(完整word版)极化恒等式(word文档良心出品)

极化恒等式

秒杀秘籍：极化恒等式：a•b1ab2ab24. AM1ACAB,在ABC中，若AM是ABC的BC边中线，有以下两个重要的向量关系：2 BM12ACAB.定理1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM是ABC的中线，则AB2AC22AM2BM2.定理2 （极化恒等式的三角 形模式）在ABC中，若M是BC的中点，则有AB•ACAM212224BCAMBM. 例1：（2014年高考全国新课标II卷文（理）科第4（3）题）设向量a,b满足ab10,ab6，则a•b等于 （ ）

A.1 B. 2 C. 3 D. 5 2解：由极化恒等式，即得a•babab2106441. 例2:（2014江苏）在平行四边形ABCD中，已知AB8,AD5,CP3PD,AP•BP2,则AB•AD的值

是 . 解:PA•PBPE2AE22 PE218 CP3PD,CD8 222PD2,AE4,故DP为FAE中位线2 APAFAE2PE240 AF•AEAB•ADAP2PE222 例3：.设点P是边长为2的△ABC三边上的一动点，则PA•(PB•PC)的取值范围是 解：如图，设BC的中点为D，则PBPC2PD,设AD的中点为M， 则PA•(PBPC)2(PM214AD2),显然，当P在B点时，PM的值最大，此时PA•(PBPC)2；当PMAB时，PM的值最小，此时PA•(PBPC)98. 所以PA•(PBPC)的取值范围是[98,2]. 例4：正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），p为正方形表面上的动点，当弦MN最长时，PM•PN的最大值为 解：设球心为O，球半径为R，则R=2,根据极化恒等式：4PM•PN4PO2R24PO24又因为P为正方形表面上的动点，所以PO的最大值为正方体体对角线长的一半，即3，所以PM•PN的最大值为2 例5：.△ABC中，∠C=90,AC=4,BC=3,D是AB的中点，E,F分别是边BC，AC上的动点，且EF=1，则DE•DF的最小值等 2解：DE•DFDH2EF1（H为EF的中点）。又因为CHDHCD,所以DHCDCH5214422 所以DE•DFDH2141415。 44

一、求数量积的值

1. （2016年高考江苏卷第13题）如图，在ABC中，D是BC的中点，E,F是AD的两个三等分点，BA•CA4,BF•CF1，则BE•CE . 2. （2012年高考浙江卷理科第15题）在ABC中，M是BC的中点，AM3,BC10,则AB•AC .

3. （2011年高考上海卷理科第11题）在正ABC中，D是BC上的点，AB3,BD1,则AB•AD .

4. （2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形ABCD中，AB3,AD4,P为矩形ABCD所在平面上一点，满足PA2,PC21,则PB•PD . 二、界定数量积的取值范围

5. （2015年郑州市高三第一次质量预测理科第11题）在RtABC中，CACB3,M,N是斜边AB上的两个动点，且MN2,则CM•CN的取值范围为 （ ）

A. 2,52 B. 2,4 C. 3,6 D. 4,6

三、探求数量积的最值

6. （2017年高考全国II卷理科第12题）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面内一点，则

PA•PBPC的最小值是 （ ）

A. 2 B. 32 C. 43 D. 1

7.（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（ ）

A．

B．

C．

D．3

8.（2016年高考浙江卷理科第15题）已知向量a,b,a1,b2,若对任意单位向量e，均有a•eb•e6,则a•b的最大值是 . 四、处理长度问题

9.（2008年高考浙江卷理科第9题）已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足

ac•bc0,则c的最大值是 （ ）

A. 1 B. 2 C. 2 D.

22 10.（2013年高考重庆卷理科第10题）在平面内，AB1,APAB11AB2,OB1OB21AB2.若OP2,则OA的取值范围是 （ ）

A. 0,557572 B. 2,2,2 C. 2 D. ,22 11.（2017年高考浙江卷理科第15题）已知向量a,b满足：a1,b2,则abab的最小值是 ，最

大值是 .

12.（2013年高考天津卷文（理）科第12题）在平行四边形ABCD中，AD1,BAD60,E为CD的中点.若AC•BE1，则AB .

13. （2012年全国高中数学联赛湖南赛区预赛第11题）若边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成平面角大小为60的二面角，则边BC的中点与点A的距离为 .

14. （2012年全国高中数学联赛黑龙江预赛题）设P是椭圆

x2y21691上异于长轴端点的任意一点，F1,F2分 学习数学，领悟数学，秒杀数学。

别是其左右焦点，O为中心，则PF21•PF2PO . 五、解决综合性问题

15. （2012年高考江西卷理科第7题）在RtABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则

PA2PB2PC2等于 （ ）

A. 2 B. 4 C. 5 D. 10

16. （2013年高考浙江卷理科第7题）已知在ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB•PCP0B•P0C，则 （ ）

A. ABC90 B. BAC90 C.ABAC D. ACBC

17. （2013年浙江省高中数学竞赛试题第5题）已知直线AB与抛物线y2x交于点A,B，点M为AB的中点，C为抛物线上一个动点，若点C0满足C0A•C0BminCA•CB，则下列一定成立的是（其中l是抛物线过点C0的切线） （ ）

A. C0MAB B. C0Ml1 C. C0MC0B D. C0M2AB 18. （2014年高考浙江卷理科第8题）记maxx,yx,xy,y,xy,minx,yy,xy,x,xy,设a,b为平面向量，则

（ ）

A. minab,abmina,b B. minab,abmina,b

C. maxab2,ab2a2b2 D.

maxab2,ab2a2b2 19. （浙江省鲁迅中学等六校2016届高三下学期联考理科第8题）如图5，在等腰梯形ABCD中，AB2,CD4,BC5,点E,F分别为AD,BC的中点.如果对于常数

，在等腰梯形ABCD的四条边上，有且只有8个不同的点P，使得PE•PF成立，

那么的取值范围是（ ）

A. 54,920 B. 920,114 C. 9151120,4 D. 4,4 20. （2005年高考湖北卷理科第18题）在ABC中，已知

AB463cosB6AC，6，

边上的中线BD5，求sinA的值.

21. 722122458； BACAADBD4,BFCF3ADBD1;解得：AD8,BD2138, 2故BECE23ADBD278.

2.-16； ABACAM2BM292516.

3.152；法一：ABADAB13AC23AB122153ABAC3AB2.

4.0； 定理：在矩形ABCD中，P为矩形平面内任意一点，设AC与BD交点为O,一定有

PAPCPBPDPO2AO2；故此题由于PA2PC2AC2,PAPCPBPD0.

5. D；取MN中点P，CMCNCP2MP2CP212，故当P位于AB中点时，CP取得最小值322，

当M位于A（B）点时，CP取得最大值，根据余弦定理，CA2AP2CP22CAAPcos45，CP2132，

选D。

6. B；取AB中点E，AC中点F，连接EF，PAPBPCAB22PAPBPAPCPE22AB2PF2 2PEPF2，当PEPF时等号成立，当P位于EF中点时，2PEPF2111222取得最小，答案

为32。

7. A；取AB中点F，连接EF，AEBEEF2AF2EF214，根据几何条件，当EFCD时，EF最

小，过B作BGCD交CD于G，C60,BC3，BGBCcos6032，

此时EFADBG254，选A。 8. ；设=，=，=，则=+，=﹣，由绝对值不等式得≥|•|+|•|≥|•+•|=|（+）•|，于是对任意的单位向量，均有|（+）•|≤，由题设当且仅当与同向时，等

号成立，此时（+）2取得最大值6，由于|+|2+|﹣|）2=2（||2+||2）=10，于是（﹣）2

取得最小值4，则•=，•的最大值是．

9. C；

acbc2222acbc2acbcab2cab0ab2cab，由于abab2，而2c与ab24反向时，取得最大值，此时c2。

10. 如图在三角形OPA中M为AP中点，及2(OM2MP2)OP2OA2，又因为OMB221B2,MB2PM，OM2MB2OB21，即OP2OA22，即

74OP22，即72OP2 11. 4 25； 12.1213.22 14. 25

15. D PA2PB22(PD2DA2)又因为PDPC114AB,AD2PC2AB。

16. D

17. B 18. D 19. C

20.BAABBCBCBA2AD222222BDADBCBAADxBCy2(5x2)y2323323y24x224663y6y283y3830y12(舍去)y23代入式1得5x21723x6123053故sinA2366 学习数学，领悟数学，秒杀数学。