参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确. 1．（4分）（2013•泉州质检）下列各数中，属于负数的是（ ） 0 3 A．B． C． ﹣3 D． ﹣（﹣3） 考点： 正数和负数． 专题： 计算题． 分析： 根据比0小的数是负数即可作出判断． 解答： 解：∵﹣（﹣3）=3， ∴在0，3，﹣3，3中比0小的数是﹣3． 故选C． 点评： 此题考查了正数与负数，掌握负数的定义是解本题的关键． 2．（4分）（2013•泉州质检）计算：a•a等于（ ） 7124 A．B． C． a a 3a 考点： 同底数幂的乘法． 专题： 计算题． 分析： 院士利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断． 解答： 解：a3•a4=a7． 故选A 点评： 此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握法则是解本题的关键． 3．（4分）（2013•泉州质检）把不等式组 A． B． 3
4
3D． 4a 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） C． D． 考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组． 分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．解不等式组得：解答： 解：，再分别表示在数轴上即可得解． ， 由①得x＞﹣1， 由②得又x≤1， 则不等式组的解集为﹣1＜x≤1． 表示在数轴上为：
故选D． 点评： 本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式组．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 4．（4分）（2013•泉州质检）一组数据35、38、37、36、37、36、35、36的众数是（ ） 35 36 37 38 A．B． C． D． 考点： 众数． 分析： 众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解． 解答： 解：36出现了3次，次数最多，所以众数是36． 故选B． 点评： 本题考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的． 5．（4分）（2013•泉州质检）若n边形的内角和是720°，则n的值是（ ） 5 6 7 8 A．B． C． D． 考点： 多边形内角与外角． 分析： 根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式计算即可得解． 解答： 解：根据题意，（n﹣2）•180°=720°， 解得n=6． 故选B． 点评： 本题考查了多边形的内角和公式，是基础题，熟记公式是解题的关键． 6．（4分）（2013•泉州质检）如图，由6个形状相同的小正方体搭成的一个几何体，此几何体的左视图是（ ）
A．B． 考点： 简单组合体的三视图． 分析： 根据左视图是从左面看到的图判定则可． 解答： 解：从左面看得到1列上下3个正方形． 故选A． C． D． 点评： 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 7．（4分）（2013•永安市质检）如图，实数
A．点A B． 点B C． 点C D． 点D 考点： 估算无理数的大小；实数与数轴． 分析： 先估算出的取值范围，再得出﹣3的取值范围即可． 解答： 解：∵4＜8＜9， ∴2＜＜3， ∴2﹣3＜﹣3＜3﹣3，即﹣1＜﹣3＜0， ∴实数﹣3在数轴上表示的点的大致位置在C点． 故选C． 点评： 本题考查的是估算无理数的大小，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 8．（4分）（2013•永安市质检）现有两根木棒，它们的长度分别是5dm和8dm．如果不改变木棒的长度，要钉成一个三角形的木架，那么在下列四根木棒中应选取（ ） A．3dm长的木棒 B． 8dm长的木棒 C． 13dm长的木棒 D． 16dm长的木棒 考点： 三角形三边关系． 专题： 探究型． 分析： 设第四根木棒的长为l，再根据三角形的三边关系得出l取值范围即可． 解答： 解：设第四根木棒的长为l， 则8dm﹣5dm＜l＜5dm+8dm，即3dm＜l＜13dm． 故选B． 点评： 本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． 9．（4分）（2009•广安）如图，小虎在篮球场上玩，从点O出发，沿着O⇒A⇒B⇒O的路径匀速跑动，能近似刻画小虎所在位置距出发点O的距离S与时间t之间的函数关系的大致图象是（ ）
在数轴上表示的点大致位置是（ ）
A． B． C． D． 考点： 动点问题的函数图象． 专题： 压轴题；动点型． 分析： 要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 解答： 解：当点O在半径AO上时，S是由小变大；在圆弧上时不变，在OB上时有大变小． 故选B． 点评： 主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用． 10．（4分）（2012•潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是（ ），[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在（6，3）]．
A．黑（3，7）；白（5，3）B． 黑（4，7）；白（6，2） C． 黑（2，7）；白（5，3） D． 黑（3，7）；白（2，6） 考点： 利用轴对称设计图案． 分析： 分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答案． 解答： 解：A、若放入黑（3，7）；白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、若放入黑（4，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、若放入黑（2，7）；白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形，故本选项正确； D、若放入黑（3，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选C． 点评： 此题考查了轴对称图形的定义，属于基础题，注意将选项各棋子的位置放入，检验是否为轴对称图形，有一定难度，注意细心判断． 二、填空题（每小题4分，共24分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答.
2
11．（4分）（2013•泉州质检）分解因式：2m﹣m= m（2m﹣1） ． 考点： 因式分解-提公因式法． 分析： 直接把公因式m提出来即可． 解答： 解：2m2﹣m=m（2m﹣1）． 故答案为：m（2m﹣1）． 点评： 本题主要考查了提公因式法分解因式，准确找出公因式m是解题的关键． 12．（4分）（2010•河池）要使分式
有意义，则x须满足的条件为
x≠3 ． 考点： 分式有意义的条件． 专题： 计算题． 分析： 要使分式有意义，分式的分母不能为0． 解答： 解：因为分式有意义，所以x﹣3≠0，即x≠3． 点评： 解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得x的值即可． 13．（4分）（2012•建宁县质检）在列统计表时，第一组有5个数据，其频率为0.2，第三组的频数为10，则其频率为 0.4 ． 考点： 频数与频率． 分析： 根据频率=进行算即可． 解答： 解：数据总数=5÷0.2=25， 第三组的频率为：10÷25=0.4， 故答案为：0.4． 点评： 本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．注意：每个小组的频数等于数据总数减去其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和． 频率=． 14．（4分）（2012•南岗区一模）若一个圆锥的侧面展开图是半径为6cm的半圆形，则这个圆锥的底面半径是 3 cm． 考点： 圆锥的计算． 专题： 压轴题． 分析： 首先求得圆锥的侧面展开图的弧长，即圆锥的底面周长，然后根据圆周长公式即可求解． 解答： 解：圆锥的侧面展开图的弧长是：6πcm，设圆锥的底面半径是r，则2πr=6π， 解得：r=3cm． 故答案是：3． 点评： 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 15．（4分）如图，A、B是⊙O上两点，∠AOB=140°，P是优弧AB上的一个动点，P不与点A、B重合，则∠APB= 70 °．
考点： 圆周角定理． 分析： 根据题意画出图形，直接根据圆周角定理进行解答即可． 解答： 解：如图所示： ∵∠AOB与∠APB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB=140°， ∴∠APB=∠AOB=70°． 故答案为：70°． 点评： 本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 16．（4分）（2013•永安市质检）如图，△ABC绕点A旋转至△AEF，使点C的对应点F落在BC上，给出下列结论：
①∠AFC=∠C ②DE=CF
③△ADE∽△FDB ④∠BFD=∠CAF
其中正确的结论是 ①③④ （写出所有正确结论的序号）．
考点： 旋转的性质． 分析： 根据旋转的性质可得AF=AC，再根据等边对等角可得∠AFC=∠C，判断出①正确；AE＞AD，从而求出∠E≠∠ADE，即∠B≠∠BDF，得到BF≠DF，然后根据DE=EF﹣DF，CF=BC﹣BF得到DE≠CF，判断出②错误；根据两组角对应相等两三角形相似可得△ADE和△FDB相似，判断出③正确；根据平角定义表示出∠BFD，根据三角形内角和定理表示出∠CAF，从而得到∠BFD=∠CAF，判断出④正确． 解答： 解：由旋转的性质得，AF=AC， ∴∠AFC=∠C，故①正确； ∵AE=AB＞AD， ∴∠E≠∠ADE， 即∠B≠∠BDF， ∴BF≠DF， ∵DE=EF﹣DF，CF=BC﹣BF，EF=BC， ∴DE≠CF，故②错误； ∵△ABC绕点A旋转至△AEF， ∴∠B=∠E， 又∵∠ADE=∠BDF， ∴△ADE∽△FDB，故③正确； 由旋转的性质，∠C=∠AFE， ∴∠BFD=180°﹣∠AFC﹣∠AFE=180°﹣2∠C， 在△ACF中，∠CAF=180°﹣∠AFC﹣∠C=180°﹣2∠C， ∴∠BFD=∠CAF，故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 点评： 本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，相似三角形的判定，三角形的内角和定理，熟记各性质并准确识图，理清角度之间的关系是解题的关键． 三、解答题（共89分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 17．（6分）计算：
．
考点： 实数的运算；零指数幂． 分析： 先分别根据数的开方法则、0指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 解答： 解：原式=2÷﹣1+3 =2﹣1+3 =4． 点评： 本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则、0指数幂及绝对值的性质是解答此题的关键． 18．（6分）（2013•泉州质检）先化简，再求值：（3+x）（3﹣x）+（x﹣2），其中x=﹣2． 考点： 整式的混合运算—化简求值． 专题： 计算题． 分析： 原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 解答： 解：原式=9﹣x2+x2﹣4x+4=﹣4x+13， 当x=﹣2时， 原式=﹣4×（﹣2）+13=8+13=21． 点评： 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 19．（8分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪刀，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1 （1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形； （2）证明△A1AD1≌△CC1B．
2
考点： 剪纸问题；全等三角形的判定；矩形的性质；平移的性质． 分析： （1）根据平移的性质和矩形的性质可直接得到全等三角形； （2）根据矩形的性质，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质，可得出∠A1=∠ACB，A1D1=CB，从而证出结论． 解答： （1）解：△A1C1D1≌△ACD；△ACD≌△CAB；（2）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴BC=AD，BC∥AD， ∴∠DAC=∠ACB ∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1． ∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1， ∴AA1=CC1，∠A1=∠ACB，A1D1=CB． ∵在△A1AD1和△CC1B中， ， ∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）． 点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形、以及平移的性质．关键是掌握平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． 20．（8分）（2013•长春一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）． （1）求k的值．
（2）若将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y=（x＞0）的图象上，求菱形ABCD平移的距离．
考点： 反比例函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）根据点D的坐标为（4，3），即可得出DE的长以及DO的长，即可得出A点坐标，进而求出k的值； （2）根据D′F′的长度即可得出D′点的纵坐标，进而利用反比例函数的性质求出OF′的长，即可得出答案． 解答： 解：（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F， ∵点D的坐标为（4，3）， ∴FO=4，DF=3， ∴DO=5， ∴AD=5， ∴A点坐标为：（4，8）， ∴xy=4×8=32， ∴k=32；（2）∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴DF=3，D′F′=3， ∴D′点的纵坐标为3， ∴3=x=， ， ， ∴OF′=∴FF′=﹣4=， ． ∴菱形ABCD平移的距离为： 点评： 此题主要考查了反比例函数的综合应用以及菱形的性质，根据已知得出A点坐标是解题关键． 21．（10分）（2011•相城区一模）2011年全国两会在京召开，公众最关心哪些问题？901班学生就老百姓最关注的两会热点问题，在网络上发布了相应的调查问卷．到目前为止，共有不同年龄段的2880人参与，具体情况统计如下：
（1）请将统计表中遗漏的数据补上；
（2）求扇形图中表示30﹣35岁的扇形的圆心角的度数？
（3）在参加调查的30﹣35岁段中随机抽取一人，关心物价调控或医疗改革的概率是多少？ 关心问题 频数 频率 90 0.25 收入分配 0.15 住房问题 36 0.1 物价调控 18 医疗改革 0.15 养老保险 108 其他 360 1 合计
考点： 频数（率）分布表；扇形统计图；概率公式． 专题： 图表型． 分析： （1）根据统计表中，关心收入分配的人数是90人，占0.25；根据频数与频率的关系，可知共有90÷0.25=360（人），则关心住房，养老保险的频数，关心医疗改革和其他的频率可知； （2）根据统计表中的数据：易知30﹣35岁的人数为360人，圆心角的度数差应该为百分比乘以360°； （3）根据概率求法，找准两点：①30﹣35岁段全部情况的总数；②符合条件的关心物价调控或医疗改革的数目和；二者的比值就是其发生的概率． 解答： 解：（1）抽取的30﹣35岁人群的关注情况 关心问题 频数 频率 90 0.25 收入分配 54 0.15 住房问题 36 0.1 物价调控 18 0.05 医疗改革 54 0.15 养老保险 108 0.3 其他 360 1 合计 （2）360÷2880×360°=45°． 故扇形图中表示30﹣35岁的扇形的圆心角是45度； （3）（36+18）÷360=0.15． 故关心物价调控或医疗改革的概率是0.15； 点评： 本题考查读频数分布表和扇形统计图的能力和利用统计图表获取信息的能力．同时考查了频数、频率、概率等相关知识，解决此题的关键是根据题目提供的信息进行加工，从中整理出解决下一题的信息，考查了学生们的理解、加工信息的能力． 22．（10分）（2013•眉山模拟）为了提倡低碳经济，某公司为了更好得节约能源，决定购买一批节省能源的10台新机器．现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格、工作量如下表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元． （1）求a，b的值；
（2）经预算：该公司购买的节能设备的资金不超过110万元，请列式解答有几种购买方案可供 选择； （3）在（2）的条件下，若每月要求产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案． 甲型 乙型 a b 价格（万元/台） 产量（吨/月） 240 180 考点： 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用． 专题： 应用题． 分析： （1）因为购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元，所以可列出方程组，解之即可； （2）可设购买污水处理设备甲型设备x台，乙型设备（10﹣x）台，则有12x+10（10﹣x）≤110，解之确定x的值，即可确定方案； （3）因为每月要求处理洋澜湖的污水量不低于2040吨，所以有240x+200（10﹣x）≥2040，解之即可由x的值确定方案，然后进行比较，作出选择． 解答： 解：（1）由题意得：， ∴； （2）设购买污水处理设备甲型设备x台，乙型设备（10﹣x）台， 则：12x+10（10﹣x）≤110， ∴x≤5， ∵x取非负整数∴x=0，1，2，3，4，5， ∴有6种购买方案． （3）由题意：240x+180（10﹣x）≥2040， ∴x≥4∴x为4或5． 当x=4时，购买资金为：12×4+10×6=108（万元）， 当x=5时，购买资金为：12×5+10×5=110（万元）， ∴最省钱的购买方案为，应选购甲型设备4台，乙型设备6台． 点评： 本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．要会用分类的思想来讨论求得方案的问题． 23．（12分）（2012•深圳模拟）以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B． （1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点（2，0），此时PQ恰好是⊙O的切线，连接OQ．求∠QOP的大小；
（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．
考点： 切线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理． 专题： 计算题；压轴题；动点型． 分析： （1）利用切线性质定理，以及OQ与OP之间的关系，可得出∠QOP的度数 （2）关键是求出Q点的运动速度，利用垂径定理，勾股定理可以解决． 解答： 解：（1）如图一，连接AQ． 由题意可知：OQ=OA=1． ∵OP=2， ∴A为OP的中点． ∵PQ与⊙O相切于点Q， ∴△OQP为直角三角形． ∴． 即△OAQ为等边三角形． ∴∠QOP=60°．（2）由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q点落在⊙O与y轴负半轴的交点处（如图二）．设直线PQ与⊙O的另外一个交点为D， 过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点． ∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2， ∴QP=∵∴OC==． ， ． ， ∵OC⊥QD，OQ=1，OC=∴QC=∴QD=． =． 点评： 此题主要考查了圆中动点问题，以及切线的性质定理．勾股定理，综合性较强，题目比较新颖． 24．（12分）（2012•扬州）已知抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；
2
若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题；压轴题；分类讨论． 分析： （1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可． （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点． （3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、②AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解． 2解答： 解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax+bx+c中，得： ， 解得： 2∴抛物线的解析式：y=﹣x+2x+3．（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P； ∵点A、B关于直线l对称， ∴PA=PB， ∴BC=PC+PB=PC+PA 设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得： ，解得： ∴直线BC的函数关系式y=﹣x+3； 当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）．（3）抛物线的对称轴为：x=﹣（﹣1，0）、C（0，3），则： MA=m+4，MC=（3﹣m）+1=m﹣6m+10，AC=10； 22①若MA=MC，则MA=MC，得： 22m+4=m﹣6m+10，得：m=1； 22②若MA=AC，则MA=AC，得： 2m+4=10，得：m=±； 22③若MC=AC，则MC=AC，得： 2m﹣6m+10=10，得：m1=0，m2=6； 当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）． 222222=1，设M（1，m），已知A 点评： 该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解． 25．（14分）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，请你完成证明过程．
，求证：∠B=30°，
（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．
（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．
考点： 翻折变换（折叠问题）． 专题： 压轴题． 分析： （1）Rt△ABC中，根据sinB═=，即可证明∠B=30°； （2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度． （3）先判断出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案． 解答： （1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，， ∵sinB==， ∴∠B=30°；（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点， ∴EA=FD=×边长=1， ∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处， ∴A′D=AD=2， ∴=， ∴∠FA′D=30°， 可得∠FDA′=90°﹣30°=60°， ∵A沿GD折叠落在A′处， ∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G， ∴∠ADG===15°， ∵A′D=2，FD=1， ∴A′F==， ∴EA′=EF﹣A′F=2﹣， ∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°， ∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°， ∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°， 则A′G=AG=2EA′=2（2﹣∴DA=AO=CO=CB， ∴DA=， ）；（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O， ∵∠D=90°， ∴∠DCA=30°， ∵AB=CD=6， 在Rt△ACD中，=tan30°， =2， =30°， 则AD=DC•tan30°=6×∵∠DAF=∠FAO=∠DAO=∴=tan30°=， ∴DF=AD=2， ∴DF=FO=2， 同理EO=2， ∴EF=EO+FO=4． 点评： 本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通． 26．（10分）（2013•嘉定区二模）已知AP是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、P重合），联结AC，以直线AC为对称轴翻折AO，将点O的对称点记为O1，射线AO1交半圆O于点B，联结OC．
（1）如图1，求证：AB∥OC；
（2）如图2，当点B与点O1重合时，求证：
；
的值．
（3）过点C作射线AO1的垂线，垂足为E，联结OE交AC于F．当AO=5，O1B=1时，求
考点： 圆的综合题． 分析： （1）利用对称性得出∠OAC=∠O1AC，再利用等边对等角得出∠OAC=∠C，即可得出∠C=∠O1AC，求出AB∥OC即可； （2）由点O1与点O关于直线AC对称，AC⊥OO1，由点O1与点B重合，可得AC⊥OB，再利用垂径定理推论得出AB=CB； （3）分别根据当点O1在线段AB上以及当点O1在线段AB的延长线上时分别求出AE的长即可得出答案． 解答： 解：（1）∵点O1与点O关于直线AC对称， ∴∠OAC=∠O1AC． 在⊙O中， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠C． ∴∠C=∠O1AC， ∴O1A∥OC， 即AB∥OC；（2）方法一：如图2，连结OB． ∵点O1与点O关于直线AC对称，AC⊥OO1， 由点O1与点B重合，可得AC⊥OB． ∵点O是圆心，AC⊥OB， ∴AB=CB，方法2：∵点O1与点O关于直线AC对称， ∴AO=AO1，CO=CO1， 由点O1与点B重合，可得 AO=AB，CB=CO， ∵OA=OC， ∴AB=CB． ∴AB=CB，（3）当点O1在线段AB上（如图3），过点O作OH⊥AB，垂足为H． ∵OH⊥AB，CE⊥AB， ∴OH∥CE， 又∵AB∥OC， ∴HE=OC=5． ∵AB=AO1+O1B=AO+O1B=6， 又∵OH⊥AB， ∴AH=AB=3． ∴AE=EH+AH=5+3=8， ∵AB∥OC， ∴==， 当点O1在线段AB的延长线上，如图4， 过点O作OH⊥AB，垂足为H． ∵OH⊥AB，CE⊥AB， ∴OH∥CE， 又∵AB∥OC， ∴HE=OC=5． ∵AB=AO1﹣O1B=AO﹣O1B=4， 又∵OH⊥AB， ∴AH=AB=2． ∴AE=EH+AH=5+2=7， ∵AB∥OC， ∴==． 点评： 此题主要考查了圆的综合应用以及垂径定理和关于直线对称的性质等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．
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