥OB，再根据作图过程可知OP平分∠AOB，进而可得∠AMP的度数． 【解答】解：∵OP平分∠AOB，

∴∠MOB＝2∠BOP＝56°， 由长方形直尺可知：MP∥OB， ∴∠AMP＝∠MOB＝56°， 故选：C．

【变式3-2】如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（ ）

word可编辑文档

A．40°

B．45°

C．50°

D．60°

【分析】连接BD，交AC于O，由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，则OA＝OB，得∠BAC＝∠OBA，再证BE＝BD，由等腰三角形的性质得∠BDE＝∠E＝70°，则∠DBE＝50°，即可求解．

【解答】解：连接BD，交AC于O，如图：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB， ∴OA＝OB， ∴∠BAC＝∠OBA， ∵BE＝AC， ∴BE＝BD，

∴∠BDE＝∠E＝70°，

∴∠DBE＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠BAC＝∠OBA＝90°﹣40°＝50°， 故选：C．

题型4：矩形的性质与求线段

4.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（ ）

word可编辑文档

A．4 B．4 C．3 D．5 【分析】由矩形对角线性质可得AO＝BO，又∠AOB＝60°，可证△OAB为等边三角形，得DC＝AB，即可得解． 【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝即△OAB为等腰三角形， 又∠AOB＝60°， ∴△OAB为等边三角形． 故AB＝BO＝4， ∴DC＝AB＝4． 故选：B． 【变式4-1】如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝ 12 ． ＝4， 【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质BD＝2BO进行求解． 【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点， ∴BO＝2MN＝6． ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝2BO＝12． 故答案为12． 【变式4-2】如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长是 18 ． word可编辑文档

【分析】由矩形的性质得出∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，由勾股定理求出AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出BP，证明PE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出PE＝CD＝3，四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE，即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8， ∴AC＝

＝10，

∴BP＝AC＝5，

∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点， ∴AE＝AD＝4，PE是△ACD的中位线， ∴PE＝CD＝3，

∴四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE＝6+5+3+4＝18； 故答案为：18．

题型5：矩形性质综合

5.如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．3

B．6

C．9

D．12

【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解． 【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如图：

则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，

word可编辑文档

∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∴S△DFP＝S△PBE＝×1×3＝， ∴S阴＝+＝3， 故选：A． 【变式5-1】如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN． （1）求证：四边形ANCM为平行四边形． （2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为 ． 【分析】（1）在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，可得AD∥BC，AO＝CO，可以证明△AOM≌△CON可得AM＝CN，进而证明四边形ANCM为平行四边形； （2）根据MN⊥AC，可得四边形ANCM为菱形；根据AD＝4，AB＝2，AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，即可在Rt△ABN中，根据勾股定理，求出DM的长． 【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点， ∴AD∥BC，AO＝CO， ∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC， 在△AOM和△CON中， ， ∴△AOM≌△CON（AAS）， ∴AM＝CN， ∵AM∥CN， ∴四边形ANCM为平行四边形； （2）解：在矩形ABCD中，AD＝BC， word可编辑文档

由（1）知：AM＝CN， ∴DM＝BN，

∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC， ∴平行四边形ANCM为菱形， ∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM， 在Rt△ABN中，根据勾股定理，得 AN2＝AB2+BN2，

∴（4﹣DM）2＝22+DM2， 解得DM＝． 故答案为．

【变式5-2】如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE＝BC，对角线AC，BD交于点F，连结EF． （1）求证：四边形AEBD是平行四边形； （2）若BC＝4，CD＝8，求EF的长．

【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝BE，可得结论；

（2）由矩形的性质可得FB＝FC＝FD，可证FG是△BCD的中位线，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EF的长．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BC＝BE，

∴AD∥BE，AD＝BE， ∴四边形AEBD是平行四边形； （2）过点F作FG⊥BC于点G，

word可编辑文档

∵四边形ABCD是矩形， ∴FB＝FC＝FD， ∴G是BC的中点， ∴FG是△BCD的中位线， ∴． 在Rt△EFG中，FG＝4，EG＝6， ∴ ． 直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 注意： （1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 题型6：直角三角形斜边中线等于斜边的一半 6.直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（ ） A．6 B．6.5 C．10 D．13 【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【解答】解：∵直角三角形两直角边长为5和12， ∴斜边＝＝13， ＝6.5． ∴此直角三角形斜边上的中线的长＝word可编辑文档

故选：B．

【变式6-1】如图，在△AEC、△BED中，∠AEC＝∠BED＝90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点．求证：四边形ABCD是矩形．

【分析】连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，在Rt△AEC中EO＝AC，在Rt△EBD中，EO＝BD，进而得到AC＝BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论． 【解答】证明：连接EO， ∵O是AC、BD的中点， ∴AO＝CO，BO＝DO， 在Rt△EBD中， ∵O为BD中点， ∴EO＝BD，

在Rt△AEC中，∵O为AC中点， ∴EO＝AC， ∴AC＝BD，

又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形．

【变式6-2】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点． （1）求证：△MEF是等腰三角形；

（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．

word可编辑文档

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝MC＝BC，MF＝MB＝BC，然后根据根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据等边对等角求出∠ABC＝∠MFB，∠ACB＝∠MEC，再根据三角形的内角和定理求出∠BMF，∠EMC，然后利用平角等于180°列式计算得出∠EMF． 【解答】（1）证明：∵CF⊥AB于F，M为BC的中点， ∴ME＝BC， 同理MF＝BC， ∴EM＝FM，

∴△MEF是等腰三角形；

（2）解：∵MF＝MB， ∴∠ABC＝∠MFB＝50°， 同理∠ACB＝∠MEC＝60°，

∴∠BMF＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∠EMC＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠FME＝180°﹣80°﹣60°＝40°．

【变式6-3】如图，BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，且DE∥BC，AE＝BE． （1）若BE＝5，求DE的长； （2）求证：AB＝BC．

word可编辑文档

【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠BDE＝∠DBC，求得∠EBD＝∠EDB，根据等腰三角形的判定定理得到DE＝BE＝5；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADE，根据三角形的内角和定理得到∠ADB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．

【解答】（1）解：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵DE∥BC， ∴∠BDE＝∠DBC， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴DE＝BE＝5；

（2）证明：由（1）知，BE＝DE， ∵AE＝BE， ∴∠A＝∠ADE，

∵∠EBD＝∠EDB，∠A+∠ABD+∠ADE+∠BDE＝180°， ∴∠ADE+∠BDE＝×180°＝90°， ∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AC，

在△ABD与△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴AB＝BC．

矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

word可编辑文档

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形（对角线互相平分且相等）. 3.有三个角是直角的四边形是矩形.

注意：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

题型7：矩形的判定（三直角）

7.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形．

【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形． 【解答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∴∠ADC＝90°，

∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN＝∠CAN， ∴∠DAE＝90°， ∵CE∥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形ADCE为矩形．

word可编辑文档

【变式7-1】如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形．

【分析】利用三个内角等于90°的四边形是矩形，即可证明． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD， ∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠BCD，

∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°， ∴∠H＝90°，

同理∠HEF＝∠F＝90°， ∴四边形EFGH是矩形．

word可编辑文档

【变式7-2】如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的角平分线，且相交于点O，K，H，G，求证：四边形HGOK是矩形．

【分析】首先根据平行四边形的性质可得∠DAB+∠ABC＝180°，再根据角平分线的性质可得∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，然后同理可得：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，∠HGO＝90°，根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形GHKL是矩形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC＝180°．

∵AE，BF分别平分∠DAB，∠ABC，

∴∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°． ∴∠GOK＝90°，

同理：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°， ∴∠HGO＝90°， ∴四边形KHGO是矩形．

题型8：矩形的判定（平行四边形+一个直角）

8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，当∠BAC＝90°时，想一想，四边形AEDF是什么特殊的四边形？证明你的结论．

word可编辑文档

【分析】根据三角形的中位线定理得到四边形AEDF的两边分别平行，根据平行四边形的定义，可知四边形AEDF是平行四边形，又∠BAC＝90°，根据矩形的定义，可知四边形AEDF是矩形； 【解答】解：∵D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点， ∴DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， 又∵∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是矩形；

【变式8-1】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC的外角，DE∥AB交AE于点E．试说明四边形ADCE是矩形．

【分析】首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．

【解答】证明：如图所示：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB，

∵AE是∠BAC的外角平分线， ∴∠FAE＝∠EAC，

∵∠B+∠ACB＝∠FAE+∠EAC， ∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC， ∴AE∥CD， 又∵DE∥AB，

∴四边形AEDB是平行四边形，

word可编辑文档

∴AE平行且等于BD， 又∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠ADC＝90°， ∴AE平行且等于CD， ∴四边形ADCE是平行四边形， 又∵∠ADC＝90°，

∴平行四边形ADCE是矩形． 即四边形ADCE是矩形．

【变式8-2】如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求证：四边形EFGH是矩形．

【分析】首先根据已知条件“EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG”推知四边形EFGH是平行四边形，然后由AC⊥BD可以证得平行四边形EFGH是矩形． 【解答】证明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG， ∴EF∥HG，EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴EF⊥FG，

∴四边形EFGH是矩形．

word可编辑文档

题型9：矩形的判定（平行四边形+对角线相等）

9.如图，在▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，∠1＝∠2，试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．

【分析】先由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得出AC＝2OC，BDE＝2OB，再由∠1＝∠2，根据等角对等边得出OC＝OB，那么AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形得出▱ABCD是矩形．

【解答】解：四边形ABCD是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2OC，BDE＝2OB， ∵∠1＝∠2， ∴OC＝OB， ∴AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形．

【变式9-1】如图，已知▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF．

（1）求证：AE＝CF；

（2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形．

【分析】（1）只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题； （2）只要证明AC＝EF即可解决问题．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，

word可编辑文档

∵BE＝DF，

∴AF＝CE，AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF．

（2）∵∠FOC＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE， ∴∠OEC＝∠OCE， ∴OE＝OC，

∵四边形AECF是平行四边形， ∴OA＝OC，OE＝OF， ∴AC＝EF，

∴四边形AECF是矩形．

【变式9-2】如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO． 求证：四边形AMCN是矩形．

【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，可得OM＝ON，可证四边形AMCN是平行四边形，通过证明MN＝AC，可得结论．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BM＝DN，

∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∵MO＝NO，

word可编辑文档

∴MN＝2MO， ∵AC＝2MO， ∴MN＝AC，

∴四边形AMCN是矩形．

【变式9-3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O． （1）若DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，求证：AE＝CF； （2）若DO＝AC，求证：四边形ABCD为矩形．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥BC，证明△DEA≌△BFC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF；

（2）根据平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，由矩形的判定方法解答即可． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEA＝∠BFC＝90°， 在△DEA与△BFC中，

，

∴△DEA≌△BFC（AAS）， ∴AE＝CF；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝BD，

word可编辑文档

∴OA＝OC＝OB＝OD， ∴AC＝BD，

∴平行四边形ABCD是矩形．

题型10：矩形的判定综合

10.如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）已知∠ADE＝60°，若AD＝3，求DE的长度．

【分析】（1）由平行四边形的性质得到DC∥AB，DC＝AB，进而得到DF＝BE且DF∥BE，根据平行四边形的判定得到四边形DFBE是平行四边形，由DE⊥AB可得结论； （2）根据直角三角形的边角关系可求DE的长度． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∵CF＝AE，

∴DF＝BE且DF∥BE， ∴四边形DFBE是平行四边形． 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形DFBE是矩形；

（2）解：∵∠ADE＝60°，DE⊥AB， ∴∠DAE＝30°， 又∵AD＝3， ∴DE＝AD＝，

【变式10-1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC

word可编辑文档

的平行线，两直线相交于点E． （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）若CE＝1，菱形ABCD的周长是4

，求菱形ABCD的面积．

【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；

（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°． ∵CE∥OD，DE∥OC， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∠COD＝90°，

∴平行四边形OCED是矩形；

（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD＝BC， ∵菱形ABCD的周长是4∴CD＝∴OC＝

，

＝2，

，

∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，

∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．

【变式10-2】如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作

word可编辑文档

PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP． （1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．

【分析】（1）证出∠A＝90°即可得到结论；

（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．

【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP， ∴∠CPQ＝∠A， ∵PQ⊥CP，

∴∠A＝∠CPQ＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠CPQ＝90°， 在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，

，

∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）， ∴DQ＝PQ，

设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x， 在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2， ∴x2+32＝（9﹣x）2， 解得：x＝4， ∴AQ的长是4．

设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15． 在Rt△CDQ中，CQ＝

＝5

．

word可编辑文档

【变式10-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AB，垂足为B，BE＝CD，连接CE，DE．

（1）求证：四边形CDBE为矩形； （2）若AC＝1，∠A＝60°，求DE的长．

【分析】（1）先求出四边形CDBE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可； （2）求出AB长，再根据勾股定理求出BC，即可求出DE． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB， ∴∠CDB＝90°，CD∥BE， ∵CD＝BE，

∴四边形CDBE是平行四边形， ∵∠CDB＝90°， ∴四边形CDBE是矩形；

（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， 由勾股定理得：BC＝∵四边形CDBE是矩形， ∴DE＝BC＝

．

＝

，

word可编辑文档